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Manuale di matematica per automobilisti in erba - Sospensioni ed equazioni differenziali [Parte 2]

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Dove eravamo?

In un post precedente abbiamo parlato di auto, buche e sospensioni (no, non è il nuovo droga, sesso e Rock&Roll ma potrebbe esserlo in futuro!). Sono certo che guidando tra le buche della vostra città mi abbiate pensato e spero che il sapere esattamente contro quale equazione imprecare vi abbia reso la vita un pò più facile.

Se dovessi ricapitolare il post precedente in poche righe potrei dire che: Nel post precedente abbiamo introdotto il sistema sospensione (in modo molto semplice) e il suo equivalente matematico fatto di molle e smorzatori. Abbiamo preso in considerazione due esempi; il primo in cui massa ed effetti inerziali erano trascurabili (che viene solitamente chiamato sistema del primo ordine in quanto il grado massimo di derivazione è il primo) e il secondo in cui abbiamo aggiunto una massa e i rispettivi effetti inerziali (anche noto come sistema del secondo ordine in quanto compare una derivata di ordine 2). Per i due sistemi abbiamo visto il comportamento nel tempo dovuto ad una specifica condizione iniziale di velocità e spostamento (in particolare abbiamo tenuto lo spostamento iniziale nullo e velocità iniziale diversa da zero). Abbiamo anche ipotizzato che le forze esterne (ovvero le forze non generate da molla e smorzatore) agenti sul sistema fossero nulle. Questo particolare caso si chiama risposta libera del sistema in quanto esso è "libero" di rispondere ad una perturbazione iniziale come meglio vuole.

E dove vogliamo arrivare!

Cosa dunque andremo a vedere ora? Nelle righe che seguiranno andremo a studiare la risposta del sistema del primo ordine e poi di quello del secondo ordine ad una forzante esterna non nulla. In questo caso la risposta del sistema viene chiamata risposta forzata perché, come vedremo in seguito, il tipo di risposta dipende dal tipo di forza che si applica al sistema. Ma quale forza esterna potrebbe mai agire su una sospensione? Le forze sono molteplici si va dal peso della vettura alla forza di gravità per non parlare delle forze di reazione della strada sullo pneumatico. Ma per essere pragmatici e arrivare direttamente al sodo ci concentreremo su un tipo di forza in particolare: quella che si genera nel sistema sospensione a causa di una buca.

Anatomia di una buca.

Matematicamente una buca può essere rappresentata come una discontinuità nel manto stradale.

forma_buca

Dove la direzione x rappresenta lo spostamento orizzontale del nostro veicolo mentre lo spostamento lungo y rappresenta la forma verticale della buca. Quando percorriamo una strada dissestata ed incontriamo una buca il centro del pneumatico si sposta assecondando la forma della buca.

Durante il percorso da casa a lavoro se incontrassimo una sola buca saremmo molto contenti e non dovremmo preoccuparci oltre della trattazione matematica ma, sfortunatamente, il numero di buche che incontriamo lungo il nostro cammino risulta essere generalmente n con n tendente ad infinito.

forma_buca_multiple

Ad ogni buca una sollecitazione arriva al sistema sospensione generando una perturbazione. Uno dei parametri fondamentali per capire la risposta forzata di un sistema è il tempo che intercorre tra due sollecitazioni. Per semplicità supponiamo che 2 buche successive siano distanziate da una distanza di 1 metro. Il tempo che intercorre tra due buche successive dipende dalla velocità della vettura. Più si va veloce più rapidamente si susseguono le buche e minore è l'intervallo di tempo che passa tra due sollecitazioni successive.

tempo tra due buche = \frac{D}{V}

Dove D è la distanza tra due buche e V la velocità della vettura.

tempo_tra_buchePer una velocità di 30 km/h (circa 10 m/s) otteniamo un tempo tra 2 buche successive di circa 0.1 secondi.

