Blog divulgativo sulla matematica applicata

Il modello di Ising. Volume II

Nella precedente puntata abbiamo introdotto alla fine l’hamiltonia del modello di Ising.  Ora siamo pronti per andare più a fondo.

Apportiamo delle piccole semplificazioni al modello. L’hamiltoniana adesso è

ising_full

dove il coefficiente di accoppiamento J descrive un sistema di spin ferromagnetico nel caso J > 0, antiferromagnetico nel caso J < 0 ed è constante per ogni interazione del sistema.

La notazione compatta \langle i,j \rangle =1 indica l’interazione ristretta solo ai primi vicini su tutto il volume \Lambda.

La prima sommatoria rappresenta il contributo di ogni spin con gli altri del reticolo. La seconda sommatoria rappresenta il contributo di interazione degli spin con un campo magnetico esterno h.

Primi vicini

Questo vuol dire che considerato il sito di spin s_i, quest’ultimo interagirà esclusivamente con s_{i+1} e s_{i-1}, in ogni dimensione del dominio che stiamo considerando.

Ad esempio in 2 dimensioni avremo

ising

Teoria Degli Ensemble

Per trovare il punto di contatto con la realtà si utilizza quello che è nota come Teoria degli Ensemble (un altro concetto fondamentale della Meccanica Statistica!).  La Teoria degli Ensemble (Microcanonico, Canonico e Macrocanonico), permette di stabilire una relazione ben precisa tra lo spazio delle fasi di un sistema e le sue grandezze termodinamiche. In questo caso utilizzeremo il modello dell’ensemble canonico.

Nel caso dell’Ensemble Canonico, il sistema si trova in un “bagno termico”, cioè in uno stato a energia totale costante, dove non sono previste fluttuazioni del numero di particelle. Lo stato di equilibrio in cui si trova il sistema è interpretato come lo stato più probabile (macrostato) tra tutte le possibili configurazioni possibili (microstati), che il sistema può manifestare.

Questo ci permette di connettere lo spazio delle fasi di un sistema e la sua termodinamica, attraverso la funzione di partizione

ising2

ovvero

 \begin{eqnarray*}\mathcal{Z}=\int e^{- \beta \mathcal{H}(\bf{p},\bf{q})}d\Gamma\end{eqnarray*}

La funzione di partizione \mathcal{Z} è funzione del parametro \beta=\frac{1}{k_{B}T}, con k_B costante di Boltzmann.

Dalla funzione di partizione  è possibile poi poter risalire all’energia libera di Helmontz

ising copia

Se la funzione di energia libera manifesta dei punti di non analiticità in \beta, il sistema avrà dei punti di transizione di fase corrispondenti ai punto di non analiticità in \beta_{critico}= \frac{1}{k_{B}T_{critico}}, che stabiliste la connessione con la temperatura della transizione di fase.

Semplice no? Ora siamo finalmente a classificare il modello di Ising.

Modello 0-D

Il modello 0-D niente di più semplice con cui iniziare! Un singolo sito di spin che può assumere valore +1 o -1.

Modello 1-D

Nel caso di un reticolo di spin unidimensionale, con N siti,  abbiamo

ising 2

 \begin{eqnarray}H= - J \sum _{i=1}^{N-1} \sigma_{i}\sigma_{i+1} \end{eqnarray}

Il modello di Ising in una dimensione è esattemente risolvibile! La funzione di partizione è

 \begin{eqnarray*}\mathcal{Z} = \sum _{\{\sigma\}} e ^{-\beta H} =\sum _{\{\sigma\}} e ^{ \beta J \sum _{i=1}^{N-1} \sigma_{i}\sigma_{i+1}} =\\\sum _{\{\sigma\}} \prod _{i=1}^{N-1}e ^{\beta J\sigma_{i}\sigma_{i+1}}\end{eqnarray*}

dove la sommatoria su \{ \sigma \} indica la somma su tutte le possibili configurazioni della catena si spin. Utilizziamo adesso la relazione

 \begin{eqnarray*}e^{\beta J\sigma_{i}\sigma_{i+1}}=\cosh(\beta J\sigma_{i}\sigma_{i+1})+ \sinh(\beta J\sigma_{i}\sigma_{i+1})\end{eqnarray*}

Sfruttando il segno delle funzioni trigonometriche iperboliche abbiamo

 \begin{eqnarray*}e^{\beta J\sigma_{i}\sigma_{i+1}}=\cosh(\beta J)+ \sigma_{i}\sigma_{i+1}\sinh(\beta J)\end{eqnarray*}

