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Curve algebriche: nozioni di base

La maggior parte delle persone ha già sentito parlare di curva. Spesso a tale termine viene associato il termine algebrica . Tuttavia, credo che questi concetti siano in generale solo vaghi ricordi di un passato lontano...

Sarà quindi utile ripartire dalle basi. Per prima cosa dobbiamo definire l'ambiente nel quale le curve algebriche vivono.

 

Piani proiettivi 
Un campo (finito, infinito, algebricamente chiuso o no, ...) è un insieme nel quale sono definite due operazioni (di solito indicate con + e \cdot) che soddisfano determinate regole (per un approfondimento, si rimanda al post  riguardante i campi finiti). Dato un campo \mathbb{K} possiamo definire l'insieme \mathbb{K}^3 delle terne (ordinate) di elementi di \mathbb{K}. Quindi

\mathbb{K}^3=\{(a,b,c) \ : \ a,b,c \in \mathbb{K}\}.

In questo insieme definiamo una relazione di equivalenza data da dalla seguente regola

(a,b,c) \equiv (\overline{a},\overline{b},\overline{c}) \iff \exists \lambda \in \mathbb{K}\setminus\{0\} \ : \ a=\lambda \overline{a}, b=\lambda \overline{b}, c=\lambda \overline{c}.

Un punto P=(a:b:c) del piano proiettivo \mathbb{P}^2(\mathbb{K}) sopra il campo \mathbb{K} è definito come l'insieme delle terne equivalenti a (a,b,c), in simboli

(a:b:c)=\{(x,y,z) \in \mathbb{K}^3 \ : \ (x,y,z) \equiv (a,b,c)\}.

Ad esempio in \mathbb{P}^2(\mathbb{R}), il punto (1:2:1) e il punto (3:6:3) sono in realtà lo stesso punto.

Curve algebriche piane

L'esempio più semplice di curve algebriche è costituito dalle cosiddette curve algebriche piane. Un polinomio F(X,Y,T) in tre variabili con coefficienti nel campo \mathbb{K} è detto omogeneo se tutti i suoi monomi hanno lo stesso grado totale, ovvero

F(X,Y,T)= \sum_{i+j+k=d} a_{i,j,k}X^iY^jT^k,

dove a_{i,j,k}\in \mathbb{K} sono i coefficienti del polinomio F(X,Y,T) e l'intero d è detto grado del polinomio F(X,Y,T). In simboli diremo che F(X,Y,T) \in \mathbb{K}_{HOM}[X,Y,T]. Fissato un polinomio omogeneo F(X,Y,T) di grado d>0, la curva algebrica piana associata a tale polinomio è definita come l'insieme

\{\lambda F(X,Y,T) \ : \ \lambda \in \mathbb{K}\setminus \{0\}\}.

Ad esempio consideriamo il seguente polinomio omogeneo F(X,Y,T)=2X^2+3TY. La curva algebrica \mathcal{C} associata a F(X,Y,T) è la stessa associata al polinomio F^{\prime}(X,Y,T)=8X^2+12TY, in quanto F e F^{\prime} sono tra loro proporzionali. Il motivo per il quale si utilizza questa strana definizione sarà più chiaro tra qualche paragrafo. Se il polinomio F(X,Y,T) ha grado d allora si dirà che  la curva \mathcal{C} ha grado d.

Punti razionali di curve algebriche piane

Fino ad ora abbiamo parlato di piani proiettivi e di curve algebriche; vediamo ora come questi due concetti possono interagire. Consideriamo una curva algebrica \mathcal{C} associata ad un polinomio F(X,Y,T)\in \mathbb{K}_{HOM}[X,Y,T]. Diciamo che un punto P=(a:b:c) \in \mathbb{P}^2(\mathbb{K}) è un punto \mathbb{K}-razionale della curva \mathcal{C} se

F(a,b,c)=0.

