Blog divulgativo sulla matematica applicata

Una riflessione sulle Olimpiadi della Matematica

Capodanno 1 gen 2019 - 03

Lorenzo Mazza

Pubblichiamo questo articolo sulle Olimpiadi della Matematica scritto da Lorenzo Mazza,  docente di Matematica e Fisica presso il L.S. “A. Avogadro” di Roma ed attualmente dottorando in didattica della matematica presso la Sapienza Università di Roma. Dal 2011 ricopre il ruolo di responsabile distrettuale per le olimpiadi della Matematica a Roma, organizzando e gestendo diverse attività olimpiche quali gare individuali e a squadre, stage e corsi di formazione. E’ inventore e coordinatore del GAUSS (Gruppo Allenatori Universitari Studenti della Sapienza)


Una riflessione sulle Olimpiadi della Matematica

La matematica è il gioco più bello del mondo.

Assorbe più degli scacchi,

scommette più del poker,

e dura più di Monopoli.

È gratuita, e può essere giocata ovunque.

Archimede lo ha fatto in una vasca da bagno.

(Richard J. Trudeau)

 

Può sembrare difficile pensare alla matematica come ad un gioco che sa appassionare e coinvolgere chi si avvicina ad esso per conoscerne le regole, il linguaggio e il contenuto.  All'indomani della pubblicazione dei risultati dell’indagine OCSE – Pisa 2018, che vede gli studenti italiani piazzarsi a mezza classifica per ciò che riguarda le competenze matematiche senza brillare particolarmente, diventa ancora più difficile immaginare che tale disciplina possa riscuotere successo fra i ragazzi. Eppure… esiste una percentuale di studenti che effettivamente considera la matematica come un gioco per il quale vale la pena investire tempo ed energie. E non parliamo solo dei gifted, cioè di quei ragazzi particolarmente dotati verso lo studio e che rappresentano una piccola percentuale di “giocatori”. L’UMI, che organizza una delle competizioni studentesche più diffuse (i cosiddetti “Giochi di Archimede”) fornisce ogni anno i numeri di coloro che prendono parte a tale manifestazione. Si parla di poco più di 1400 scuole secondarie superiori per un totale di circa 200 mila studenti in tutta Italia. Se poi si considerano anche altre competizioni come i Giochi d’Autunno della Bocconi o i Kangourou, che coinvolgono anche scuole di diverso ordine e grado, il numero di alunni partecipanti è decisamente elevato.

Come tutte le competizioni, anche quelle matematiche (dette comunemente “Olimpiadi della matematica”) prevedono una serie di gironi o fasi. Facendo riferimento alle sole gare organizzate dall’UMI, la prima fase è rappresentata per l’appunto dai Giochi di Archimede. Si tratta di una competizione in cui ciascuno studente, individualmente, è chiamato a risolvere un certo numero di esercizi a risposta multipla (variabile a seconda che sia del biennio o del triennio) in 110 minuti. L’UMI non ha mai fatto mistero dello scopo di tale competizione, dichiarando di voler avvicinare i ragazzi alla matematica per mostrare loro aspetti diversi, stimolanti ed interessanti e non una semplice applicazione di regole e procedure. I migliori ragazzi di ciascun istituto, unitamente ad un certo numero di studenti di primo anno ripescati a seguito di una gara di recupero, accedono alla fase distrettuale (detta anche provinciale). Tale gara si tiene nel mese di febbraio e prevede la risoluzione di 14 problemi a risposta multipla o numerica e di tre esercizi dimostrativi. Infine, i 300 migliori studenti provenienti dai vari distretti italiani si sfidano a Cesenatico, i primi di maggio, in una gara della durata di 4,5 ore e il cui testo è formato da sei problemi dimostrativi. Una compagine di sei studenti, opportunamente scelti in base ai risultati non solo della gara nazionale ma anche sulla base del rendimento durante alcuni stage organizzati nel corso dell’anno, rappresenta la nostra nazione alle International Mathematical Olympiad (più semplicemente dette IMO).

Un momento della gara nazionale  di Cesenatico del 2016

Un momento della gara nazionale di Cesenatico del 2016

L’obiezione che sovente viene mossa verso questo tipo di attività è che si rischia di favorire o esasperare la competizione (nel senso negativo del termine) fra studenti. Un rimedio a questo possibile problema è rappresentato dalla partecipazione delle scuole alle gare a squadre: non più un confronto fra singoli ma più ragazzi messi insieme a formare una squadra (generalmente di sette studenti) a rappresentanza del proprio istituto. I ragazzi di ciascuna squadra sono chiamati così a collaborare nella risoluzione dei quesiti, dividendosi i compiti (un capitano, un "consegnatore", ma anche “l’esperto” di combinatoria o quello specializzato in geometria…) e cercando un bene più grande che è quello della squadra stessa. L’UMI organizza diverse competizioni a squadre: una rivolta per sole ragazze che si tiene in diverse città italiane nel mese di gennaio, una (per squadre miste) nel mese di marzo ed infine le migliori squadre, all'incirca poco più di un centinaio, accedono alle finali nazionali di Cesenatico nel mese di maggio. Tale competizione si tiene all'interno del palazzetto dello sport, con annesso tifo sugli spalti e classifica mostrata ai presenti e aggiornata in tempo reale. Ciò che rende ancor più divertenti le gare a squadre è la scelta di contestualizzare gli esercizi, inserendo una qualche forma di ambientazione; e così in questi anni i nostri ragazzi hanno risolto quesiti trovando in essi descrizione di luoghi e personaggi della Divina Commedia, di Ritorno al Futuro, dei Pirati dei Caraibi e così via.

