Blog divulgativo sulla matematica applicata

Intervista recensione al libro "Mathematics, Nature, Art" di Maria Mannone

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Maria Mannone

Pubblichiamo questa intervista/recensione a Maria Mannone, collaboratrice  del nostro blog, che ha recentemente pubblicato  il libro "Mathematis, Nature, Art".
Maria  originaria di Palermo,  si laurea in Fisica Teorica e si diploma al Conservatorio in Direzione d’Orchestra, Composizione e Pianoforte. Lascia l’Isola per laurearsi a Parigi in ATIAM, e in seguito lascia anche il continente per dottorarsi negli USA con una tesi fra musica e matematica. Per ragioni di ricerca fa attualmente la spola fra Stati Uniti, Giappone e Italia. 
Il libro è disponibile, per esempio,  qui e qui.

D. P. Da dove nasce l'idea di scrivere il libro “Mathematics, nature, art”?

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Copertina del libro "Mathematics, nature, art" edito dalla Palermo University Press

M. M. Nasce da diverse esperienze e da diverse riflessioni. Innanzi tutto nasce dall’esigenza di raccontare una tappa del mio percorso scientifico-artistico attraverso idee ed esempi specifici. Nasce da numerosi incontri con matematici, botanici, zoologi, tanti dei quali con differenti modi di vedere e di apprezzare il mondo naturale e il pensiero astratto. Nasce dall’osservazione che i due estremi apparenti, la concretezza della terra e l’astrattezza del pensiero simbolico e diagrammatico, possono influenzarsi vicendevolmente. Ultimo ma non ultimo (last in the list but not the least), nasce dall'ispirazione e dall'esigenza di guardare alla bellezza esistente, nascosta o evidente, si tratti di una complessa sinfonia o di una soave corolla, di una formula matematica o di una invasiva e temibile radice.
D. P. Per chi è pensato questo testo?
M. M. Per chi ama la natura e prova la curiosità di osservarla dalla prospettiva dell’arte e del pensiero astratto. Non si tratta di un libro divulgativo: contiene molti concetti tecnici e riferimenti bibliografici dettagliati. Credo però che, grazie alle figure e alle didascalie, anche il lettore con una preparazione da liceo sia in grado di comprendere le idee essenziali del testo.
D. P. Puoi spiegare il tuo particolare percorso formativo e come è stato possibile coniugare due passioni che apparentemente appaiono diverse e al contempo di per sé stesse totalizzanti?
M. M. Il disegno è stata la mia prima passione. Ho cominciato a disegnare fin dalla mia prima infanzia, soprattutto animali.  Le mie prime letture riguardavano la natura e il mondo degli animali. E' sopraggiunta in seguito la passione per la musica, e, parallelamente, la curiosità per gli aspetti teorici e formali dietro le costruzioni naturali. Mentre all'università frequentavo il corso di laurea in Fisica, su suggerimento di alcuni docenti, in particolare di un professore dell'università e di un maestro del Conservatorio, ho provato a poco a poco a mettere insieme numeri, idee e suoni. Le intersezioni tra arte e scienza mi hanno poi condotto a Parigi e in seguito negli Stati Uniti. Ho cominciato a chiedermi se l’interesse per la scienza potesse presentare una componente estetica: perché una cosa ci appare bella? Dietro ad essa ci sarà una sorta di regolarità? Come funziona la natura? L’arte si può investigare in modo scientifico?
D. P. Nell’introduzione affermi che il libro può essere letto come “un viaggio attraverso la musica e alcune forme della

Hilbert

D. Hilbert

natura alla luce della matematica”. Puoi spiegare ai nostri lettori questa frase?

M. M. Come affermano Hilbert e Mac Lane, la matematica studia forme e trasformazioni tra “oggetti”. Applicata a una varietà di argomenti diventa una sorta di disciplina del pensiero. La natura contiene una varietà di forme di specie e individui con un’unità intrinseca, con processi di crescita e di trasformazione, con varietà nell’unità. Allo stesso modo, in musica abbiamo melodie diverse ma possiamo identificare autori, generi, forme e variazioni di forme musicali. Quindi il pensiero matematico, compreso il linguaggio astratto della teoria delle categorie, sembra adattarsi naturalmente sia alla natura che alla musica, e inoltre alle interazioni fra natura e musica.
D. P. Nel primo capitolo parli della “Teoria delle Categorie” come un paradigma del pensare nato dalla necessità di descrivere formalmente il concetto di “trasformazione di trasformazioni”.  Potresti spiegare alcuni aspetti introduttivi della Teoria delle Categorie?