Tale definizione non dipende dalla scelta del polinomio F che definisce la curva \mathcal{C} e dalla scelta del rappresentante per il punto P. Infatti supponiamo che F^{\prime} e (a^{\prime},b^{\prime},c^{\prime}) siano altri due rappresentatni per il polinomio che definisce \mathcal{C} e per il punto P rispettivamente. Allora esistono due costanti \lambda e \mu in \mathcal{K}\setminus\{0\} tali che F^{\prime}=\lambda F e (a^{\prime},b^{\prime},c^{\prime})=(\mu a,\mu b, \mu c). Dunque

F^{\prime}(a^{\prime},b^{\prime},c^{\prime})=\lambda F(\mu a,\mu b, \mu c)=\lambda \mu^d F(a,b,c),

dove d è il grado del polinomio F (ovvero della curva \mathcal{C}). L'ultima uguaglianza deriva proprio dal fatto che il polinomio F è omogeneo. Si lascia al lettore verificare questo passaggio e convincersi che questa proprietà non vale per polinomi non omogenei. Tutto ciò mostra che la definizione di punto di una curva algebrica è ben posta, in quanto

F(a,b,c)=0 \iff F^{\prime}(a^{\prime},b^{\prime},c^{\prime})=0.

Con un abuso di notazione diremo che la curva \mathcal{C} ha equazione omogenea F(X,Y,T)=0.

Irriducibilità di curve algebriche piane

Un aspetto molto importante riguardante le curve algebriche è la loro irriducibilità. Diremo che la curva \mathcal{C} definita dal polinomio F(X,Y,T) \in \mathbb{K}_{HOM}[X,Y,T] è irriducibile se il polinomio F non può essere scritto come

F(X,Y,T)=G(X,Y,T)H(X,Y,T),

con G(X,Y,T),H(X,Y,T)\in\mathbb{K}_{HOM}[X,Y,T] entrambi di grado almeno 1. Ad esempio la curva di equazione X^2-Y^2=0 è chiaramente riducibile perché X^2-Y^2=(X-Y)(X+Y). Si può invece dimostrare che la curva di equazione X^2+Y^2+T^2=0 è irriducibile.

Un concetto più delicato della semplice irriducibilità è la cosiddetta assoluta irriducibilità. Può capitare infatti che un polinomio con coefficienti in un campo  \mathbb{K} non si possa scrivere mai come prodotto di polinomi a coefficienti nello stesso campo  \mathbb{K} ma sia possibile scomporlo nel prodotto di due o più polinomi a coefficienti in un campo più grande \mathbb{K}^{\prime} che contiene il campo \mathbb{K}. Se anche questa eventualità non può mai avvenire diremo che la nostra curva è assolutamente irriducibile.

Più precisamente diremo che la curva \mathcal{C} di equazione F(X,Y,T)=0, con F(X,Y,T) \in \mathbb{K}_{HOM}[X,Y,T],  è assolutamente irriducible se non è possibile scrivere

F(X,Y,T)=G(X,Y,T)H(X,Y,T),

con G(X,Y,T),H(X,Y,T)\in \mathbb{K}^{\prime}_{HOM}[X,Y,T] entrambi di grado almeno 1, con \mathbb{K}^{\prime} un qualsiasi campo che contiene \mathbb{K}.

Ad esempio la curva di secondo grado di equazione X^2+Y^2=0 definita sul campo dei reali \mathbb{R} è irriducibile ma non assolutamente irriducibile. Infatti è possibile scrivere

X^2+Y^2=(X+iY)(X-iY),

dove i^2=-1 è un numero complesso. Tale fattorizzazione è fatta con due polinomi a coefficienti in \mathbb{C} il campo dei numeri complessi che contiene propriamente il campo dei numeri reali.

Il concetto di assoluta irriducibilità per curve algebriche sarà fondamentale per cercare di contare il numero di punti razionali di curve definite su campi finiti. Ma questo sarà l'argomento del prossimo post!!

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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