Gli studenti che si appassionano al mondo delle gare dedicano agli allenamenti una buona fetta del loro tempo libero. Accade così che alcuni di loro si ritrovano il venerdì pomeriggio a risolvere simulazioni di gare on line o frequentano pagine web e forum appositamente dedicati in cui è possibile proporre esercizi o sottoporre soluzioni a quesiti presentati da altri. Talvolta accade che molti di loro, affascinati dalla matematica, decidono di iscriversi a tale corso di laurea al termine del percorso scolastico senza però venir meno il desiderio di giocare e di risolvere esercizi originali o, più semplicemente, con la voglia di trasmettere quanto imparato. E’ ciò che accade presso il dipartimento di Matematica della Sapienza Università di Roma, dove un nutrito gruppo di studenti, tutti rigorosamente ex olimpionici e con un passato a Cesenatico, si sono riuniti sotto lo guida di alcuni docenti universitari e dei responsabili distrettuali locali per formare il GAUSS (Gruppo Allenatori Universitari Studenti della Sapienza) ed organizzare allenamenti e stage per studenti di scuola superiore.

Un momento dell'allenamento del gruppo GAUSS

Un momento dell'allenamento del gruppo GAUSS

I quesiti ai quali devono dare una risposta i partecipanti alle gare sono veri e propri esercizi di problem solving, in cui diventa fondamentale la ricerca di una strategia intelligente basata su conoscenze e competenze che spaziano dall'algebra alla teoria dei numeri, dalla geometria alla combinatoria.

A titolo di esempio, nei giochi di Archimede dello scorso 21 novembre veniva proposto il seguente esercizio:

“Quanti multipli di 7, compresi tra 1 e 5000, sono quadrati di numeri interi?”

Appare evidente come la ricerca “per casi” sia lunga e complicata. Ma basta osservare che ciò a cui viene chiesto di rispondere può essere scritto nella forma (7n)^2=49n^2 \le 5000 con n intero positivo, da cui si deduce che 1\le n \le 10.

Non mancano esercizi che richiamano l’anno in cui la competizione si sta svolgendo, motivo per il quale un bravo studente si presenta alle gare avendo ben chiara l’eventuale scomposizioni in fattori primi dell’anno in cui ci si trova. Ad esempio un esercizio usato negli allenamenti del 2006 chiedeva di trovare tutte le terne di interi non negativi (x,y,z)  tali che 2x+17y+34z=2006. La risoluzione richiede competenze diverse dal semplice risolvere equazioni con soluzioni reali. Da un’attenta osservazione del testo, ci si rende conto che tale equazione può essere scritta, a meno di scomporre 2006, come 2x+17y+34z=2\cdot \cdot 7 \cdot 59 . Ne consegue che, poiché 2x è somma algebrica di multipli di 17, è anch'esso un multiplo di 17, cioè x è multiplo di 17. Posto pertanto x=17x' , dividendo primo e secondo membro per 17 l’equazione diventa 2x+y+2z=2\cdot 59. Ragionando in maniera analoga sulla y, dovendo anch'essa essere multiplo di 2 e posto y=2y', si giunge alla relazione x+y+z=59. Le terne cercate sono tante quante le terne (x,y,z) che risolvono la nuova equazione ottenuta. A meno di applicare semplici considerazione di combinatoria, si giunge al risultato cercato che è pari a \binom{61}{2}=\frac{61\cdot 60}{2}=1830 . Lasciamo al lettore fornire la risposta nel caso in cui il testo avesse chiesto terne di numeri positivi anziché non negativi.

Di recente il MIUR ha deciso di tagliare i fondi da destinare a questo tipo di iniziative. L’UMI, di contro, si è vista costretta a chiedere un contributo alle scuole per poter organizzare le gare a squadre, ma così facendo si rischia di ridurre il numero di istituti, e quindi di studenti, disposti a partecipare a tali competizioni. La speranza è che possa mantenersi alto il livello di attenzione ed interesse verso tali attività, che rappresentano non solo un modo per venire incontro alle “eccellenze scolastiche” (troppe volte dimenticate a vantaggio di un investimento – comunque doveroso – verso gli studenti con più difficoltà) ma anche per diffondere una cultura e un modo di fare matematica originale e appassionante.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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