Blog divulgativo sulla matematica applicata

Non c’hai il fisico: tratto da una storia vera (Parte 1)

La storia di una particella che passò oltre la barriera

A Tony Chopper

Efisico

Eccoci ad una nuova puntata del mio fu diario segreto. Inizio dal quel giorno in cui durante la lezione di cycling ridevo e piangevo, nascosta dalla luce soffusa, la musica a cannone, le urla di incitazione del trainer, il viso rosso imperlato dallo sforzo. Un pianto liberatorio, ero di nuovo padrona delle mie gambe, della mia schiena, del mio corpo e volevo urlarlo.

Il mio calvario è durato facciamo un 15 anni almeno. Dalle prime sciatalgie che mi costringevano ad andare al liceo col busto nascosto sotto la felpa, piegata a 45°, nella vergogna più totale, non essendo la più bella dell’istituto neanche in posizione eretta. Ho raggiunto l’apice del dolore e dell’impotenza quando sono rimasta bloccata del tutto 2 anni fa. Un dolore costante che contorceva fin nelle budella. Secchiate di cortisone, bucato ogni cm di sedere, arrivo all’operazione e penso di essere giunta alla fine della sofferenza.

Ma prendiamoci una pausa da questo racconto perché nel frattempo volevo raccontarvi anche di un'altra storia.

Storie in parallelo

La letteratura scientifica ci ha sempre detto che in presenza di forze conservative vige la legge della conservazione dell'energia:  E=V(x)+K(x). Questa legge ci racconta che, in presenza di una forza conservativa F(x), la somma dell'energia potenziale  V(x)=V(x_0) - \int_{x_0}^x F(s)ds e dell'energia cinetica K(x) =\frac{1}{2}mv^2 rimane constante (ad vale un certo valore che battezziamo E).

Ora prendiamo un bel piano cartesiano e disegniamoci la curva della funzione V(x). Per cui sulle ascisse troviamo la posizione x della particella e sulle ordinate il valore dell'energia potenziale posseduta dalla particella in quel punto. Fatto? Più o meno avreste dovuto tracciare qualcosa come questo disegno qui sotto, una linea un po' curvata, con un livello di energia E dove ci pare e il "classico" carrellino (che fa le veci materiali di una particella piccina) che corre come un pazzo furioso sulla curva del potenziale.

Vx_HD

Come nei migliori film di azione, la domanda che ci poniamo sempre quando vediamo il carrellino sfrecciare a tutto gas è se ce la farà a superare l'ennesima cunetta. E la risposta è: se ha energia a sufficienza.  Quanta? Supponendo che il punto più alto della cunetta si trovi alla posizione x_M, almeno pari a V(x_M) più un soffio di vento alle spalle. Altrimenti? Raggiunge una certa altezza ma, sfinito, se ne torna indietro (magari a prendere la rincorsa di nuovo).

Il giorno dopo, nel letto dell’ospedale vedevo persone operate poco prima o poco dopo di me zompettare gaie per i corridoi. Quando mi hanno detto “prova ad alzarti”, avrò impiegato un 20 minuti per issarmi seduta, gettare qualche imprecazione e tornare distesa, sconfitta. Mi dissero, non potrai più correre, scordati la moto, scordati la capoeira, scordati tutto ciò che ti piace perché non c'hai il fisico, solo nuoto e/o passeggiate veloci, perché il nuoto fa bene alla schiena, il  nuoto fa bene per tutto. Come la mela, che ti libera dal medico. Come quando hai mal di testa e ti dicono "devi metterti a dieta". Mi prude il naso: "devi metterti a dieta". Ho le vesciche ai piedi:  "devi metterti a dieta". Ecco, se dici, "devi fare nuoto" o "devi metterti a dieta", secondo me, vinci una laurea in medicina, così, honoris causa.

Tornando ai nostri potenziali, immaginiamo di cominciare a disegnarne tanti. E sempre immaginando di tracciare la nostra linea di energia E dove ci pare potremmo intersecare il grafico di V(x) in nessuno, uno o più punti. In particolare pongo l'attenzione su un paio di situazioni.

conservazione energia small

Se V(x)>E in due punti di x, identificati con x_1 e x_2 e battezzati punti di inversione, la particella rimane intrappolata tra di essi e si dice che è in uno stato legato.

Se V(x)<E in un solo punto, la particella arriva da infinito, accelera o rallenta sotto l'influenza del pontenziale e se ne ritorna a infinito. In questo caso di dice che la particella è in uno stato di diffusione.

A seconda di V potremmo avere solo stati legati o solo stati di diffusione o entrambi. Ad esempio, la forza elastica F=-kx genera un potenziale pari a U=\frac{1}{2}k x^2 (in queste formule assumiamo che la posizione iniziale sia tale per cui x_{iniziale}=0). Avrete sicuramente riconosciuto l'equazione di una parabola, per cui per il potenziale U tracceremmo un grafico come questo:

Vx elastica

Qualunque valore scegliate per E avrete sempre due intersezioni con la curva di potenziale e si avranno solo stati legati.

