Blog divulgativo sulla matematica applicata

Numeri consecutivi in progressione aritmetica

euclide_scuola

Riceviamo e molto volentieri pubblichiamo questo contributo di Antonio Salmeri.

Questi, nato ad Augusta SR il 29 aprile 1933, si appassiona alla  matematica sin dalla giovane età e si è dedicato alla ricerca matematica con oltre cento pubblicazioni nei vari campi della matematica. L’attività lavorativa l’ha svolta nella Snamprogetti come Dirigente Responsabile della progettazione strutturale. In questi ultimi anni si è dedicato alla Storia della matematica. Nel 2011 fonda e dirige Euclide, giornale di matematica per i giovani e nel 2018 Euclide, giornale dei giovani.


Numeri primi consecutivi in progressione aritmetica

Antonio Salmeri

Sunto - Si conoscono moltissimi risultati sulla teoria dei numeri, tutti estremamente affascinanti, ma poco conosciuto è quello che riguarda l’esistenza di numeri primi in progressione aritmetica. In questa nota si vuole fare il punto della situazione su questo straordinario argomento e si trovano sequenze sino a dieci numeri primi consecutivi di oltre novanta cifre.

1. Introduzione

Uno degli argomenti più conosciuti della teoria dei numeri è quello riguardante i numeri primi. Ma un argomento meno conosciuto è quello riguardante l’esistenza di numeri primi consecutivi in progressione aritmetica, ovvero gruppi di numeri primi la cui diffirenza fra due consecutivi è costante. Ad esempio il gruppo di numeri 3 - 5 - 7 appartiene a questa categoria, ma andiamo per ordine.

A questo gruppo di numeri appartengono i numeri gemelli, ovvero la coppia di numeri la cui differenza è 2. Si vede immediatamente che numeri primi gemelli sono:

11 - 13; 17 - 19;29 - 31, ecc.

Si ipotizza che i numeri gemelli siano infiniti, anche se questa congettura non è stata dimostrata. Le ricerche per trovare la coppia di gemelli costituita da numeri sempre più grandi hanno portato a questa coppia di 32220 cifre:

318 032 362 \cdot 2^{107 001}- 1 e 318 032 362 \cdot 2^{107 001}+ 1

A questo punto è lecita la domanda se esistono numeri trigemini, ovvero se esistono tre numeri primi consecutivi che differiscono di 2. Si può affermare che l’unica terna di numeri è: 3 - 5 - 7. Infatti qualunque terna di numeri dispari consecutivi deve contenere al suo interno un numero divisibile per 3 e quindi non è primo.

A questo punto consultiamo una tabella di numeri primi e cerchiamo di trovare numeri primi in progressione aritmetica.

Si incontrano le seguenti terzine dove tra parentesi indichiamo la ragione.

47 - 53 - 59 (6); 151 - 157 - 163 (6);

199 - 211 - 223 (12), 16763 - 16787 - 16811 (24);

Si incontra anche una quartina:

251 - 257 - 263 - 269 (6)

Nasce spontanea la domanda se esistono sequenze di numeri primi consecutivi di qualsivoglia lunghezza e con quale ragione.

2. Possibili valori della ragione.

La ragione R di una qualsivoglia progressione di numeri primi non può assumere un qualsiasi valore. Infatti non può essere un numero dispari in quanto ciò implicherebbe che in tale progressione ci sia un numero pari che essendo divisibile per 2 non è primo. Analogamente si dimostra che non può essere uguale a 4 in quanto qualunque sequenza di tre numeri con R = 4 almeno un numero è divisibile per 3 e quindi non è primo. E’ quindi evidente che la ragione può assumere questi valori: R = k x m# (k = 1, 2, 3, ...) dove il simbolo # che segue il numero mindica i numeri primi minori o uguali a ed è chiamato primoriale di m, ovvero

m# = primoriale di m (per es.: 8# = 2 x 3 x 5 x 7= 210).

Pertanto:

Valori di R per m = 3 e m = 4: 3# = 4# = 2 x 3 = 6 e quindi R = 6; 12; 18; 24; ...

Valori di R per m = 5 e m = 6: 5# = 6# = 2 x 3 x 5 = 30 e quindi R = 30; 60; 90;...

Valori di R per m = 7, 8, 9 e 10: 7# = 8# = 9# = 10# = 2 x 3 x 5 x 7 = 210 e quindi la

ragione può assumere i valori: R = 210; 420; 630; ...

Valori di R per m = 11 e 12: 11# = 12# = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2310

e quindi la ragione può assumere i valori: R = 2310; 4620; 6930; ...

