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La tua posizione nel mondo a portata di click. Come funziona il GPS [Parte 1]

Lost-guyDove sono?

Orientarsi è sempre stato un problema per l'uomo.

Da quando per la prima volta l'uomo ha alzato la testa al cielo per orientarsi usando le stelle a quando, invece, l'ha abbassata per usare Google Maps ne è passato di tempo. La tecnologia è cambiata, si è evoluta, ma continuiamo a dipendere da qualcosa nel cielo per orientarci qui sulla terra; prima le stelle ora i satelliti.

Che siate partiti per una gita fuori porta o per una meta esotica o semplicemente per il supermercato sotto casa a tutti sarà capitato di usare almeno una volta un GPS per orientarsi. Che sia esso contenuto nel vostro smartphone o di serie nella vostra auto il GPS è ormai un aiuto indispensabile al quale nessuno di noi potrebbe mai rinunciare.

Una prima precisazione da fare è che il GPS non è Google Maps. Google Maps utilizza il GPS contenuto nel vostro smartphone per trovare la vostra posizione sulla terra mediante tre coordinate in un sistema di riferimento cartesiano e poi, tramite specifici algoritmi, genera il percorso migliore per portarvi alla vostra destinazione.

In origine era il NNSS!

GPS è l'acronimo di Global Positioning System ed a sua volta è l'abbreviazione di NAVSTAR GPS, ovvero NAVigation Satellite Timing And Ranging Global Positioning System.

Vi sembra complicato? Aspettate di sentire il resto della storia allora!

Il GPS non è stato il primo sistema di navigazione globale. Prima del GPS per orientarsi si usava la flotta di satelliti Transit lanciati in orbita dalla marina americana per consentire alle sue navi di orientarsi con precisione. Il sistema si componeva di 6 satelliti identici in orbita intorno alla terra.

Il primo dei satelliti che riuscì a raggiungere la sua orbita fu lanciato nel 1960, prima di allora, nel 1959, un altro satellite era stato lanciato senza successo. 7 anni dopo il sistema, nato per uso militare, venne reso disponibile ai civili creando cosi il NNSS, ovvero il Navy Navigation Satellite System. Tale sistema di posizionamento globale restò in vita fino al 1996 quando venne definitivamente rimpiazzato dal sistema GPS attualmente in uso.

United States Department of Defense Seal.svgRisultati immagini per presidente bill clinton

Il sistema attualmente in uso venne sviluppato a partire dal 1973e ha avuto un escalation a partire dal 1978 anno in cui i satelliti sono stati effettivamente messi in orbita. Nel 1989 (anno in cui è nato chi vi scrive, tra le altre cose) erano gia operativi 15 satelliti e ricevitori GPS erano già commercializzati. La piena funzionalità (FOC, Fully Operational Capacity) venne raggiunta nel 1996 contando una flotta di 24 satelliti (operativi + ridondanti).

Nel 1996, al raggiungimento della F.O.C. per la costellazione GPS, avviene un cambiamento epocale per i trasporti civili. Sebbene fosse usato gia' "ufficiosamente" da alcuni anni come utile supporto per la navigazione marittima ed aerea, da quell'anno il GPS puo' essere utilizzato anche ufficialmente. Infatti una legge federale impone al ministero della difesa (D.O.D.) di mantenere il segnale civile dei 24 satelliti GPS sempre attivo, assicurando una "minima accuratezza" in qualunque contesto. A tutti gli effetti, inizia l'ERA DEL GPS.

Anch'esso nato come sistema militare, stavolta sviluppato dal dipartimento della difesa statunitense, venne reso accessibile all'uso civile gia dal 1981. All'inizio della sua storia esso si differenziava da quello militare per il grado di precisione. Mediante algoritmi gli Stati Uniti, che tutt'ora detengono la proprietà dei satelliti, introducevano degli errori random (SA, Select Availability) per l'utilizzi civile che attestavano il grado di precisione dei dispositivi ad un raggio di circa 100 metri (come riportato anche qui) (contro i 10 - 20 metri della versione militare) (contro i 10 - 20 metri della versione militare) come ci ricorda il coautore Enrico C. che ci accompagnerà nel corso di questo post e negli altri che seguiranno, come persona "matura" abbastanza da aver vissuto gli avvenimenti di cui stiamo parlando.

Per aumentare la precisione la stessa Guardia Costiera Americana (USCG) rilasciò per uso civile il GPS differenziale (DGPS, Differential GPS). In questo caso a partire dalla posizione di alcuni riferimenti noti e fissi si calcolava l'offset tra il valore letto dai ricevitori per gli stessi punti. Questo offset veniva inviato quindi alle imbarcazioni vicine per incrementarne la precisione.