Dire che il nostro sistema viene eccitato ogni 0.1 secondi equivale a dire che la frequenza di eccitazione, ovvero il reciproco del tempo di eccitazione, è di 10 Hz. La frequenza di eccitazione del sistema aumenta linearmente con l'aumentare della velocità.

frequenza_eccitazione_buchePossiamo semplificare le cose e dire che quando un sistema viene sollecitato ad intervalli di tempo uguali si dice che la sollecitazione è di tipo periodico. Una sollecitazione periodica si dice anche armonica. Il tipo di sollecitazione armonica è quella che studieremo nel seguito.

Un pò di matematica.

Ora è il momento di chiamare in causa la matematica per la gioia di quanti di voi stanno ancora leggendo.

Partiamo dal sistema del primo ordine, quello più semplice, composto solo dalla molla e dall'ammortizzatore; niente massa. L'equazione per questo sistema è la seguente

c \dot{x} + kx = F(t)

Quando F(t)=0 il sistema si dice libero e abbiamo trattato la soluzione di questo tipo nel nostro post precedente.

Per rendere le cose più semplici supponiamo che la forza agente sul sistema abbia la forma

F(t)=kf(t)=kA\cos{\omega t}

Mettendo insieme le ultime due equazioni e dividendo tutto per c otteniamo un espressione nella forma

\dot{x}(t) + ax(t)=Aa \cos \omega t

dove vale la relazione

a= \frac{k}{c} = \frac{1}{ \tau }

come abbiamo già visto in precedenza.

La soluzione del sistema si ottiene combinando due ingredienti: la soluzione per il sistema omogeno (poniamo il termine a destra dell'equazione uguale a zero)  che decade con il tempo e per questo si chiama soluzione transiente; la soluzione allo specifico sistema data dalla specifica eccitazione che agisce sul sistema che non sparisce con il tempo e anzi non varia con il tempo e per questo viene chiamata soluzione stazionaria.

Se ora chiamiamo in gioco la linearità del sistema possiamo sempre ricavare le due soluzioni in modo separato e poi combinarle per ottenere la soluzione finale. Facciamolo!

Concentriamoci ora sulla soluzione stazionaria e facilmente possiamo ottenere che

x(t)= C_1 \sin \omega t + C_2 \cos \omega t

Dove C_1 e C_2 sono delle costanti che dipendono dal sistema e devono essere determinate. Facciamolo!

Se sostituiamo l'espressione di x(t) e la sua derivata \dot{x}(t) nell'equazione del sistema otteniamo l'espressione

\omega ( C_1 \cos \omega t - C_2 \sin \omega t) + a (C_1 \sin \omega t - C_2 \cos \omega t)=Aa \cos \omega t

Questa equazione vede un seno ed un coseno sul lato sinistro ed un coseno sul lato destro. Essa è verificata solo se i coefficienti di seno e coseno a sinistra dell'uguale sono uguali ai rispettivi coefficienti a destra dell'uguale. Imponendo tale condizione si ottiene che

aC_1 - \omega C_2 = 0

\omega C_1 + a C_2 = Aa

Risolvendo il sistema di due equazioni in due incognite otteniamo un espressione per i due coefficienti C_1 e C_2.

C_1 = \frac{Aa \omega}{a^2 + {\omega}^2}

C_2 = \frac{Aa^2}{a^2 + {\omega}^2}

Se sostituiamo le espressioni dei due coefficienti nell'equazione di stato stazionario otteniamo la seguente formulazione

x(t)= \frac{Aa}{a^2 + {\omega}^2}( \omega \sin \omega t + a \cos \omega t)

Ora per concludere questo primo semplice caso possiamo introdure le seguenti notazioni al fine di semplificare l'espressione or ora ricavata.

\sin \phi = \frac{\omega}{(a^2 {\omega}^2)^{0.5}}
\cos \phi = \frac{a}{(a^2 {\omega}^2)^{0.5}}

Se le combiniamo insieme otteniamo un espressione per l'angolo \phi

\phi = {\tan}^{-1} \frac{\omega}{a}

Definiamo anche un secondo coefficiente che chiameremo X(\omega) e che vale come

X(\omega)= \frac{Aa}{[1 + (\frac{\omega}{a})^2]^{0.5}}

In questo modo possiamo riscrivere l'espressione di x(t) come

x(t) = X(\omega) \cos (\omega t - \phi(\omega))

Dove X(\omega) rappresenta l'ampiezza della risposta e \phi(\omega) rappresenta la fase.

