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Manuale di matematica per automobilisti in erba - Sospensioni ed equazioni differenziali [Parte 1]

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Chi guida quotidianamente sa bene quanto le strade italiane possano essere sconnesse. Dossi e buche possono rendere il nostro lunedì mattina un vero inferno (come se già non lo fosse di suo).

Per evitare lo stress dovuto al guidare sulle nostre strade posso proporvi tre soluzioni pratiche. La prima è quella di boicottare la guida; smettere per sempre di guidare è pur sempre una soluzione. La seconda soluzione è di trasferirsi in un paradiso tropicale, Caraibi o Bahamas vanno bene entrambi, a quel punto tutto diventa più bello; una strada che in Italia sarebbe dissestata li diventa una strada non battuta nella natura incontaminata, tutta un altra storia. Se come me non potete rinunciare a guidare ma siete allergici al polline e quindi non potete proprio trasferirvi in un paradiso tropicale allora ho per voi una terza soluzione. L'utilizzo di ottime sospensioni.

Anatomia di una sospensione

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Le sospensioni sono state inventate allo scopo di ridurre lo stress e le vibrazioni derivanti dal guidare su strade sconnesse. Come funziona una sospensione?

Una sospensione è composta da due elementi principali:

molla - che serve ad attutire gli urti e le asperità del terreno.

ammortizzatore - che serve a smorzare l'entità delle vibrazioni che si producono all'interno della molla.

I due elementi sono combinati tra di loro in diverse maniere e con diverse geometrie ma sempre con il fine di migliorare il comfort di chi guida. Andiamo a vedere come!

Modello matematico di una sospensione

I due componenti fisici che abbiamo visto in precedenza (molla ed ammortizzatore) hanno i loro corrispettivi nel mondo matematico. Una molla è considerata essere un elemento privo di massa che genera una sua forza interna proporzionalmente allo spostamento che sussiste ai suoi estremi secondo una costante di rigidezza (solitamente indicata con k). Per cui una molla di rigidezza k che sia sottoposta ad uno spostamento {\Delta}x reagirà con una forza pari a

F_s = k{\Delta}x

Per chi avesse familiarità con la fisica di base è facile riconoscere la legge di Hooke nell'espressione riportata sopra.

Un ammortizzatore invece, come abbiamo detto, ha la funzione di generare attrito e smorzare le vibrazioni generate dalla strada nella molla (ed anch'esso risulta essere privo di massa). In assenza di smorzamento la molla continuerebbe ad oscillare rendendo il viaggio ben poco piacevole. L'ammortizzatore genera una forza che è pari alla differenza di velocità (\Delta v) che si genera ai suoi estremi secondo una costante di proporzionalità c per cui si ottiene

F_d = c\Delta \dot{x}

dove si è indicato con \dot{x} la derivata di x rispetto al tempo e quindi la velocità.

Se combiniamo le espressioni di forza ottenute precedentemente possiamo ricavare l'equazione differenziale che governa il sistema. Prima di scrivere questa equazione introduciamo due ipotesi: la prima è che uno dei due estremi della molla e dell'ammortizzatore sia fisso, questo semplificherà i calcoli senza minarne la validità; la seconda ipotesi è che spostamento e velocità siano funzioni del tempo. Dunque otteniamo:

c \dot{x}(t) + kx(t) = 0

Dove ovviamente non compaiono gli effetti inerziali in quanto entrambi gli elementi del sistema (molla e ammortizatore), come detto precedentemente, sono privi di massa.

Soluzione del problema

Il problema sopra riportato ha una soluzione che può essere espressa nella forma

x(t) = A{e}^{st}

I prossimi due passaggi sono rilevanti per la soluzione del problema quindi prestate molta attenzione.

1) Sostituiamo x(t) = A{e}^{st} e \dot{x}(t) = As{e}^{st} nell'equazione che governa la nostra sospensione.

2) dividiamo tutto per A{e}^{st}

Dopo questi due passaggi, se svolti correttamente, abbiamo un equazione nella forma

cs + k = 0

che ci da un valore di s pari a

s = -\frac{k}{c}

L'inverso di questa espressione a meno del segno negativo viene indicata con la lettera \tau e rappresenta una costante di tempo. Sostituendo nell'espressione di x(t) otteniamo

x(t) = A{e}^{- \frac{t}{\tau}}

Nell'espressione di x(t) ancora compare una costante A che non conosciamo. Essa, ovviamente, dipende dalle condizioni iniziali del sistema. Dato che x(0) = x_0 e considerando che x sia pari a zero prima un impulso arrivi a perturbare il sistema otteniamo

A = x_0

Dunque la nostra soluzione assume la forma

x(t) = x_0 {e}^{- \frac{t}{\tau}}

Di seguito sono plottati i valori di x(t) per un valore di x_0 = 10 [mm] e diversi valori di \tau. Come è possibile vedere lo spostamento tende asintoticamente a zero senza mostrare alcuna oscillazione e in particolare tende a zero più velocemente quanto più è piccolo \tau.