La SA venne definitivamente "spenta" nel 2000, ad opera del presidente Clinton a seguito della Gerra Del Golfo. Infatti durante questo conflitto, per evitare che i GPS militari finissero in mano nemica i soldati di istanza in Iraq vennero equipaggiati con i meno accurati GPS civili. La scarsa accuratezza dei GPS in uso alle truppe americane causò numerose morti agli Stati Uniti che quindi decisero di spegnere definitivamente il sistema SA. Ovviamente tale sistema potrebbe essere riattivato in qualsiasi momento in caso, magari, di una terza guerra mondiale.

Nonostante tutto delle limitazioni sull'uso del GPS restano. Esso non può essere se l'oggetto che lo equipaggia si trova ad una quota superiore ai 18 km e ad una velocità superiore ai 515 m/s.

Da cosa è composto il GPS?

Il sistema GPS si compone di tre elementi principali.

Segmento spazio

Il segmento spazio a partire dal 2010 si compone di 31 satelliti più alcuni di riserva e alcuni ormai in disuso. I satelliti sono posti su piani inclinati di 55° rispetto al piano equatoriale con un orbita perfettamente circolare (la massima eccentricità ammessa è di 0.03) ad un altitudine di 26560 km e completano il giro del pianeta in approssimativamente 12 ore. I satelliti sono disposti in modo che ogni punto della terra sia coperto sempre da almeno 4 di essi (il numero minimo richiesto per calcolare la posizione in uno spazio 3d). Ognuno dei satelliti ha pannelli solari e batterie per alimentare l'elettronica di bordo e razzi a idrazina per correggere la sua orbita

Segmento controllo

Questo si compone di tutte le infrastrutture a terra necessarie al controllo dei satelliti. Esso è composto da una stazione di monitoraggio principale più una identica di backup, 4 antenne dedicate, 6 stazioni di controllo secondarie in grado di mandare un feedback ai satelliti in orbita.

A questi si aggiungono 16 stazioni di tracking sparse per il mondo. Il loro scopo è quello di tracciare la posizione di ogni singolo satellite specularmente a quanto era fatto con il DGPS. In questa configurazione ogni satellite deve "vedere" almeno 3 differenti stazioni in  modo da poter triangolare la sua posizione nello spazio e fornire quindi un dato preciso agli utenti che utilizzano il segnale come vedremo in seguito (come riportato anche dal sito dell'ESA).

Questo segmento è controllato per la maggior parte dal governo degli Stati Uniti che può decidere quando e come disabilitare il sistema GPS stesso. Inoltre il segmento spazio e controllo sono offerti gratuitamente dal governo degli stati uniti a tutti i cittadini.

Segmento utente

Beh, il segmento utente siamo noi. Tutti gli utilizzatori del GPS. E per farlo l'unica cosa di cui abbiamo bisogno è un dispositivo apposito. Inoltre, tale dispositivo, è l'unico elemento per cui gli utilizzatori devono pagare.

Come funziona il GPS?

Risultati immagini per matematica del gps

Per individuare la nostra posizione abbiamo bisogno di ricevere il segnale da almeno 4 satelliti. 3 di questi satelliti servono per calcolare le nostre coordinate in termini di latitudine, longitudine e altitudine; il quarto per correggere i dati ricevuti.

Quello che in pratica avviene è che il dispositivo ricevente contatta (almeno) 3 satelliti e misura il tempo di risposta. Tale tempo di risposta indica la distanza del ricevitore da ogni singolo satellite. Interpolando i dati di (almeno) 3 satelliti è possibile conoscere la posizione del ricevitore. In questa spiegazione semplificata emerge subito un problema. Il ricevitore non sa in che momento è partito il segnale ne la posizione del satellite quindi non può sapere quanto tempo il segnale ha impiegato e quindi la distanza. Per ovviare a questo problema ogni satellite invia un segnale che contiene, tra le altre informazioni, anche il tempo di partenza del segnale. Il ricevitore non deve fare altro che confrontare il tempo di ricezione con quello di partenza per potersi ricavare il occorso alla trasmissione per per giungere dal satellite all'osservatore. Se ripetiamo questa operazione su (almeno) 3 satelliti otterremo tre diversi intervalli temporali dt_1, dt_2 e dt_3. A questo punto sapendo anche le coordinate del satellite al momento della partenza del segnale possiamo calcolare la posizione del ricevitore come il punto di intersezione di tre sfere centrate sul satellite e con raggi rispettivamente dt_1, dt_2 e dt_3. Come può il ricevitore sapere la posizione del satellite? Essa è ancora contenuta nel messaggio inviato dal satellite stesso.

Il quarto satellite è necessario in quanto l'orologio interno del ricevitore è molto meno preciso di quello presente sui satelliti. Un errore di pochi microsecondi può portare ad errori molto grandi. Per correggere il tempo del dispositivo ricevitore occorre l'utilizzo del quarto satellite. In questo modo abbiamo un sistema di 4 equazioni in 4 incognite di cui tre relative alla posizione e la quarta relativa alla correzione temporale.