Prima di concludere spiegando il significato di questi due parametri, per onore di cronaca, bisogna dire che questo non è l'unico modo in cui è possibile risolvere il sistema e calcolare la risposta forzata. Un metodo alternativo ma che conduce esattamente agli stessi risultati consiste nell'esprimere la soluzione stazionaria come funzione esponenziale.

Chiarito questo punto per i più pignoli passiamo a qualche considerazione pratica sulla risposta del sistema. Per fare ciò come prima cosa rappresentiamo graficamente X(\omega) e \phi(\omega).

risposta_ordine_uno

I grafici ottenuti dipendono dagli specifici valori di c e k scelti per il sistema. Ma alcune considerazioni generali risultano essere valide sempre.

La prima considerazione da fare riguarda l'ampiezza della risposta. La risposta risulta essere massima quando a frequenza è bassa e tende asintoticamente a zero al crescere della frequenza. Questo significa che se il sistema viene eccitato a basse frequenze esso risponde con una grande ampiezza, se viene eccitato ad alta frequenza esso risponde con un ampiezza piccola (il concetto di bassa e alta frequenza è soggettivo e dipende dallo specifico sistema in esame). In generale un sistema che si comporta in questo modo viene detto passa-basso in quanto lascia passare solo le basse frequenze.

Per quanto riguarda la fase possiamo notare come tende a zero per frequenze basse (e raggiunge lo zero quando la frequenza di eccitazione è nulla) mentre tende asintoticamente \frac{\pi}{2} al crescere della frequenza. Questo si può tradurre, da un punto di vista pratico, dicendo che eccitazione e risposta sono in fase quando la frequenza è piccola ma tendono ad essere sfasate di 90 gradi (o \frac{\pi}{2}) quando la frequenza aumenta.

Ora che abbiamo un quadro più o meno completo di quello che avviene ad un sistema del primo ordine possiamo procedere ad un sistema leggermente più complesso dove un fenomeno nuovo verrà introdotto, quello della risonanza.

Sempre più complesso.

Ora che abbiamo concluso la trattazione del sistema del primo ordine possiamo concentrarci su un sistema leggermente più complesso e più interessante dal punto di vista matematico. Nel sistema del secondo ordine viene introdotta una massa che si aggiunge alla molla e all'ammortizzatore. In questo caso la matematica chiamata in gioco risulta essere leggermente più complessa ma non al punto da costituire un problema. Quindi armiamoci di tanta pazienza e cerchiamo di capire cosa avviene in questo caso.

Un sistema del secondo ordine, come sicuramente ricorderete, è governato da un equazione nella forma

m \ddot{x}(t) + c \dot{x}(t) + kx(t) = F(t)

Quando la forza agente sul lato sinistro è nulla otteniamo il sistema omogeno già visto in precedenza e quindi non sarà oggetto di questo post. Quello che invece andremo a fare, come fatto per il sistema del primo ordine, è trovare una soluzione stazionaria che soddisfi il sistema e che dipende, di nuovo, da due parametri C_1 e C_2.

Per prima cosa definiamo la forza come

F(t) = kf(t) = kA \cos \omega t

e poi, come già fatto nel post precedente per il sistema del secondo ordine, dividiamo tutto per m definendo i seguenti parametri

\frac{c}{m} = 2 \xi {\omega}_n

\frac{k}{m} = {{\omega}_n}^2

L'equazione del secondo ordine diviene quindi

\ddot{x}(t) + 2 \xi {\omega}_n \dot{x}(t) + {{\omega}_n}^2 x(t) = {{\omega}_n}^2 A \cos \omega t

