Blog divulgativo sulla matematica applicata

Trucchi matemagici - Il gioco delle 21 carte

di Alessio Giannotta e Pierandrea Vergallo

giochi-carte-matematici

Nella tradizione popolare i giochi di carte hanno sempre rivestito un posto particolare nella quotidianità dei più e dei meno giovani. Oltre ai più famosi giochi di gruppo come la briscola, la scopa e il burraco, ve ne sono alcuni che hanno incantato generazioni di bambini che, basiti, hanno potuto immaginare anche solo per poco che la magia esistesse davvero. Sicuramente tra questi i giochi di prestigio, con carte nascoste un po’ qua e la per i vestiti, o con scaltrezza nel rimescolarle sono i più gettonati. 

Con il passare del tempo, però, molte di queste “magie” hanno svelato il proprio inganno e solo alcune sembrano ancora stupire persino gli adulti, ignari di quanto la matematica che si cela in un gioco di carte possa ancora illudere che il mistero del buon esito possa essere spiegato solo tramite la magia. In questo articolo abbiamo scelto di presentarvi il cosiddetto gioco “delle 21 carte” o “dei tre mazzetti”. 

In questo gioco il “mago” di turno ha un mazzo di 21 carte che suddivide inizialmente in tre colonne di 7 carte ciascuna, avendo cura di metterle scoperte e di dividerle per riga nel seguente ordine:

Al giocatore verrà chiesto di scegliere una carta e di indicare solamente la colonna in cui essa si trova. A tal punto il mago dovrà riunire il mazzo collocando la colonna indicata tra le due restanti, senza alterare la posizione delle carte nelle rispettive colonne. Ad esempio, facendo riferimento alla fig.1, se la carta scelta è la 10, riposizioneremo la prima colonna ordinata (1,4,7,10,13,16,19) tra la seconda e la terza (anche queste mantenute in ordine). Il mazzo verrà suddiviso in tre colonne come fatto in precedenza, quindi il giocatore indicherà nuovamente la colonna in cui si trova la carta scelta e di conseguenza verrà riunito il mazzo utilizzando lo stesso metodo. Ripetuta questa procedura per la terza volta, allora “magicamente” la carta da indovinare risulterà l’undicesima del mazzo.  Come si vede, nella descrizione del gioco, non c’è nessun sotterfugio, il gioco procede linearmente e senza nessun imbroglio. Ci chiediamo ora: È tutto un caso? Riusciamo a trovare una regola che renda tutto più ragionevole, facendo risultare ovvio un gioco il cui esito può sembrare sorprendente?

Prima di addentrarci nei meccanismi del gioco cerchiamo di dare un nome e un ordine agli oggetti e alle regole. Gli oggetti del nostro gioco sono ventuno carte le cui posizioni nel mazzo indicheremo con c_0,..., c_{20} (la motivazione del perché non usiamo la notazione c_0,..., c_{21} risulterà chiara più avanti). Attenzione: con c_i  indichiamo la i+1-esima carta del mazzo (ad esempio c_0 è la prima carta), pertanto se il mazzo è rimescolato allora ci può rappresentare una carta diversa. In questo modo stiamo individuando le carte esclusivamente in base alla loro posizione nel mazzo. Un passaggio fondamentale del gioco è quello della suddivisione in colonne del mazzo (come nell’ esempio di fig.1), traducendo in un linguaggio più tecnico, stiamo collocando le ventuno carte in una tabella composta da 7 righe (riga0, riga1,..., riga6) e 3 colonne (colonna0, colonna1, colonna 2) come in figura 2:

Schermata 2019-05-14 alle 20.22.20

Più precisamente, data una generica carta che chiameremo x, essa occuperà una determinata  posizione nel mazzo, ovvero sarà individuata univocamente in una  c_k dove k=0?20 (d’ora in avanti si indicherà con “→” l’operazione che associa la carta x ad una c_k) quindi x\rightarrow c_k. Nella fase di divisione in colonne (e righe), c_k sarà collocata in una determinata casella della tabella ovvero possiamo individuarla in modo univoco assegnando numero di riga e colonna che denotiamo con (r,c). Per individuare in quale casella andrà a finire la carta in c_k basta osservare che: effettuando la divisione di k con 3 otterremo quindi un quoziente q ed un resto j allora la carta sarà collocata sulla riga r=q e sulla colonna c=j. Ad esempio, se consideriamo la carta in c_{14} allora effettuando la divisione con il resto otteniamo che 14=4\cdot 3 + 2 pertanto q=4 e j=2 quindi, come possiamo verificare in fig.2, la suddetta carta sarà collocata nella locazione (4,2), ovvero riga 4 e colonna 2.

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Un'osservazione puramente matematica: gli indici k di una fissata colonna c\in\{0,1,2\} sono tali che k=c \quad mod 3. Pertanto c individua una classe di equivalenza modulo 3.

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Poter localizzare la generica carta con un sistema di coordinate riga/colonna è molto utile per individuare con sicurezza la posizione che assumerà la carta nel mazzo dopo la scelta della colonna e il successivo rimescolamento, ovvero: Scelta la colonna in cui si trova la carta allora il mazzo verrà riunito mettendo la colonna indicata tra le altre due, questo vuol dire che nel mazzo ricomposto le carte della colonna scelta saranno comprese tra l’ottava e la tredicesima ovvero saranno nelle posizioni c_7, ... , c_{13} del nuovo mazzo e in particolare: consideriamo una carta x\rightarrow c_k, come sappiamo a tale carta sarà associata una determinata locazione riga/colonna (r,c) dove r\in\{0,...,6\} e c\in\{0,1,2\} e, osservando che r rappresenta proprio dopo quante carte della colonna c si trova c_k (ad esempio c_{14} assume la locazione (4,2) ovvero è la quarta carta della colonna 2) , se c è la colonna scelta, nella risistemazione del mazzo la carta c_k andrà in una nuova posizione del mazzo pertanto x\rightarrow c_{k'} dove k'=7+r in quanto prima di c_{k'}ci saranno le sette carte della prima colonne più le r carte che si trovano prima di c_{k'}  nella colonna scelta c.