Quindi la funzione di partizione sarà

 \begin{eqnarray*}\mathcal{Z}_{N}(\beta)= (\cosh(\beta J))^{N-1}\sum _{\{\sigma\}} \prod _{i=1}^{N-1}[1 +\sigma_{i}\sigma_{i+1} \tanh (\beta J)]\end{eqnarray*}

Dalla produttoria \prod _{i=1}^{N-1}[1 +\sigma_{i}\sigma_{i+1} \tanh (\beta J)] avremo termini della forma

 \begin{eqnarray*}\tanh (\beta J)^{K}\sigma_{i_1}\sigma_{i_{1}+1}\sigma_{i_2}\sigma_{i_{2}+1}\ldots\sigma_{i_k}\sigma_{i_{k}+1}\end{eqnarray*}

Tutti questi termini, sommati su tutte le possibile configurazioni faranno 0, tranne per il termine K=0. Quindi alla fine otterremo la funzione di partizione come

ising 2 copia

da cui si ricava l'energia libera

\begin{eqnarray*} f(\beta)= \lim_{N\rightarrow \infty}f_{N}(\beta)= \lim_{N\rightarrow \infty}\frac{N-1}{N}\log(2\cosh \beta J)\end{eqnarray*}

ising 3

L’energia libera è analitica in \beta e per \beta finito non c’è transizione di fase.

L'unico caso in cui nel modello 1-D manifesta transizione di fase è, nel limite termodinamico ( N \longrightarrow 0 ),  solo a T=0 e dipenderà  dalle condizioni al contorno iniziali del sistema.

Se consideriamo una differente misura a volume finito, ovvero tutti gli spin esterni alla catena uguali a 1, la funzione di partizione nel limite termodinamico sarà la stessa, mentre la magnetizzazione risentirà delle condizioni al contorno ma solo a T=0.

Ecco la forma esplicita

m = \langle \sigma_{i} \rangle =\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{2(\tanh \beta J)^{N/2}}{1+(\tanh \beta J)^{N+1}}=1

Questo è l'unico caso in 1-D in cui avviene una transizione di fase spontanea (ovviamente analogo il caso per con spin esterni uguali a -1).

Modello 2-D

Il modello in 2-D merita, e necessita, una trattazione più approfondita e dettagliata, in un articolo tutto per se (spero a breve).

Modello 3-D

Il modello di Ising in 3-d, può essere "risolto" in un certo senso, se si interpreta il modello di Ising in 3-d come un modello discretizzato di una stringa fermionica (si proprio quelle della Teoria delle Stringhe!)

Il metodo è stato studiato in dettaglio da Polyakov, ed è la naturale generalizzazione del metodo di Onsager in 3-d. Simulationi Monte Carlo e argomentazioni teoriche hanno evidenziato che il il modello di Ising 3-D vicino al suo punto critico è descritto da una teoria di campo conforme. Questo è tutt'ora un campo di ricerca in pieno sviluppo.

Modello D=4-\varepsilon

Vicino alla 4° dimensione il modello di Ising si comporta  esattamente il il modello \lambda\phi^4 in Quantum Field Theory (anche questo argomento che di per se meriterebbe un corso a se ;) ). E' quindi possibile costruire espansioni in serie degli esponenti critici in funzione di \varepsilon.

Modello D>4

In dimensioni maggiori di 4 che succede??? Se assumiamo la constante di accoppiamento  avere la forma J(d) = \frac{1}{4d}, allora per  d \rightarrow \infty la fase "positiva" e la fase "negativa" tendono a la misura prodotto delle due.

Si ma che vuol dire.........? Presto detto in pochissime parole. In qualunque dimensione il modello di Ising può essere descritto  da un campo "medio" (Teoria di campo medio, appunto). Questo campo è dato dalla media degli spin di una regione abbastanza grande del nostro dominio, ma no troppo da includerlo tutto. Per  d \rightarrow \infty le fluttuazioni del campo medio tendono a zero, e quindi l'isola dei "+" risulterà totalmente non correlata dell'isola dei "-". In particolare la magnetizzazione spontanea convergerà proprio al suo valore di campo medio, senza risentire degli effetti degli spin a piccole distanze.

Per ulteriori "dettagli" si veda https://link.springer.com/article/10.1007/BF01256495 .

 

 

 

.......... e questo è (lunga pausa per riprendere il fiato), solo una breve introduzione   nel sconfinato mondo del modello di Ising.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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