Blog divulgativo sulla matematica applicata

Camminare o correre quando piove?

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Hai appena finito di lavorare e noti che fuori sta piovendo. Stamattina il sole splendeva per cui non hai preso l’ombrello, ora devi raggiungere la fermata dell’autobus cercando di bagnarti il meno possibile.

Ti conviene correre o camminare?

L’istinto dice che correndo ti bagnerai meno, ma è così? Analizziamo il problema da un punto di vista matematico.

Correre o non correre?

Per semplificare la situazione immaginiamo che il nostro corpo sia un parallelepipedo rettangolo, cioè un solido che ha 6 facce rettangolari uguali a due a due.

Un parallelepipedo rettangolo.

Un parallelepipedo rettangolo.

Immaginiamo che non ci sia vento (per cui la pioggia cade in verticale) e definiamo i seguenti parametri del problema:

d = distanza da percorrere
v = velocità della persona
V = velocità della pioggia
q = densità della pioggia in litri al metro cubo

Gli ultimi due parametri ci permetto di stabilire quanto forte sta piovendo, in particolare q misura quanta acqua è presente in un volume di un metro cubo se immaginiamo di fermare il tempo.

Ipotizziamo di dover andare dal punto A al punto B percorrendo la distanza d e cerchiamo di capire quanta acqua colpisce la faccia verticale e quanta acqua colpisce la faccia orizzontale del parallelepipedo rettangolo.

L’acqua che colpisce la faccia verticale corrisponde a quella che si trova all’istante iniziale all’interno del volume di un prisma che ha come basi l’area verticale del parallelepipedo e come altezza la distanza da percorrere.

Nella figura seguente vediamo due diversi di questi prismi a seconda che ci si muova più lentamente (in alto) o più velocemente (in basso).

La quantità di acqua che cade sulla faccia verticale è quella compresa all’interno di un prisma. Il prisma in basso rappresenta una andatura più veloce, il prisma in alto rappresenta una andatura più lenta. In entrambi i casi l’altezza del prisma è la distanza da percorrere.

La quantità di acqua che cade sulla faccia verticale è quella compresa all’interno di un prisma. Il prisma in basso rappresenta una andatura più veloce, il prisma in alto rappresenta una andatura più lenta. In entrambi i casi l’altezza del prisma è la distanza da percorrere.

Ma attenzione! Per il principio di Cavalieri i volumi di questi prismi sono uguali e la quantità di acqua che cade sulla faccia verticale non cambia se andiamo lenti o veloci!

Indichiamo con A_{vert} la superficie della faccia verticale. Il volume di acqua compreso nel prisma è pari a A_{vert} \cdot d. La quantità di acqua che cade sulla faccia verticale Q_{vert} è data da questo volume moltiplicato per la densità di acqua q:

Q_{vert} = A_{vert} \cdot d \cdot q

Cosa succede se consideriamo la faccia orizzontale? La situazione è analoga nel senso che la quantità di pioggia impatta sulla faccia è sempre quella che si trova all’interno di un certo prisma, ma ora il volume del prisma cambia a seconda che andiamo più o meno veloci.

Per motivi di chiarezza nella seguente figura la distanza AB è stata rappresentata più piccola di prima.

La quantità di acqua che cade sulla faccia orizzontale è quella compresa all’interno di un prisma. Il prisma in basso rappresenta una andatura più veloce, il prisma in alto rappresenta una andatura più lenta. L’altezza del prisma cambia al cambiare della velocità.

La quantità di acqua che cade sulla faccia orizzontale è quella compresa all’interno di un prisma. Il prisma in basso rappresenta una andatura più veloce, il prisma in alto rappresenta una andatura più lenta. L’altezza del prisma cambia al cambiare della velocità.

L’altezza del prisma non è più fissa ma corrisponde alla distanza percorsa dalla pioggia nel tempo trascorso nell’andare da A a B. Il tempo trascorso per percorre il tragitto è dato da d/v e per trovare la distanza percorsa dalla pioggia basta moltiplicare questo termine per la velocità della pioggia. Otteniamo quindi che l’altezza del prisma è h = V \cdot d / v.

Il volume del prisma è dato da:

\displaystyle A_{orizz}\cdot h = A_{orizz} \cdot V \cdot \frac{d}{v}

La quantità di pioggia che cade sulla faccia orizzontale si ottiene moltiplicando questo volume per la densità di acqua q:

\displaystyle \begin{aligned} Q_{orizz} & = q \cdot A_{orizz} \cdot h \\ & = q \cdot A_{orizz} \cdot V \cdot \frac{d}{v} \end{aligned}

Vediamo che per questa componente all’aumentare della velocità di spostamento v la quantità di acqua si riduce sempre di più (andando infinitamente veloci non cade nemmeno una goccia sulla faccia orizzontale).

