Blog divulgativo sulla matematica applicata

La dimostrazione: il regno dei matematici convinti.

Matematica e democrazia: la questione delle Poleis.

La democrazia nella Grecia di Pericle e Socrate ha favorito la nascita di svariate realtà sociali e culturali che ogni circolo virtuoso che si rispetti è motivato a raggiungere. La ricchezza economica e la stabilità politica delle poleis greche del V-IV secolo prima di Cristo può considerarsi un evidente spartiacque nella storia dello sviluppo culturale delle civiltà di tutto il Mediterraneo, che sia relativa alla geografia, alle arti o alle scienze.

La possibilità, sicuramente privilegio di pochi nel mondo dell’epoca, di poter discutere liberamente di un argomento ha perWhatsApp Image 2019-01-29 at 11.38.48messo la nascita di dibattiti e lo sviluppo di basilari teorie filosofiche. Sfortunatamente, la scienza non è poi un emblema di democrazia nei fatti che descrive: solo alcune delle infinite ipotesi che possiamo formulare riguardo alla natura sono effettivamente veritiere.

Nel caso della matematica, in particolare, non possiamo certamente ritenere di ampio re- spiro la scelta delle soluzioni delle espressioni aritmetiche, o delle lunghezze geometriche dei poligoni. D’altro canto, la discussione tipica dell’agorà greca ha portato un’importante rivoluzione non tanto nella matematica, bensì proprio nel come fare matematica. L’assoluta verità descritta da alcune regole matematiche doveva poter presentarsi tra le svariate voci possibili nella piazza come l’ unica davvero accettabile perché in grado di proporre sé stessa come logicamente coerente. Ecco che nasce l’idea di dimostrazione. Contro la stoltezza dei ciarlatani, quindi, la matematica ha creato un ottimo meccanismo di difesa che rendesse giustizia alle verità vere più che alle ipotesi infondate.

Per il matematico contemporaneo Gabriele Lolli:

[La dimostrazione è] ..una specie di etichetta da attaccare all’enunciato del teorema, un marchio di fabbrica

per rendere il nostro un risultato valido e riconosciuto.

La logica come strada per la Verità.

Convincere della veridicità del risultato che si presenta dipende  da come lo si presenta. Ciò riguarda non solo una raffinata esposizione del concetto  ma anche (e soprattutto) tutti i passaggi dettagliati che hanno condotto alla conclusione. Un processo il più oggettivo possibile, chiaro e ben definito, è l’unico modo funzionale per accertarsi di una verità.

Tuttavia, il padre della logica contemporanea, il tedesco Gottlob Frege, sosteneva che la logica non si proponesse di scoprire la Verità ma si interessasse esclusivamente alla scorrevolezza del ragionamento. La veridicità degli enunciati può e deve essere valutata solo dalle altre scienze, che posseggono gli strumenti e le conoscenze adeguate a distinguere ciò che è giusto da ciò che è sbagliato. La distinzione che è stata fatta, allora, getta le basi di una scienza il più possibile autonoma ed universale, dove la correttezza e la scorrettezza di un ragionamento sono l’unico oggetto di studio.

Diremo, pertanto, che un ragionamento è corretto se e solo se la sua conclusione è conseguenza logicagottlobfrege delle premesse o, più intuitivamente, se la catena di implicazioni che sviluppiamo durante un ragionamento ha una valenza riconosciuta. Facciamo due esempi:

Tutti i cavalli volano, Socrate è un cavallo, pertanto Socrate vola” [2]

Tutti i cavalli sono mortali, Furia è un cavallo, pertanto Socrate è ateniese”[2]

Nel primo sillogismo notiamo che le affermazioni (o proposizioni) che presentiamo sono tutte scorrette, eppure neanche Frege in persona potrebbe dirvi che il ragionamento sia scorretto. Stessa cosa non si può dire del secondo punto, dove invece il ragionamento è fortemente scorretto ma le conclusioni che ipoteticamente ne deduciamo sono tutte vere.

Dimostriamo tutto... o quasi!

Una delle più grandi opere mai concepite dal genio umano è gli Elementi del matematico alessandrino Euclide. Egli decise con immensa maestria e meticolosità di raccogliere tutto il sapere geometrico conosciuto fino ad allora in alcuni volumi, in modo da renderli manuali di studio e consultazione facilmente fruibili. I primati di Euclide furono moltepli- ci, basti pensare che gli Elementi sono la seconda opera più stampata al mondo (dopo la Bibbia) e che milioni di giovani hanno studiato fino a pochi anni fa su una versione appena semplificata dei suoi scritti.

Dietro la genialità di Euclide si cela però l'arte di saper dimostrare e la capacità formidabile di organizzare il discorso in maniera ben strutturata. Euclide decide di dimostrare centinaia di risultati sfruttando proprio il discorso logico. Le sue implicazioni logiche sono tutt’ora riconosciute valide e, per molti versi, ancora utilizzate. Ovviamente, però, non tutto può e deve essere dimostrato. In effetti, preso un teorema di geometria,  questo risulta sicuramente conseguenza logica di altri risultati precedenti (in termini storici o discorsivi) che, a loro volta, sono stati ottenuti tramite implicazioni derivanti da teoremi ancora precedenti. Possiamo, allora, percorrere questa “strada logica” al contrario ma.. fino a dove? Evidentemente dovrà esistere un punto di partenza (finito) da cui tutto può essere senza dubbio dedotto.

Assiomi e manicomi.