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 Matematicamente: Stiamo quindi definendo un permutazione sugli indici k, ovvero una corrispondenza biunivoca (corrispondenza uno ad uno) che chiamo π da {0,1,...,20} in  {0,1,...,20} così definita:

\pi:\{0,1,2,..., 20\}\rightarrow\{0,1,2,...,20\} , k \mapsto \pi (k)  tale che:

se c_k s trova nella colonna scelta allora \pi (k)=7+q dove q è il quoziente della divisione di k con 3. Osserviamo che non stiamo definendo \pi globalmente ma solo per gli indici della colonna scelta in quanto ci interessa sapere con precisione come si “muovono” le possibili soluzioni all’interno del mazzo.

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Osserviamo che la posizione assunta la carta nel mazzo riordinato dipende esclusivamente dalla riga in cui si trova e non dalla colonna.

Avendo la notazione e gli strumenti definiti in precedenza, capiamo che il gioco risulterà vero se in ogni caso, alla fine della “sequenza magica” la carta scelta risulterà sempre l’undicesima, cioè quella nella posizione c_{10}. Dividendo il gioco in tre fasi, ognuna composta da: divisione del mazzo in colonne, scelta e riordinamento, e analizzandolo passo dopo passo si ottiene:

Prima fase: Il primo passo è quello di posizionare le carte in una tabella come in fig.2. A questo punto si invita il giocatore alla scelta di una carta tra le ventuno che indicheremo con x, da cui ovviamente abbiamo che nella situazione iniziale x \rightarrow c_k dove ,

k\in\{0,1,2,....,20\} ovvero 21 possibili soluzioni. Il gioco prosegue scegliendo la colonna in cui si trova x e riordinando il mazzo in modo che la colonna scelta sia nel mezzo. Per l’osservazione precedente dopo questa prima fase nel nuovo mazzo la carta scelta si troverà sicuramente tra l’ottava e la quattordicesima carta ovvero x\rightarrow c_k con k\in\{7,...,13\}, pertanto la prima fase riduce le possibilità a sole 7 carte su 21.

Seconda fase: procedendo con il gioco ora il mazzo riordinato viene nuovamente diviso in righe e colonne come in fig.2. In questa fase, però, sappiamo che x\in\{c_7,..., c_{13}\} pertanto x sarà collocata in una locazione del tipo (2,c),(3,c) oppure (4,c) ovvero si troverà o sulla terza o sulla quarta o sulla quinta riga come possiamo vedere in figura.

Schermata 2019-05-14 alle 20.40.49

Ora, una volta indicata la colonna in cui si trova x, il mazzo viene risistemato e per quello che abbiamo osservato, nel mazzo riordinato x\rightarrow c_{k'} con k'=7+r e r è la riga in cui si può trovare x ma, poiché abbiamo osservato che r\in\{2, 3, 4\}, di conseguenza x\mapsto\{c_9, c_{10}, c_{11}\}.

In questa seconda fase abbiamo ridotto le possibilità a 3 carte su 21.

Terza fase: Dividiamo per l’ultima volta il mazzo in righe e colonne e considerando che x\mapsto\{c_9, c_{10}, c_{11}\} deduciamo che x si troverà sicuramente sulla quarta riga pertanto assumerà una locazione (3,c) come possiamo vedere in figura:

Schermata 2019-05-14 alle 20.45.05

Indichiamo la colonna in cui si trova la carta scelta, sistemiamo il mazzo e poiché in ogni caso x si troverà sulla quarta riga (avrà locazione (3,c)) possiamo concludere che nel mazzo riunito x\rightarrow c_{k'} dove k'=7+r e poiché r=3 otteniamo x nella posizione c_{10}.

In conclusione otteniamo che, in ogni caso, la carta x scelta in partenza, seguendo le procedure del gioco, alla fine corrisponderà a c_{10} ovvero sarà l’undicesima carta del mazzo.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

2 commenti

  1. Fedoleon's Gravatar Fedoleon
    giugno 10, 2019    

    Sono un prestigiatore professionista e vi dico che, tutto questo casino di numeri e di calcoli e ultra-passaggi per arrivare a poter stabilire quale sia la carta scelta, è una bellissima, enorme, strabiliante (trotrotron!!) Cagatona.
    Questo articolo sminuisce la bellezza ed il prestigio della nostra arte ma per fortuna, abbassando le aspettative, permette al nostro pubblico di godere ancor più della gioia del vero stupore di fronte ad una vera magia.

  2. Daniele Rota Nodari's Gravatar Daniele Rota Nodari
    giugno 10, 2019    

    Conosco questo gioco da tanti anni, illustratomi da un amico domatore di leoni nel circo della sua famiglia..
    La sua versione del gioco prevede di fare scegliere la carta prima della distribuzione in colonne, che più avviene girandole una alla volta, in modo da celare agli osservatori la natura matematica del gioco.
    Una volta terminate le scelte, i mazzetti vengono ricomposti come un sandwich, in cui le carte del mazzetto chiave vengono appoggiate al centro degli altri, leggermente spostate in altezza, alternativamente verso l'alto e verso il basso.
    Il gioco si conclude picchiettando con delicatezza il mazzo sul tavolo, più volte in entrambe le direzioni, finché per slittamento "scappa" fuori solo quella centrale.

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