Tutto molto semplice vero? A dire il vero lo è. Il primo passo per la risoluzione del problema è trovare un espressione generica che valga per x(t). Questa espressione, come per magia, risulta essere la stessa utilizzata per il sistema del primo ordine

x(t)= C_1 \sin \omega t + C_2 \cos \omega t

Allo stesso modo possiamo calcolare la derivata prima e seconda di x(t) ottenendo le seguenti espressioni

\dot{x}(t) = \omega (C_1 \cos \omega t - C_2 \sin \omega t)

\ddot{x}(t) = - {\omega}^2 (C_1 \sin \omega t + C_2 \cos \omega t

Le espressioni risultano essere decisamente semplici e sono frutto si una semplice derivazione di x(t). Se sostituiamo le espressioni appena trovate per x(t), \dot{x}(t) e \ddot{x}(t) nell'equazione del sistema del secondo ordine otteniamo che

- {\omega}^2 (C_1 \sin \omega t + C_2 \cos \omega t) + \omega 2 \xi {\omega}_n (C_1 \cos \omega t - C_2 \sin \omega t) + {{\omega}_n}^2 (C_1 \sin \omega t + C_2 \cos \omega t) = {{\omega}_n}^2 A \cos \omega t

Sebbene l'espressione possa sembrare ostica in realtà è molto semplice da leggere se si considerano separatamente i vari termini. A sinistra abbiamo le derivate di x(t) moltiplicate per i coefficienti dell'equazione originale; a destra abbiamo l'espressione per la forza.

Come per il sistema del primo ordine anche in questo caso dobbiamo trovare i coefficienti C_1 e C_2 e questo può essere fatto allo stesso modo di prima, ovvero ponendo i coefficienti di \sin e \cos a sinistra pari ai rispettivi a destra dell'espressione. In questo modo otteniamo un sistema del secondo ordine in due incognite

( {{\omega}_n}^2 - {\omega}^2) C_1 - 2\xi \omega {\omega}_n C_2 = 0

2\xi \omega {\omega}_n C_1 + ( {{\omega}_n}^2 - {\omega}^2 ) C_2 = {{\omega}_n}^2 A

Questo sistema non risulta essere difficile da risolvere per sostituzione cosi da ottenere i due coefficienti che hanno la forma di

C_1 = \frac{2 \xi \frac{\omega}{\omega_n} }{[1 - (\frac{\omega}{\omega_n})^2]^2 + (2 \xi \frac{\omega}{\omega_n})^2} A

C_2 = \frac{1 - (\frac{\omega}{\omega_n})^2}{[1 - (\frac{\omega}{\omega_n})^2]^2 + (2 \xi \frac{\omega}{\omega_n})^2} A

Le espressioni dei due coefficienti non sono tanto difficili da rendere impossibile la matematiche che c'è dietro. Il prossimo step, come potete ben immaginare, è di sostituire i coefficienti C_1 e C_2 nell'espressione del sistema riportata in precedenza. Facciamolo!

Dopo alcuni passaggi si ottiene che

x(t) = \frac{A}{[1 - (\frac{\omega}{\omega_n})^2]^2 + (2 \xi \frac{\omega}{\omega_n})^2} [\frac{2\xi\omega}{\omega_n} \sin \omega t + [1 - (\frac{\omega}{\omega_n})^2] \cos \omega t]

Se ricordate come abbiamo proceduto per il sistema di primo ordine abbiamo trovato delle espressioni per \sin \phi e \cos \phi e anche X(\omega). Facciamolo anche in questo caso partendo dall'espressione di X(\omega).

X(\omega) = \frac{A}{[[1 - (\frac{\omega}{\omega_n})^2]^2 +(2 \xi \frac{\omega}{\omega_n})^2 ]]^{0.5}}

Il prossimo step è trovare delle espressioni per \sin \phi e \cos \phi che sono nella forma

\sin \phi = \frac{2\xi\frac{\omega}{\omega_n}}{[[1 - (\frac{\omega}{\omega_n})^2]^2 +(2 \xi \frac{\omega}{\omega_n})^2 ]]^{0.5}}

\sin \phi = \frac{1 - (\frac{\omega}{\omega_n})^2}{[[1 - (\frac{\omega}{\omega_n})^2]^2 +(2 \xi \frac{\omega}{\omega_n})^2 ]]^{0.5}}

Dalle due espressioni appena scritte possiamo ricavare l'angolo \phi

\phi = {\tan}^{-1} \frac{2\xi\frac{\omega}{\omega_n}}{1 - (\frac{\omega}{\omega_n})^2}

Come abbiamo fatto prima chiamiamo X(\omega) ampiezza della risposta e \phi fase.