Dopo l'operazione lavarsi i denti senza che mi sbavassi addosso era diventato lo scopo del mattino e della serata. Un bastone era più elastico della mia schiena. Dopo l'ultimo dei 3 mesi di reclusione, mi dicono che posso tornare alla vita di tutti i giorni, così tutta elettrizzata mi tolgo il pigiama e infilo una camicia. Il mio braccio ci stava dentro a stento e non era colpa dei muscoli. Non riesco a riassumere lo sconforto di quel momento. Chi era quel pancake coi baffi? La vita di tutti i giorni, quale? Avevo cambiato casa, non uscivo più alle 18 dall'ufficio per fare capoiera alle 19, non mi vestito più come prima, non camminavo neanche come prima, mi sono isolata dalle amicizie per lavorare di più e portare avanti  la fisioterapia. Non c'era più nulla di tutta la mia vecchia vita, nulla. Presto mi sono accorta di dover fronteggiare un nuovo nemico: la depressione.

Si io ero quel carrellino che aveva corso sempre cercando di esorcizzare quel mostro che mi portavo dentro, portando avanti la mia vita ignorandolo: "non ci sei, non ti temo", "comando io qui sai, non mi fermi guarda che aù che ti faccio!", "aia questa l'ho sentita, ora mi hai fatto arrabbiare, beccati questa cabeçada", ma era solo un'illusione. Non solo non avevo superato la cunetta successiva, ma ero stata respinta a 3 o 4 cunette prima. Ricominciare, con quale energia?

 Le premesse per una nuova storia

E' piuttosto evidente la mia passione per la meccanica quantistica. Ma chi non ne rimane affascinato? E' un mondo stravolto, è il paese delle meraviglie di Alice. E' tutto il contrario di tutto: il gatto è vivo e morto, la particella è materiale e onda, non esistono certezze ma solo probabilità e anche se mi rendo conto che è una realtà che ci permea ma che non riusciamo ad apprezzare quotidianamente, è qui che voglio cercare un nuovo finale.

Ripartiamo intanto da quello che ci eravamo raccontati sull'equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo (per un ripassino veloce potete cliccare qui e anche qui) che vi ricordo essere:

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x).

Facciamo anche un rapido ripasso della celeberrima funzione di Dirac. Consideriamo una funzione molto semplice, una funzione del tipo:

\delta_\varepsilon(x)=\begin{cases}\frac{1}{\varepsilon} &\text{se $0\leq x \leq \varepsilon$}\\ 0&\text{altrimenti}\end{cases}.

Non lasciamoci ingannare da \varepsilon e disegniamola.

delta_eps

Noto che è una funzione discontinua che vale 0 ovunque tranne per un segmento dell'asse delle ascisse di lunghezza \varepsilon per il quale si ha che l'ordinata è fissa a \frac{1}{\varepsilon}. In termini ancora più pratici, è un rettangolo di base \varepsilon e altezza \frac{1}{\varepsilon}, e quindi di area 1. E' vero che \varepsilon è un valore arbitrario, ma è anche vero che questa letterina greca per i fisici, i matematici, ecc. è sempre una quantità piccola "a piacere". Talmente piccola che la si pensa molto prossima allo 0 (o, si dice, la si fa tendere a zero). In ogni caso, poniamo anche l'attenzione sul fatto che l'area rimane fissa a 1 comunque si faccia variare la base.

La delta di Dirac la possiamo pensare come il caso limite di queste funzioni, è cioè limite per \varepsilon che tende a 0 delle \delta_\varepsilon(x). In simboli:

\delta(x)= \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \delta_\varepsilon(x)= \begin{cases} +\infty &\text{se $x=0$}\\ 0&\text{altrimenti}\end{cases}

delta

Nonostante la sua forma stravagante, ricordando che l'integrale è il valore dell'area sottostante il grafico, si ha:

\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)dx=1

Va detto che la delta non è affatto una funzione, i matematici la chiamano funzione generalizzata o distribuzione.  Notando che la delta vive solo nel punto x=0, per ogni funzione f(x) continua in x=0, vale l'uguaglianza f(x)\delta(x)dx= f(0)\delta(x).  Da cui integrando ambo i membri su tutto \mathbb{R}:

\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(0)\delta(x)dx=f(0)\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)dx=f(0)

Ancora un'ultima osservazione: se invece di considerare l'intervallo iniziale [0,\epsilon] considerassimo [x_0,x_0+\epsilon], ovvero se centrassimo la delta in valore arbitrario  x_0 dell'asse delle ascisse, scriveremmo in modo analogo

 \delta(x-x_0) = \begin{cases} +\infty &\text{se $x=x_0$}\\ 0&\text{altrimenti}\end{cases}     e     \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-x_0)dx=1 ;

e ancora che per ogni funzione f continua in x_0,

\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-x_0)dx=f(x_0) .

Questa proprietà della delta è estremamente importante. Infatti uno dei motivi principali per cui la delta di Dirac è usata massicciamente in ambito fisico (e non) è che ci permette di selezionare il valore di f in x_0 sotto il segno di integrale.

Tornando allora alla nostra ricerca di un nuovo finale per il carrellino, la proposta che vi faccio è di considerare il potenziale

V(x)=-\alpha\delta(x)

e di provare a risolvere l'equazione di  Schrödinger  scritta su. Non vi preoccupate, ci avventureremo insieme in questo nuovo esercizio nel prossimo post.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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