Sommando ora i due contributi Q_{vert} e Q_{orizz} otteniamo la quantità di acqua totale:

\displaystyle \begin{aligned} Q_{tot} & = Q_{vert} + Q_{orizz}\\ & = A_{vert} \cdot d \cdot q + q \cdot A_{orizz} \cdot V \cdot \frac{d}{v} \end{aligned}

Raccogliendo i termini comuni otteniamo:

\displaystyle Q_{tot} = d \cdot q \cdot \left[A_{vert} + A_{orizz} \cdot \frac{V}{v}\right]

Per velocità v molto piccole la quantità di acqua che ci cade addosso è molto grande, per velocità molto grandi il secondo termine all’interno delle parentesi è molto piccolo ma non possiamo comunque scendere sotto la quantità Q_{vert} di acqua.

All’interno delle parentesi quadrate troviamo una sorta di area efficace sulla quale possiamo agire cambiando la velocità a cui ci spostiamo.

Di seguito il grafico dell’area efficace al variare della velocità

Grafico dell’area efficace al variare della velocità. I parametri sono A_vert = 0,6 m^2, A_oriz = 0,07 m^2, V = 10 m/s. Poiché nel nostro corpo l’area verticale è circa dieci volte l’area orizzontale, dopo una certa velocità di spostamento, aumentare ancora la velocità non abbatte di molto l’area efficace.

Grafico dell’area efficace al variare della velocità. I parametri sono A_{vert} = 0,6\ m^2, A_{orizz} = 0,07\ m^2, V = 10\ m/s.

Poiché nel nostro corpo l’area verticale è circa dieci volte l’area orizzontale, raggiunta una certa velocità, andare ancora più veloci non fa diminuire molto l’area efficace. Che siate una persona normale che correre a 5 m/s o un centometrista che corre a 10 m/s la quantità di acqua cambia pochissimo.

Riassumendo: correre vi farà bagnare di meno ma forse non tanto quanto pensate! In più non cambierà la quantità di acqua che vi colpirà sul busto e sulle gambe (area verticale) ma diminuirete solamente la quantità di acqua che arriva in testa e sulle spalle (area orizzontale).

Complicazioni varie

La vita reale è molto più complicata dei modelli che spesso usiamo per analizzarla. Questo problema è un esempio di come una questione apparentemente semplice può diventare complessa da analizzare in modo rigoroso.

Ad esempio ci potrebbe essere del vento che fornisce alla pioggia una componente orizzontale di velocità.

Se il vento soffia nella direzione contraria a quella in cui procediamo allora aumentare la velocità porterà sempre a una diminuzione dell’acqua ricevuta, proprio come nel caso di assenza di vento.

Se il vento soffia invece nella stessa direzione in cui stiamo andando, allora, a seconda del rapporto tra l’area orizzontale e verticale del nostro corpo, potrebbe essere meglio correre il più velocemente possibile o andare alla stessa velocità orizzontale della pioggia (in questo modo non ci si bagna né davanti né dietro, per dettagli vedi l'articolo di David E. Bell: Walk or Run in the Rain).

Quella del vento è la variabile più semplice da aggiungere al modello, altre sono invece molto complicate, ad esempio:

  • La forma del corpo non è quella di un parallelepipedo rettangolo e soprattutto cambia a seconda della velocità a cui andiamo. Quando corriamo il busto è inclinato in avanti e le gambe assumono una posizione diversa rispetto a quanto camminiamo.
  • L’intensità della pioggia potrebbe cambiare nel tempo. Se ci sembra che l’intensità stia per aumentare allora di solito è meglio correre, in modo da affrontare il tragitto mentre piove meno.
  • Esiste un livello massimo di “inzuppamento”. Raggiunto questo livello anche se rimaniamo sotto la pioggia non ci bagneremo di più. Di conseguenza, se il tragitto è molto lungo e siamo sicuri che prenderemo molta pioggia, possiamo metterci l’animo in pace e andare alla velocità che vogliamo, arriveremo comunque completamente fradici!

È interessante notare che quando siamo in queste situazioni, in modo inconsapevole e senza fare calcoli precisi, il nostro istinto riesce a tenere conto di moltissime variabili (distanza da percorrere, possibile aumento di intensità della pioggia, tipo di vestiti indossati, pericolo di scivolare) per scegliere la strategia che in quel momento ci sembra più sensata.

E non dimenticate che spesso avete l’alternativa di rifugiarvi in un bar e aspettare che il temporale finisca. Magari leggendo qualche articolo del vostro blog preferito! ;-)

Se vi è piaciuto questo articolo potete seguirmi anche sul mio blog personale degiuli.com.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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