M. M. Il lettore che sfoglia un libro sulle categorie sarà sorpreso dal non trovare “numeri”, ma essenzialmente punti e

John Baez e Maria Mannone. Fotografia scattata presso la University of Notre Dame in London, il 5 ottobre 2018, durante una Conferenza si Fisica e Filosofia dedicata ad Emmy Noether.

John Baez e Maria Mannone. Fotografia scattata presso la University of Notre Dame in London  durante una Conferenza si Fisica e Filosofia dedicata ad Emmy Noether.

frecce, e alcuni simboli. I punti sono gli oggetti, le frecce sono i morfismi (le trasformazioni) tra i punti, che verificano certe proprietà. Tutto parte da lì. Le categorie nascono per formalizzare aspetti intrinseci alla matematica, favorendo il confronto fra argomenti diversi. Negli ultimi anni le categorie sono state applicate a molti temi, alla fisica, alla filosofia, alla chimica, alla musica. Il libro contiene molti riferimenti bibliografici, a partire dal lavoro di John Baez.

Per visualizzare il concetto di trasformazione fra trasformazioni, immaginiamo un alberello che cresce. Confrontando la fotografia dell’albero in una certa data con la foto dello stesso albero a distanza di un anno, osserviamo una crescita che possiamo considerare come un processo, rappresentandola come una freccia che connette le due foto. Immaginiamo adesso un altro alberello, che cresca più rapidamente o più lentamente rispetto al primo. Il confronto fra i due diversi processi di crescita può essere rappresentato come un freccia tra frecce, ossia una “trasformazione fra trasformazioni”.
D. P. Sempre nel primo capitolo prendi spunto dal testo “A Beautiful Question” del premio Nobel della fisica F. Wilczek per discutere della connessione fra estetica nell’arte e nella natura ed estetica matematica, passando per il concetto di simmetria in fisica ed i mosaici di Monreale. Puoi anticipare ai nostri lettori quanto presentato nel tuo testo in merito a ciò?
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Copertina libro "A beautiful question"

M. M. Presento alcuni esempi di opere d’arte ispirate alla matematica, e di analisi estetica della matematica. La simmetria rappresenta un esempio classico di intersezione fra arte e scienza: un’immagine “simmetrica” è generalmente gradevole, come un volto simmetrico. Nel bel libro “Simmetria” di Hermann Weyl si trova (per me con un piacere particolare perché accresciuto da un pizzico di campanilismo) l’esempio dei mosaici di Monreale. Come sostiene Wilczek nel suo “A Beautiful Question”, la simmetria corrisponde a un “change without change”, un cambiamento senza un cambiamento. Se disegniamo su un foglio di carta un triangolo isoscele e lo pieghiamo in due, le due parti coincidono perfettamente. Se lo ribaltiamo a destra o a sinistra, otteniamo la stessa immagine di prima. Quindi la nostra concezione intuitiva ed elementare di “simmetria” si collega ad alcune teorie fisiche: la simmetria si ritrova in un cambio di coordinate che lascia inalterato il sistema, in un cambio del potenziale che lascia inalterato il campo elettromagnetico, e così via. Dalla simmetria è partita anche Emmy Noether per sviluppare teorie fondamentali, ma questa è un’altra storia.
Ho incontrato il testo di Wilczek in un modo piuttosto insolito, in una biblioteca negli Stati Uniti. In occasione di un San Valentino erano stati organizzati degli “incontri al buio” con i libri. I volumi prescelti per l'iniziativa erano inseriti in anonimi sacchetti di carta che riportavano soltanto qualche frase-chiave da cui si poteva intuire il contenuto.
A me è capitato proprio “A Beautiful Question”, ed è stato amore a prima lettura.
D. P. Il secondo capitolo, intitolato “Flowers and Inflorescences”, utilizza strumenti matematici per descrivere dei fiori e una loro possibile trasposizione musicale. Puoi farci un esempio?
M. M. Fra i vari esempi osservo un’infiorescenza sferica: una sfera formata da piccoli fiori che sbocciano. Lo sbocciare di un singolo fiore è una trasformazione, che nel linguaggio categoriale può essere indicata come la loro freccia. I fiori vengono “mappati” nella sfera, così come il loro sbocciare. Uno strumento matematico che mappa oggetti in oggetti e frecce in frecce è un “funtore”, una sorta di funzione generalizzata. (Nei libri di matematica non si trovano generalmente esempi con i fiori, ma con un po’ di fantasia tutto si ingentilisce :) )
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Una delle immagini tratte dal libro "Mathematics,  nature, art"