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Rendiamo le cose più divertenti

La soluzione trovata prima non è molto divertente e il grafico che si ottiene è piuttosto noioso. Proviamo, dunque, a rendere le cose più interessanti. Come possiamo farlo?

Possiamo, ad esempio, aggiungere al nostro sistema la massa che prima avevamo trascurato, diciamo quella della vettura a cui le sospensioni sono attaccate (la massa della sospensione stessa risulta essere piccola rispetto a quella del veicolo per cui possiamo considerarla trascurabile). Questa aggiunta rende anche il modello più realistico oltre che più divertente.

Come abbiamo fatto per gli altri elementi del sistema anche per la massa dobbiamo trovare un equazione caratteristica che ci consenta di trovare la forza agente su di essa. Fortunatamente un certo signor Newton lo ha fatto per noi e, infatti, la forza che agisce su una massa è direttamente proporzionale all'accelerazione che essa subisce secondo quella che viene comunemente chiamata seconda legge di newton, ovvero

F_m = m \ddot{x}

Possiamo aggiungere questo termine all'equazione del sistema che abbiamo trovato precedentemente e ottenere la nuova equazione che governa il sistema e che si esprime come

m \ddot{x}(t) + c \dot{x}(t) + kx(t) = 0

Una soluzione divertente

Un problema divertente deve avere una soluzione divertente ma l'equazione scritta come sopra non ci dice molto. Possiamo fare di più. Come abbiamo fatto precedentemente possiamo migliorare questa equazione in due passaggi.

1) dividiamo tutto per m, e fin qui è tutto molto semplice.

2) sostituiamo le seguenti espressioni

\frac{k}{m} = {\omega_n}^2

e

\frac{c}{m} = 2\xi {\omega}_n

In questo modo la nostra equazione può essere scritta come

\ddot{x}(t) + 2\xi {\omega}_n \dot{x}(t) + {\omega_n}^2 x(t) = 0

Ed ora indovinate un po? La soluzione di questa equazione può essere di nuovo scritta nella forma

x(t) = A{e}^{st}

andando a sostituire di nuovo nell'equazione che governa il sistema e considerando che:

1 - \ddot{x} = {s}^{2}A{e}^{st}

2 - possiamo di nuovo dividere tutto per A{e}^{st}

otteniamo lo stesso problema, in analogia con quanto fatto in precedenza, scritto come

s^2 + 2s \xi {\omega}_n \ + {\omega_n}^2 = 0

Questa volta il problema ammette due soluzioni s_1 ed s_2 che si possono scrivere come

s_1 , s_2 = (- \xi \pm \sqrt{{\xi}^2 - 1}){\omega_n}^2

La soluzione generale per x(t) si esprime quindi nella forma

x(t) = {A}_{1} {e}^{s_1 t} + {A}_{2} {e}^{s_2 t}

Divide et impera

La soluzione proposta risulta decisamente complessa da trattare ma dividendo il problema in tre differenti scenari in funzione del valore di \xi la trattazione del problema risulta decisamente più semplice e di più facile visualizzazione.

Caso 1 -  \xi > 1

Questo caso viene definito iper-smorzato (dall'inglese over damped) e presenta una soluzione nella forma

x(t) = ({A}_{1} {e}^{\sqrt{{\xi}^2 - 1} \omega_n t} + {A}_{2} {e}^{- \sqrt{{\xi}^2 - 1} \omega_n t}) {e}^{-\xi \omega_n t}

I parametri A_1 e A_2 sono delle costanti che dipendono dalle condizioni iniziali. Un caso tipico di funzionamento di una sospensione è quello in cui

x(0) = 0                    \dot{x}(0) = v_0

In questo caso di particolare interesse possiamo facilmente ottenere che

{A}_{1} = -{A}_{2} = \frac{v_0}{2 \sqrt{{\xi}^2 - 1} \omega_n }

Sostituendo i valori di A_1 ed A_2 cosi ottenuti ricaviamo la soluzione per il caso in cui \xi >1. Tale soluzione è stata rappresentata nel grafico sottostante dove possiamo vedere l'influenza dei tre parametri v_0, \omega_n e \xi quando gli altri due sono fissati. Possiamo notare che:

  • Al crescere della velocità iniziale il tempo per tornare alla posizione di equilibrio cresce cosi come l'ampiezza massima.
  • Al crescere di \omega_n l'ampiezza massima decresce cosi come il tempo per tornare alla posizione di equilibrio.
  • Al crescere di \xi l'ampiezza massima diminuisce ma aumenta il tempo per tornare alla posizione di equilibrio.