Quelle verità di partenza, indimostrate e prese per buone, sono comunemente dette assiomi. Euclide stesso ne fa uso suddividendoli però in due categorie:

  • Assiomi: relativi ad affermazioni valide (verità vere) in ogni contesto, pertanto non esclusivamente concernenti la geometria. Ad esempio, l’idea di simmetria dell’uguaglianza (se A è uguale a B allora anche B è uguale ad A) è indipendente dalla teoria in esame;
  • Postulati: Euclide sceglie di raccogliere delle particolari ovvietà della geometria (detta, appunto, euclidea). Egli sceglie, ad esempio, che per due punti fissati del piano possa passare esclusivamente una sola retta, senza altre alternative.

La questione relativa agli assiomi è molto profonda in effetti. Si è detto che Euclide abbia scelto determinate verità piuttosto che altre, quasi arbitrariamente. Di base, naturalmente, vi è l’idea che le cose funzionino in un determinato modo al di là di come noi vogliamo definirle. Ad esempio, si potrebbe sfidare chiunque a tracciare due o più rette (distinte) passanti per due punti di un piano. Ma alcune “scelte” possono (più o meno facilmente) essere messe in dubbio: si pensi al  quinto postulato di Euclide; la scelta volontaria di non prenderlo per vero getta le basi per la costruzione di numerosi modelli di geometria formalmente corretti (detti modelli di geometria non euclidea, non a caso).

Resta un nodo delicato, quindi, la scelta di quali assiomi e postulati considerare per una teoria. Il tutto si fa ancora più interessante se pensiamo che la matematica stessa è una grandissima teoria e che ha bisogno di “basi assiomatiche” su cui fondarsi. Il problema essenziale è che la scelta di un gruppo di assiomi poco veritiero, incompatibile, errato o incompleto potrebbe condurre a conseguenze logiche fuorvianti e matematicamente scorrette.

Bisogna, quindi, trovare un numero esiguo ma sufficiente di affermazioni (verità) evidentemente non sbagliate. . . c’è da uscirne pazzi. Ed in effetti alcuni studiosi, di quella che prende il nome di Teoria Assiomatica degli insiemi, pazzi lo sono diventati davvero: Kurt Gödel, ad esempio, o Georg Cantor (meglio ancora). Quest’ultimo, in particolare, trascorse anni ed anni della sua vita a cercare di dimostrare la validità di un teorema che, dopo la sua morte, si scoprì essere indimostrabile.

Cose indimostrabili e cose incomplete.

Fu proprio Kurt Gödel il primo a presentare un esempio, scritto in termini di numeri primi, di proposizione matematica indimostrabile. Ciò significa che è possibile che esistano, proprio come nel caso dell’Ipotesi di Cantor, delle congetture (futuri teoremi) ai quali non potremo mai attaccare quell’etichetta che Lolli ritiene fondamentale per convalidare un risultato matematico. Questo ha gettato nello sconforto la maggior parte dei matematici dei primi del Novecento. Importanti ipotesi matematiche ancora indimostrate sarebbero potute rimanere tali per il resto dei secoli.

kurt-godelQuando possiamo capire che una proposizione è indimostrabile? Si pensi al famoso Teorema di Fermat, enunciato dall’omonimo matematico, che per secoli nessuno era stato in grado di dimostrare attraverso una serie di implicazioni logiche accettabili. Fortunatamente, grazie a matematici cocciuti come Andrew Wiles, il teorema di Fermat fu dimostrato negli ultimi dieci anni dello scorso secolo. Non tutti i teoremi, però, hanno avuto questa fortuna e può succedere, si spera molto raramente, che una dimostrazione cercata da secoli.. non esista!

Il tema dell'impossibilità di una dimostrazione è stato affrontato da Gödel in uno dei suoi teoremi di incompletezza. Qui si trova la dimostrazione logico-formale del fatto che partendo da un sistema di assiomi come quello dei numeri naturali, esistano delle affermazioni indimostrabili. Il sistema risulta, pertanto, incompleto. Per oltrepassare quest’ostacolo, però, basta aggiungere (nella nostra teoria) un nuovo assioma che prenda il risultato indimostrabile per buono (oppure scelga di prenderlo sempre per falso) e tirare avanti così, verso una teoria sicuramente più completa ma allo stesso tempo “meno essenziale”.

A questo punto, non creiamo allarmismi! I risultati a cui un matematico lavora quotidianamente sono ben dimostrabili ed evidenti, almeno dopo uno studio approfondito. Esempi di problemi indimostrabili sono spesso legati a teorie molto più astratte, spesso alla logica matematica e alla teoria degli insiemi.. non certo alle somme e alle moltiplicazioni! Possiamo dormire sogni tranquilli perché, sfortunatamente per gli studenti, le dimostrazioni vanno ricercate, il senso logico va presentato come rigorosa etichetta di validità e, con ancora meno fortuna, non possiamo giustificare l’incapacità nel ricercare una dimostrazione geometrica a scuola.

“Dunque cari studenti riprovate, la troverete!

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Bibliografia

[1]  P. Vergallo, R. Grande, S. Pascali: Atti e Lezioni del ciclo seminariale Altramatematica, Università del Salento, SIBA, Dipartimento di Matematica e Fisica "E. De Giorgi”, Novembre 2015;

[2] F. Berto, “La logica da zero a Gödel”, Economica Laterza, Laterza; 7 edizione (17 aprile 2008)

[3] C. B. Boyer, “The History of the Calculus and its conceptual development”, 1949, Dover publications.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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