D. P. Nel terzo capitolo si parla di distanze e di “misure di similarità fra specie”. In che modo questo rientra nel percorso ideale del tuo libro?
M. M. Vi sono alcuni autori che si soffermano sulla similarità e sulla modellizzazione; nella bibliografia vi sono le indicazioni precise. Nel percorso ideale del libro alcune intuizioni sulla similarità sono contestualizzate nei diagrammi categoriali: possiamo connettere specie diverse attraverso trasformazioni ideali che portino l’una nell’altra, che creino connessioni inaspettate e svelino analogie nascoste. Le frecce dei diagrammi possono corrispondere a precisi e semplici cambiamenti di parametri nelle coordinate di alcune equazioni, che, come nell’esempio delle conchiglie, portano a visibili differenze strutturali.
D. P. Il successivo capitolo, il quarto, è dedicato alla crescita e alla classificazione. In particolare scrivi:
“It is possible to synthesize complex images through simple forms. The inverse process, i.e., from geometric and ‘abstract’ shapes to real shapes, can be compared with an approximation of a function through series expansion and Taylor polynomials: the more terms there are, the more precise is the approximation. This topic is also relevant for physics, in perturbative theories used in quantum mechanics. In fact, this continuous dialogue and exchange between real shapes and a vocabulary of abstract shapes may be considered as something of ‘universal’ in human knowledge, both within advanced studies, as well as in primary education”.
Puoi spiegare questa idea?
M. M. Possiamo schematizzare una forma complessa, come un albero o un pesce, attraverso una sovrapposizione di forme semplici, come forme geometriche. Un po’ come se chiedessimo a ragazzini di collocare triangoli, cerchi e rettangoli per rappresentare schematicamente piante e animali.
Si può quindi si può partire da forme semplici per costruire una forma complessa. Oppure si può partire dal disegno di una forma complessa e approssimarlo per mezzo di forme semplici. L'approssimazione sarà sempre più precisa aumentando il numero di queste forme e riducendo le loro dimensioni. Un po’ come avviene, in analisi matematica, con l’approssimazione di funzioni per mezzo delle serie polinomiali. L’approssimazione di “cose complesse” per mezzo di “cose semplici” è un leitmotiv che riporta alla Fisica (e dunque alla natura).
Dai giochi infantili alla meccanica quantistica a volte il passo è breve.
Sugli sviluppi formali della sintesi di forme complesse attraverso forme semplici, e la loro musicalizzazione, è stato appena accettato un articolo, “Quantum GestART”, che ho scritto in collaborazione con alcuni giovani studiosi.
Vorrei aggiungere che sono sempre stata molto attratta dal tema degli universali, fin dai tempi del liceo.
Provo a semplificare l'argomento: tanti diversi pesciolini nel mare, per quanto sia marcata la loro diversità, ci rimandano all’idea di “pesce”. Si tratta di un processo verso l’alto, ossia di un processo di astrazione. Raggruppare secondo il concetto di specie tanti individui diversi rappresenta una prima astrazione. Un secondo livello di astrazione si raggiunge considerando come appartenenti allo stesso genere tante specie diverse aventi in comune specifiche caratteristiche. Se stiamo guardando, ad esempio, individui, specie, famiglie di pesci, potremo ricondurre il tutto ad uno schema essenziale di “pesce”. Questa progressiva astrazione ci indirizza verso le idee platoniche, verso gli universali, alla ricerca delle forme “primigenie” sognate, per citare nomi relativamente recenti, da Goethe, Carus ed Owen. Dal punto di vista matematico, l’insieme delle frecce che, come in un vortice, tendono ad un unico elemento astratto, richiama, a mio parere, il concetto di colimite, una costruzione categoriale presentata nel testo. Possiamo quindi ripensare la classificazione delle specie in termini diagrammatici.
Ci si potrebbe chiedere, a questo punto, se vi sia realmente un confine netto tra matematica, biologia e filosofia.
D. P. Il quinto capitolo si caratterizza per un titolo particolarmente espressivo: “Perfect Shapes in the Prehistoric Sea” ovvero “forme perfette nel mare preistorico”.
Anche se per rendere l’idea ovviamente consigliamo ai nostri lettori la lettura del testo, puoi anticipare anche in questo caso, qualcosa del contenuto di questo capitolo?
M. M. La varietà delle ammoniti giurassiche è impressionante. Le linee essenziali di alcune di esse presentano ottime approssimazioni di spirale archimedea. Ne ho considerata l’equazione parametrica, ne ho selezionati alcuni punti, e li ho mappati in suono ricavandone un tema musicale. Nel libro vi sono estratti della partitura finale. Una simulazione audio del pezzo si può ascoltare qui.

