Blog divulgativo sulla matematica applicata

Topologia, film e serie Tv.

I Simpson sono ormai entrati di diritto nella cultura popolare di tutto il pianeta. Frequenti sono le loro citazioni e camei di personaggi famosi più variegati, anche personalità scientifici di alto livello.   

Una delle apparizioni più impresse nella mia memoria c è quella di Steven Hawking che discute con Homer al bar di Boe sulla forma dell Universo. “InteTopologia, film e serie tvressante questa tua idea di un universo a forma di ciambella” dice Hawking a Homer, che come ben sappiamo è patito di ciambelle. Ma perché questa delirante introduzione sulle ciambelle? Perché le ciambelle esistono anche in matematica, ma non si mangiano.

In matematica le ciambelle sono chiamate tori (agg. toroidale n.d.a.).  Ma perché Hawking è così interessato alla forma dell’universo? Ponendo la domanda in modo diverso, l’Universo, e quindi lo spazio in cui viviamo, che forma dovrebbero avere..........non è semplicemente spazio?

Ebbene no. 

La risposta ci viene data ancora una volta dalla matematica, in particolare da una branca della matematica detta Topologia. Cos’è la topologia? La topologia è la matematica che studia gli spazi, tutti di tipi di spazi, e le loro proprietà.

Immaginiamo di vivere in un mondo in due dimensioni. Vuol dire ogni punto dello spazio può essere identificato tramite una coppia di assi orientati perpendicolari tra di loro

Topologia, film e serie Tv.

Ma se vogliamo rappresentare questo mondo bidimensionale in uno spazio a 3 dimensioni allora potremmo avere più possibilità

Topologia, film e serie Tv.         Topologia, film e serie Tv.

in entrambi i casi abbiamo uno spazio bidimensionale su cui muoverci, ma la superficie su cui ci spostiamo, e la sua curvatura (cioè quanto la superficie è "tondeggiante"), cambiano nei due diversi casi.

Questo è un semplice, ma eloquente esempio di come pur vivendo sempre in uno spazio bidimensionale, la forma dello spazio su cui viviamo può essere globalmente diversa.

In modo analogo possiamo passare da un mondo bidimensionale a un mondo tridimensionale (il nostro per esempio). Tuttavia riuscire a visualizzare una 'forma' tridimensionale in uno spazio quadridimensionale non è altrettanto facile (con grande rammarico degli  appassionati di viaggi interdimensionali).

Quello che si può fare è trovare rappresentazioni "alternative" di mondi a più dimensioni.

Senza ricorrere ad teorie matematiche degne di astrusi esseri viventi pentadimensionali (n.d.r citando "Guida Galattica per Autostoppisti"), si possono utilizzare come esempio scena della nostra cinematografia moderna.

Di nuovo però dobbiamo partire dal nostro toro bidimensionale. Per farla breve, se un tagliamo un toro bidimensionale lungo due cammini fondamentali (nell'immagine colorati di arancione e verde), otteniamo.......un rettangolo!

 

Topologia, film e serie Tv.

Il rettangolo che otteniamo però avrà elle proprietà particolari, cioè ogni suo lato sarà connesso! Come in un video gioco arcade anni '80 se usciamo da un lato del rettangolo.....ci ritroviamo "miracolosamente" dalla parte opposta!

Topologia, film e serie Tv.

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In termini matematici il nostro toro è un dominio chiuso connesso e limitato!

La possibilità di passare da un toro a un rettangolo con i bordi "connessi", è legata alla possibilità che il toro può essere tagliato seguendo due diversi cammini distinti e sconnessi tra di loro.  Questi due cammini sconnessi formano una struttura matematica detta gruppo fondamentale. Possiamo definire in modo informale il gruppo fondamentale come l'insieme dei cammini, o tracciati, lungo i quali è possibile tagliare il toro e dispiegarlo totalmente su un piano. Matematicamente il gruppo fondamentale del toro risulta essere \approx \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}, dove \mathbb{Z} è l'insieme dei numeri interi.

Questo ovviamente si può generalizzare per un toro con n buchi, secondo la classificazione di Poincare'.

Bene. Questi erano un pò di paroloni matematici per mettere un pò di carne al fuoco.

Adesso finalmente possiamo parlare dell'iper-toro. Così come il toro 2-d si "spalma" su un piano, il toro 3-d si può "spalmare nello spazio". Questa è la sua rappresentazione.

hypercube

Anche in questo caso , le facce dello stesso colore rappresentano facce "collegate".

Se fossimo dentro un ipertoro come faremmo a capirlo? La risposta in questo caso (paradossalmente) è  abbastanza semplice.  Così come nel toro 2-d spalmato, arrivati a un confine verremmo "teletrasportati" dalla parte opposta, lo stesso vale per il toro 3-d. Solo che in questo caso invece di stare su un piano, saremmo uno spazio.

Un esempio concreto? Ne ho almeno un paio in mente.

Matrix reloaded, anno 2oo3.

The_Matrix_Revolutions_broken_room_link

E ancora meglio "The Hyper-cube", sempre anno 2003. E il nome in questo caso dice tutto.

Cube_2_Hypercube_broken_room_link

Per chi vuole divertirsi a trovare altri esempi sparsi nella cinematografia, ve ne suggerisco un altro. Una scena analoga si trova nel film "The Eternal Sunshine of the Spotless Mind".

Un'ultima chicca? Rimanendo in tema di geometrie di ordini superiori l'ipercubo nell'universo cinematografico e letterario, ha un nome che i fan della Marvel forse adesso conoscono molto bene.

tenor

Il tesseratto, che non è altro che versione italianizzata del termine tesseract.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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