3. Terzine di numeri primi consecutivi in progressione

E’ stato approntato (prof. Marcello Salmeri di Tor Vergata) un programma per individuare tutte le terzine esistenti sino al numero primo di mille milioni di cifre, analogo lavoro è stato fatto per la quartine, le cinquine, ...

Si riportano per le singole ragioni possibili la prima terzina trovata ed a fianco

il numero delle terzine esistenti.

Ragione

Prima terzina

numero di terzine trovate

6

47-53-59

595 279

12

199 - 211 - 223

330 221

18

21 893 - 21 911 - 21 929

181 903

24

16 763 - 16 787 - 16 811

90 678

30

69 593 - 69 623 - 69 653

84 523

36

255 767 - 255 803 - 255 839

9444

42

247 099 - 247 141 - 247 183

15 333

48

3 565 931 - 3 565 979 - 3 566 027

899

54

6 314 393 - 6 314 447 - 6 314 501

2577

60

4 911 251 - 4 911 311 - 4 911 371

2329

66

12 012 677 - 12 012 743 - 12 012 809

643

72

23 346 737 - 23 346 809 - 23 346 881

233

Infine sono state trovate con R = 78 n. 148 terzine; con R = 84 n. 90;

con R = 90 n. 63; con R= 96 n. 18; con R= 102 n. 7; con R = 108 n. 5;

con R = 114 n. 3; con R = 120 n. 2 e con R = 126 e R = 144 n. 1.

Fougeron nel 2002 ha trovato una terzina di 2409 cifre con ragione 30 e Rosenthal, Jobling e Forbes hanno trovato una terzina di 1545 cifre con ragione 2682.

4. Quartine di numeri primi consecutivi in progressione

Si riportano, in corrispondenza di ciascuna ragione, il primo numero di ogni

quartina.

Ragione

Quartina

6

251 - 257 - 263 - 269

12

11 499 - ....

18

74 453 - ....

24

1 397 609 - ....

30

642 427 - ....

36

5 321 191 - ....

42

23 921 - 257 ....

48

55 410 683 - ....

54

400 948 369 - ....

60

253 444 777 - ....

72

491 525 857 - ....

Fougeron ha trovato una quartina di ben 1004 cifre con ragione 396

    1. Cinquine di numeri primi consecutivi in progressione

Si riporta il primo numero delle cinquine trovate tutte di ragione 30.

9 843 019 - ....

37 772 429 - ....

53 868 649 - ....

71 427 757 - ....

78 364 549 - ....

79 080 577 - ....

98 150 021 - ....

90 591 433 - ....

  1. Sestine di numeri primi consecutivi in progressione Esiste una sola sestina con ragione 30

  1. 174 811 - ....

Nel campo di numeri da 10^9 a 4\cdot 10^9 ne sono state trovate sempre di ragione

30 e sono le seguenti:

1 128 318 991 - ....

2 201 579 179 - ....

2 715 239 543 - ....

2 840 465 567 - ....

3 510 848 161 - ....

3 688 067 603 - ....

3 893 783 651 - ....

  1. Sequenze di 7, 8, 9 10 numeri primi consecutivi in progressione

Recentemente sono stati trovate sequenze di 7, 8, 9 e 10 numeri primi in progressione tutti di ragione 210 che non riteniamo opportuno trascrivere in quanto hanno rispettivamente 97, 92, 92,e 93 cifre.

Per sequenze di 11 numeri, che avreb-bero una ragione di almeno 2310, sino ad ora non si è trovato alcun risultato.

E’ in lavorazione un analogo lavoro riguardante sequenze di numeri quasi primi, ovvero di numeri che sono prodotto di due numeri primi anche uguali.

Bibliografia

  1. H.DUBNER, T. FORBES, N. LYGEROS, M. MIZONY, H. NELSON, and P. ZIMMERMANN, The consecutive primes in aritmetic progression, Math. Comp., (1998)

  1. H. DUBNERand H. NELSON, Seven consecutive primes in aritmetic progression, Math. Comp., 66 (1997) 1743-1749.

  2. R.K. GUY, Unsolved problem in number theory, Springer-Verlag, New York, NY, 1994.

  1. L.J. LANDER and T.R. PARKIN,Consecutive primes in arithmetic progression, Math. Comp. 21 (1967) 489.

  2. E. GROSSWLD, Atithmetic progressions that consist of primes,J. Number Theory, 14 (1982)

9-31.

  1. H.E.ROSE, A course in number theory, second edition,Clarendon Press, Oxford, 1994

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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