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Le simmetrie in matematica: tutto si trasforma?

Uno degli aspetti sicuramente più artistici e, per questo, più interessanti della matematica è il concetto di simmetria. Si parla di simmetria sferica, cilindrica, simmetria rispetto ad un asse oppure ad un punto fissato. Possiamo vedere pressoché simmetrie ovunque se percorressimo la storia dell’arte antica e moderna. Questo perché la simmetria fa bene agli occhi. Un occhio che vede simmetrie in un disegno è più sereno, scopre meglio i dettagli di una figura riuscendo a porre attenzione esclusivamente su di una piccola parte ed estendendo la struttura appresa al resto. 

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I matematici cercano nelle strutture che compongo la geometria, l’algebra e la fisica più o meno le stesse cose. Cercano simmetrie che possano semplificare un problema, proprio come succede al nostro occhio. 

Capire, però, come può una simmetria semplificare un problema matematico più o meno complesso resta un tassello ben più in là degli scopi di questo articolo. 

Varietà di varietà.

Cos’è una simmetria? 

Ecco, tramite questa domanda possiamo definire un quadro generale di come lavora un geometra oppure un fisico-matematico. 

Innanzitutto c’è uno spazio, una struttura che spesso è scelta essere una varietà. Molto brutalmente una varietà è uno spazio in cui ogni punto può essere identificato tramite delle coordinate in maniera coerente e ben definita. images

Ad esempio una sfera è una varietà, infatti tramite le coordinate definite da latitudine e longitudine è possibile identificare in maniera univoca ogni punto su di essa. Ulteriore esempio può essere banalmente un piano cartesiano, dove le tipiche coordinate (x,y) la fanno da padrone. Ma anche strutture meno comuni come ad esempio il toro (dalla tipica forma a ciambella) o una superficie un po’ curvata qua e là. 

E’ chiaro che queste strutture si prestano bene a descrivere la realtà, spesso in piccole porzioni per volta ovviamente. In particolare, una proprietà interessante di una varietà è quella di poter essere approssimata in piccoli sottoinsiemi tramite un piano (detto piano tangente alla varietà in un punto fissato). Questo carattere ci permette spesso di passare da una struttura curva a quella “piatta” del piano, anche se solo per intorni piccoli di punti.

Trasformazioni.

Ora, però, per rintracciare una simmetria all’interno di uno spazio è necessario “guardare” a questo tramite delle lenti particolari. I matematici per fare questo si affidano ai cosiddetti Gruppi di trasformazioni. 

L’idea è quella di spostare con un certo criterio i punti dello spazio e cercare di capire in quali casi questi rimangono fissi, oppure si spostano non modificando la forma della varietà.

Ad esempio, prendiamo una retta. Ora proviamo a trascinare ogni punto su di essa lungo la sua direzione, tutti di una stessa distanza fissata. Come in figura.


Schermata 2019-11-18 alle 17.32.08

Guardando adesso alla retta nel suo complesso, e non più al singolo punto, è chiaro che non è cambiato assolutamente nulla. Infatti, essendo la retta illimitata da due versi è chiaro che lo spostamento non ha comportato nessuno strappo, nessun punto è fuoriuscito dalla nostra varietà né tanto meno ne sono stati aggiunti degli altri. 

Parlando in termini matematici, una trasformazione è una funzione 

\Phi: M\rightarrow M

che associa, quindi, ad un punto del nostro spazio un altro punto dello stesso (non necessariamente diverso). 

Ad esempio, prendiamo un piano e applichiamogli una trasformazione che faccia ruotare tutti i punti attorno al centro degli assi. Se la rotazione è di un angolo \theta allora la trasformazione può essere espressa come segue 

(x,y)\mapsto (xcos\theta-ysin\theta, xsin\theta+ycos\theta)

Un esempio di rotazione di una figura geometria, in questo caso un triangolo, è rappresentato in figura:

rotation-in-math.jpg

Un esempio analogo può essere quello della dilatazione di un segmento. Anche questo rappresenta una trasformazione. In questo caso ad ogni punto si associa un punto nella stessa direzione ma “moltiplicato” per una quantità fissata. In realtà, questo ha un senso se consideriamo un punto come un vettore (una freccia) avente come primo estremo l’origine degli assi e come secondo estremo il punto stesso. 

Questa dilatazione si presenta come una trasformazione del seguente tipo:

(x,y)\mapsto (a\cdot x, a\cdot y)

come in figura:

 Schermata 2019-11-18 alle 17.36.01

Nella figura il vettore AC=2\cdot AB, quindi è stato scelto a:=2.

Il passo cruciale per far lavorare queste trasformazioni è cercare di combinarle tra loro e vedere cosa succede. 

Ad esempio, è possibile combinare due rotazioni sul piano ( o nello spazio) in modo che un punto sia ruotato prima di un angolo \theta_1 e successivamente di un angolo \theta_2. Se la rotazione è nella stessa direzione (in genere scelta antioraria per angoli positivi e oraria per quelli negativi) allora ho spostato ogni punto esattamente di \theta_1+\theta_2. Fortunatamente questa è ovviamente ancora una rotazione. 