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Caso 2 - \xi = 1

Sebbene non di particolare interesse tale scenario rappresenta un caso notevole per il fatto che \xi = 1 viene chiamato smorzamento critico e rappresenta la divisione, almeno da un punto di vista matematico, tra il caso iper-smorzato e quello sotto-smorzato.

In questo caso la soluzione al problema di x(t) si può esprimere come

x(t) = ({A}_{1} + t {A}_{2}) {e}^{- \omega_n t}

Anche in questo caso A_1 ed A_2 dipendono dalle condizioni iniziali. In questo particolare caso risulta banale dimostrare che

A_1 = x_0 = 0                    A_2 = v_0

In questo caso la soluzione può essere scritta come

x(t) = ({v}_{0} t) {e}^{- \omega_n t}

Il grafico riportato di seguito rappresenta graficamente la soluzione nel caso di \xi = 1. Come è possibile vedere, sebbene con andamenti diversi, quando detto per il caso precedente resta ancora valido.

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Caso 3 - \xi < 1

rappresenta il caso più comune di sistema sott-smorzato, in questo caso prima che il sistema raggiunga l'equilibrio si ha almeno un oscillazione completa a differenza dei casi precedenti dove il sistema tendeva asintoticamente alla posizione di equilibrio senza mai oscillare. Prima di procedere a trovare la soluzione per quest'ultimo caso dobbiamo introdurre un ulteriore parametro \omega_d definito come

\omega_d = \sqrt{{\xi}^2 - 1} \omega_n

tale parametro rappresenta un cambio nella frequenza di risonanza del sistema. Tale cambiamento è tanto più piccolo quanto minore è lo smorzamento.

Avendo introdotto il parametro \omega_d possiamo scrivere la soluzione come

x(t) = ({A}_{1} {e}^{i \omega_d t} + {A}_{2} {e}^{-i \omega_d t}) {e}^{-\xi \omega_n t}

dove i rappresenta l'unità immaginaria. Una forma più semplice per la soluzione proposta si può ottenere se passiamo dalla forma complessa a quella trigonometrica. In particolare possiamo riscrivere la soluzione di x(t) come

x(t) = A {e}^{-\xi \omega_n t} \cos(\omega_d t - \phi)

I parametri A e \phi dipendono ancora una volta dalle condizioni iniziali del sistema che ricordiamo essere

x(0) = 0                    \dot{x}(0) = v_0

sotto queste ipotesi otteniamo che

\phi = 0                    A = \frac{v_0}{1 - \sqrt{{\xi}^2} \omega_n}

Trovata la soluzione al nostro ultimo caso notevole possiamo andare a rappresentarla graficamente studiando, di nuovo, l'effetto di v_0, \omega_n e \xi.

In questo caso possiamo vedere come di nuovo velocità iniziale e \omega_n abbiamo la stessa influenza sulla soluzione. Di interesse risulta essere l'ultimo grafico che rappresenta la variazione della soluzione in funzione di \xi e possiamo vedere come per valori piccoli di smorzamento ci sia un incremento nel numero e nell'ampiezza delle oscillazioni.

miita_susp4Per concludere

Finalmente siamo giunti alla fine di questo viaggio sperando che non sia stato troppo tumultuoso.

In questo breve ma intenso viaggio abbiamo visto che un elemento apparentemente semplice come la sospensione di una vettura nasconde dietro una matematica articolata e non banale. Ma questo è solo l'inizio del nostro viaggio e molto altro ci aspetta ancora.

Sebbene molti aspetti siano stati coperti in questo post molti altri restano ancora da analizzare, primo tra tutti: cosa accade quando si eccita la nostra sospensione con una forza esterna? E ancora: Cosa succede quando introduciamo il pneumatico all'interno del nostro modello matematico?

Questi e molti altri saranno gli argomenti che verranno coperti nei prossimi post quindi restate concentrati e non lasciatevi distrarre dagli scossoni della strada!

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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