Di nuovo una trattazione analoga si ottiene usando il campo dei numeri complessi e che porta agli stessi risultati come già detto in precedenza.

Quello che risulta davvero interessante è rappresentare le espressioni di X(\omega) e di \phi.

Ma prima di procedere facciamo un passo indietro e notiamo che nell'espressione di X(\omega) e di \phi compaiono due frequenze \omega che rappresenta la frequenza con cui il sistema viene eccitato e poi \omega_n che rappresenta la frequenza propria del sistema. In un sistema del primo ordine \omega_n non esiste in quanto non esiste una frequenza propria del sistema.

Studiamo il sistema al variare del parametro \xi che rappresenta lo smorzamento del sistema.

forzato_ordine_21Sull'asse x non compare la frequenza ma il rapporto tra la frequenza di eccitazione \omega e quella propria del sistema \omega_n per rendere i risultati quanto più generali possibile.

Vediamo che l'ampiezza della risposta parte da un valore unitario e incrementa fino a raggiungere il suo massimo quando \frac{\omega}{\omega_n} = 1. In questo caso, ovvero quando la frequenza di eccitazione e quella propria del sistema sono uguali si dice che il sistema è in risonanza e l'ampiezza della risposta raggiunge il suo massimo. Dopo questo punto l'ampiezza decresce tendendo a zero asintoticamente.

Risulta interessante che l'ampiezza in risonanza è inversamente proporzionale allo smorzamento del sistema e vale infinito quando lo smorzamento è zero; tale condizione è puramente matematica visto che non esiste nella realtà una condizione a zero damping.

Se guardiamo al grafico della fase notiamo che anche in questo caso la fase è nulla per frequenze basse e tende al valore di \pi al crescere di \frac{\omega}{\omega_n}. Per cui eccitazione e risposta sono in fase quando la frequenza di eccitazione è piccola; sono sfasate di 90 gradi quando la frequenza di eccitazione è pari a quella del sistema; tende a \pi quando la frequenza cresce.

Conclusione.

E ridendo e derivando (libera citazione da un trio comico) siamo arrivati alla fine di questa seconda parte.

Nella prima parte avevamo introdotto le basi dei sistemi del primo e secondo ordine definendone la risposta libera a seguito di una perturbazione iniziale.

In questo post abbiamo invece introdotto il concetto di risposta forzata. Ovvero come reagisce il sistema quando una forzante esterna con una certa frequenza viene applicata al sistema. Abbiamo aumentato il grado di difficoltà ma anche il livello di divertimento legato a questo tipo di trattazione.

Ora, potreste pensare che sia finito qui ed invece no. Fino ad ora abbiamo parlato di un particolare tipo di sistema chiamato ad "1 grado di libertà". Questo avviene perché per descrivere lo stato del sistema abbiamo bisogno di una sola variabile x (e delle sue derivate). Conoscere la sola x è condizione sufficiente per descrivere lo stato del sistema. Nel prossimo post scopriremo invece cosa accade quando una sola variabile non è più sufficiente a descrivere l'intero sistema. Anche in questo caso procederemo per gradi introducendo prima un sistema a 2 gradi di libertà; alla sospensione aggiungeremo lo pneumatico dotato di propria massa, rigidezza e smorzamento.

Di seguito introdurremo un sistema a più gradi di libertà considerando l'insieme di 4 sospensioni e 4 pneumatici per un totale di 8 gradi di libertà. Questo caso basato su un approccio matriciale è facile da estendere ad un sistema con qualsiasi numero di gradi di libertà.

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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