Da quanto detto appare evidente che il segnale emesso dal satellite è decisamente complesso. Ogni satellite trasmette su diverse portanti. In origine le portanti erano due, la prima L1 ha una frequenza di 1575.42 MHz mentre la seconda, detta L2, ha una frequenza di 1227.6 MHz. Per gli utilizzi civili inizialmente solo la portante L1 era disponibile, a partire dal 2005 le portanti L1C, L2C ed L5 sono state introdotte per migliorare l'affidabilità del segnale (maggiori informazioni in merito possono essere trovate qui). Per l'uso militare vengono utilizzate tutte e 5 le portanti (4 civili + la L2) per aumentare ulteriormente la precisione del dispositivo (fino a pochi centimetri). A partire dalla portante vengono modulati su di essa una serie di informazioni relative al tempo di partenza del segnale, alla posizione del satellite e il suo stato, la posizione di tutti i satelliti della costellazione, le correzioni da applicare dovuti agli effetti relativistici e dovuti all'atmosfera. Il ricevitore analizzando il segnale è in grado di stabilire il tempo impiegato dallo stesso a giungere dal satellite e quindi la distanza.

Mettiamo tutto in formule!

Chi si sente soddisfatto di aver capito il funzionamento del GPS in modo qualitativo può tranquillamente saltare questo capitolo, chi invece vuole vedere le cose scritte in modo esplicito e avere una conoscenza anche quantitativa grazie ancora ad Enrico di seguito vedrà avverato il suo desiderio e le idee esposte nel capitolo precedente prenderanno forma matematica.

Consideriamo un generico satellite in orbita intorno alla Terra. Questo satellite sarà uno dei tanti disponibili per il calcolo della posizione. Sia "i" l'indice del satellite che osservo; (X_i, Y_i, Z_i) la sua posizione, nota, e (X, Y, Z) la posizione dell'osservatore sulla terra, unica incognita da calcolare.

Ipotizzando di conoscere senza errore il tempo di propagazione del segnale da ciascun satellite all'osservatore (dt_i), posso scrivere l'equazione di RANGE, semplice distanza euclidea tra l'osservatore e l'i-esimo satellite:

RANGE_i = c * dt_i = \sqrt[2]{ (X_i-X)^2 + (Y_i-Y)^2 + (Z_i-Z)^2 }

Poiche' le incognite sono 3 (X, Y, Z del ricevitore) è palese che sia sufficiente scrivere un sistema di 3 equazioni. Quindi, in teoria, basterebbero 3 satelliti per conoscere la posizione esatta dell'osservatore a terra.

Ora, a seguito della scarsa precisione dell'orologio sul ricevitore rispetto a quello a bordo dei satelliti, e ipotizzando invece che l'orologio a bordo del satellite sia perfettamente tarato rispetto al tempo universale, aggiungo un Dt che e' l'offset temporale tra i due orologi, incognito. A seguito di questo errore la nostra equazione di RANGE diventa un equazione di PSEUDO RANGE (PSR).

PSR_i= c * (dt_i + Dt) = \sqrt[2]{ (X_i-X)^2 + (Y_i-Y)^2 + (Z_i-Z)^2 }

In questa nuova configurazione le incognite sono salite da 3 a 4 (le coordinate X, Y e Z del ricevitore e il Dt tra l'orologio di bordo e l'orologio a bordo dei satelliti.

Conclusioni preliminari

Ovviamente la matematica alla base del funzionamento del GPS è ben più complessa di quella esposta qui che rappresenta solo una semplificazione della stessa. Per esempio il tempo dell'orologio sul satellite non è sempre perfettamente allineato con il tempo globale e un ulteriore errore dovrebbe essere introdotto nel sistema di equazioni presentato. Oltre ciò per calcolare correttamente il delta temporale bisogna usare degli accorgimenti specifici che tengono in conto di tutti i possibili errori che l'equazione di pseudorange si porta dietro.

Il primo di questi errori è la velocità di propagazione del segnale che non è costante lungo l'atmosfera ma dipende dai parametri locali della stratosfera e della ionosfera. Il secondo errore insito nell'equazione di peseudorange è l'errore di diffrazione geometrica per cui il segnale non si propaga in linea retta (distanza geometrica cercata) ma secondo il percorso più breve. Infine va anche considerato l'errore relativistico nella misura del delta temporale dovuto al fatto che i satelliti si muovo in un campo gravitazionale (quello terrestre ovviamente).

Nel prossimo post vedremo come tutti questi errori vengono valutati e quanto possono influire sulla precisione del dato GPS. Vedremo, inoltre, in maggiore dettaglio come il delta temporale viene calcolato dal ricevitore a partire dallo sfasamento tra la portate ricevuta dal satellite ed una uguale generata dal clock interno.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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