Buono, molto buono per i nostri interessi. Infatti, è facile osservare che è sempre possibile data una rotazione di \theta trovare una rotazione opposta -\theta che  riporti al punto di partenza. 

Quando le trasformazioni si possono comporre (con proprietà associativa), si possono invertire, posseggono una trasformazione che lascia tutto invariato (detta identità) allora si dice che queste compongono un gruppo. 

Il caso delle rotazioni è uno dei più interessanti. Infatti, il gruppo delle rotazioni del piano, dello spazio e di una generica varietà è uno dei più studiati e conosciuti. 

Gruppi di trasformazioni che dipendono esclusivamente dalla scelta di un valore detto parametro sono dei gruppi di trasformazioni ad un parametro. Anche in questo caso il gruppo delle rotazioni si presenta come un esempio assai interessante. Abbiamo visto infatti, che dati due angoli \theta_1 e \theta_2 è possibile comporre le rotazioni corrispondenti in una nuova rotazione di un angolo pari a \theta_1+\theta_2. Pertanto facendo variare \theta\in [0,2\pi[ otteniamo le infinite rotazioni sul piano, che formano un gruppo di trasformazioni ad un parametro.

Questo viene spesso indicato in maniera compatta con 

\Phi_t

dove t è il parametro che varia.  

Gruppi di simmetria.

Il concetto di gruppo, allora, si presta bene a geometrizzare l’idea armonica ed artistica che abbiamo di simmetria. Infatti, dato un sottoinsieme A di punti di una varietà e un gruppo di trasformazioni \Phi_t sulla stessa diremo che esso è un gruppo di simmetria per il sottoinsieme A se questo è lasciato invariato sotto l’azione del gruppo. 

Ad esempio, la retta di alcuni esempi sopra è sicuramente lasciata invariata dalla traslazione scelta. Pertanto, supponendo che la retta in forma esplicita abbia equazione y=ax, il gruppo 

\Phi_t, (x,y) \mapsto (x+t,y+at)

è un gruppo di simmetrie per la retta. 

Prendiamo ora l’insieme dei punti di una circonferenza centrata nell’origine e di raggio unitario. (Questa è una scelta esclusivamente dettata da una necessità computazionale, tuttavia un discorso identico potrebbe fatto per qualsiasi circonferenza). L’equazione associata alla circonferenza in questione è pertanto la seguente:

Schermata 2019-11-18 alle 18.06.43x^2+y^2=1

Si può provare che questo sottoinsieme è ancora una varietà, in particolare essa è una sottovarietà del piano euclideo.

Ora, consideriamo il solito gruppo di simmetrie ad un parametro \Phi_\theta delle rotazioni, la cui azione sul piano euclideo è:

\Phi_\theta (x,y)=(xcos\theta-ysin\theta, xsin\theta+ycos\theta)

Osserviamo che posto 

X=xcos\theta-ysin\theta

Y=xsin\theta+ycos\theta

si ha che 

X^2+Y^2=x^2cos^2\theta+y^2sin^2\theta-2xycos\theta sin\theta+x^2sin^2\theta+y^2cos^2\theta+2xycos\theta sin\theta 

e semplificando:

 X^2+Y^2=x^2cos^2\theta+y^2sin^2\theta-+x^2sin^2\theta+y^2cos^2\theta

sfruttando la prima relazione goniometria fondamentale 

sin^2\theta+cos^\theta=1

si ottiene che 

X^2+Y^2=x^2+y^2

ma essendo (x,y) in partenza un punto sulla circonferenza è chiaro che 

X^2+Y^2=1

Abbiamo verificato pertanto che il gruppo delle rotazioni agisce sulla circonferenza lasciandola “intatta”. Esso è quindi un gruppo di simmetrie ad un parametro per la circonferenza unitaria. 

Simmetrie ed equazioni.

L’obiettivo ultimo di un matematico è spesso quello di trovare delle soluzioni di un’equazione (non sempre di tipo semplice come quelle viste in questo articolo). Un modo per riconoscere se queste soluzioni esistono e capire di che forma possono essere è quello di studiarne le possibili simmetrie. 

Il primo passo è quello di geometrizzare l’equazione data associandogli una sottovarietà in una varietà più grande. Questa è il luogo di tutti i punti che soddisfano l’equazione che vogliamo studiare.

Successivamente si studia, tramite metodi più o meno complessi, il gruppo delle simmetrie della sottovarietà e con questo si cerca di comprendere qualcosa di più sulla natura delle soluzioni cercate. Se fortunati, la ricerca delle simmetrie ci permette persino di calcolare in maniera diretta tali soluzioni.

Conclusioni.

dsc05270Questa brevissima panoramica sull’idea matematica di simmetria non può che presentarsi solo come uno spunto per il lettore che, se interessato, può contattarmi per avere maggiore materiale a riguardo. 

Resta, per chiunque, il fascino di un concetto complesso e al limite tra la natura spesso ritenuta arida della matematica e la vena artistica che è un po’ presente in ognuno di noi.

[Palazzo del Parlamento Ungherese]

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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