D. P. Per parlare del sesto capitolo dobbiamo, invece, preliminarmente chiederti di parlare ai nostri lettori del giardino botanico di Palermo. Perché è un luogo speciale e come è diventato per te un luogo fonte di ispirazione?

M. M. E’ un luogo speciale innanzi tutto per il particolare clima di Palermo, caldo ma non troppo e umido ma non

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Il più grande ficus dell'orto botanico di Palermo (fonte Flickr)

troppo. Nel giardino botanico, o meglio, nell'Orto Botanico, secondo la denominazione più nota, si trova una straordinaria varietà di piante, e prosperano specie di alberi che altrove richiederebbero grandi serre o persino foreste pluviali. Si sviluppano indisturbati e prepotenti, in particolare, alcuni ficus “strangolatori” che accerchiano e inglobano altre piante e perfino delle strutture, quali colonne e basamenti di marmo. E questo a poca distanza dalla grande vasca circolare su cui galleggia la delicata eleganza delle ninfee e dal fitto boschetto dei bambù.

D. P. In che modo un orto botanico nel tuo testo si collega con la musica e la matematica?
M. M. Cerco di schematizzare, come ho già precisato, processi e confronti tra processi attraverso diagrammi categoriali, come nell’esempio degli alberi che crescono in modo diverso. E il tutto può diventare musica.
Guardo una forma come il risultato di un disegno, dunque di un processo che si svolge nel tempo. I movimenti necessari per disegnare una foglia, un ramo, un tronco, possono diventare movimenti nello spazio dei parametri musicali, creando nell’ascoltatore l'illusione di una forma che diventa suono, di un disegno che si sviluppa nello spazio dei suoni.
Se considero lo sviluppo di una pianta nel tempo, posso pensare allo sviluppo nel tempo anche di un brano musicale. Se la fotografia di una pianta a un certo tempo è rappresentata da una melodia, la fotografia della stessa pianta a un tempo successivo è rappresentata da una melodia un po’ diversa. La sequenza di melodie richiama dunque una sequenza di fotografie in cui è fissato il cambiamento della pianta.
D. P. Il tuo libro si conclude con due bellissime citazioni, una di Landau e una di Gaudí. Però non vogliamo anticipare troppo del testo ai potenziali lettori del tuo libro e quindi ti chiediamo di incuriosirli suggerendo il contenuto di una sola delle due citazioni.
M. M. Le intuizioni e le idee di Gaudí, artista e studioso in odore di santità, possono illuminarci e guidarci nello studio della natura e nella ricerca delle leggi matematiche in essa celate. “L’originalità consiste nel ritorno alle origini”.
Ossia, dalla natura, opera d’arte divina, tutto proviene, e ad essa la nostra creatività umana può continuamente attingere. In un tempo di distruzione dei mari e delle foreste, si dovrebbe forse tornare a cercare le radici della bellezza e della perfezione nella natura. Non si tratta di essere empiristi, ma al contrario di vedere le forme esistenti come derivate da forme ideali, perfette. E pensare le forme ideali, universali, come colimiti di forme reali. Un continuo scambio.
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Maria Mannone con il suo libro "Mathematics, Nature, Art"

Nota finale: 

Il libro contiene esempi tratti dal polo museale naturalistico di Palermo:

- Il museo di Zoologia "P. Doderlein": http://www.museozoologia.unipa.it/

- Il museo di Geologia e di Paleontologia "G. G. Gemellaro": http://www.museogeologia.unipa.it

- L'orto botanico: http://www.ortobotanico.unipa.it/

- Classificazione tratta da: https://earthhow.com/taxonomic-classification/ 

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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