Blog divulgativo sulla matematica applicata

Non c’hai il fisico: tratto da una storia vera (Parte 2)

La storia di una particella che passò oltre la barriera

"IMPOSSIBLE IS JUST A BIG WORD THROWN AROUND BY SMALL MEN WHO FIND IT EASIER TO LIVE IN THE WORLD THEY’VE BEEN GIVEN THAN TO EXPLORE THE POWER THEY HAVE TO CHANGE IT. IMPOSSIBLE IS NOT A FACT. IT’S AN OPINION. IMPOSSIBLE IS NOT A DECLARATION. IT’S A DARE. IMPOSSIBLE IS POTENTIAL. IMPOSSIBLE IS TEMPORARY.

IMPOSSIBLE IS NOTHING. (Muhammed Ali)"

Ben tornati alla seconda puntata del mio fu diario segreto. Questo post avrei dovuto intitolarlo "L'insieme degli esempi estremi" perché stavolta ne ho fatti davvero tanti. Il mio racconto stesso lo è. "Una parodia dell'effetto tunnel" sarebbe stato un altro buon titolo. Perché il mio non è un caso di successo, è un caso di lotta. Se siete curiosi, e spero che lo siate, potete trovare il prologo della battaglia qui.

L'attesa

lettere

Non troppo tempo fa si sapeva attendere. Una volta ci si spediva una lettera scritta a mano e si aspettava settimane per ricevere la risposta, per dirne una.

Da piccola io e le mie cuginette ci mandavamo le letterine con la posta. Due ricche pagine di un foglio decorato, preso dal plico di carta che andavamo a comprare appositamente in cartoleria, riempito col racconto di uno scorcio di vita: pagine vive, private, personali, cariche d'affetto. Dovevi uscire di casa, comprare il francobollo, scrivere bene bene l'indirizzo e il nome del destinatario (che poi perdevano la lettera ed era un duro colpo al cuore), cercare quel mostro rosso con due bocche e infilare di soppiatto la lettera, tirare via di colpo la mano per evitare che quell'avida creatura ti mordesse le dita con perfidia.

Oppure aspettavi che il ragazzo che ti piaceva, l'eroe di un tempo, trovasse il coraggio di chiamarti al numero di casa col rischio di incrociare la voce di tuo padre.

Una volta l'orologio in cucina aveva un rintocco greve ma rassicurante e stavo là a lasciarlo scorrere fissandolo, ipnotizzata. Le giornate erano davvero lunghe, un'ora non finiva mai. Non so quando ho iniziato a non sentire più quel rintocco. So che oggi mi trovo addosso quest'ansia di dovermi sbrigare, di correre, di rincorrere le lancette perché non c'è tempo da perdere.

Non è che non volessi aspettare, certo è che dopo 7 mesi dalla rimozione dell'ernia discale pensavo di essere pronta a rientrare almeno in palestra a fare "le cose da femmina", come amo sintetizzare per non essere ribattuta quando rispondo a chi mi chiede "cosa faccio in palestra". Non me ne rendevo conto ma ancora una volta andavo di fretta ignorando i segnali, volevo tornare il prima possibile a praticare capoeira. D'altro canto ero a posto con la coscienza, avevo fatto le mie 10 lezioni di idrokinesi, 10 fisioterapie, 10  massaggi e detto 10 ave maria.

E' ora però di rimetterci in marcia e mantenere le promesse: risolvere l'equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo (per un ripassino veloce potete cliccare qui e anche qui)

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x)

considerando V(x)=-\alpha\delta(x) con \alpha costante e \delta(x) è la delta di Dirac centrata in 0:

 \delta(x) = \begin{cases} +\infty &\text{se $x=0$}\\ 0&\text{altrimenti}\end{cases}     e     \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)dx=1 .

L'equazione di Schrödinger col nostro potenziale diventa:

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}-\alpha\delta(x)\psi(x)=E\psi(x)

e la marchiamo col bollino (S).

Questo potenziale ammette stati legati o di diffusione? Entrambi. Nel precedente post ci eravamo raccontati che se V(x)>E in due punti di x la particella rimane intrappolata tra di essi in uno stato legato mentre se V(x)<E in un solo punto la particella è in uno stato di diffusione.

Se ci ragioniamo, notiamo che per sapere se una particella riesce a sfuggire ad una barriera di potenziale di altezza finita ci basta controllare il potenziale all'infinito:

\begin{cases}E<V(-\infty) \text{ e } E<V(+\infty) \text{ allora si ha uno stato legato}\\ E>V(-\infty) \text{ o } E>V(+\infty) \text{ stato di diffusione}\end{cases}.

Ma nel nostro caso e in generale si ha a che fare con potenziali che decadono a  zero all'infinito, per cui la regola appena scritta si traduce in:

\begin{cases}E<0\text{ stato legato}\\ E>0\text{ stato di diffusione}\end{cases}.

Lo stato legato

Partiamo col cercare la soluzione dell'equazione per E<0 e dividiamo il problema spezzando l'asse delle x nei due casi x<0 e x>0 per poi raccordare le due soluzioni in x=0.

Prendiamo allora x<0. Qui V(x)=0, per cui -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x) diventa:

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=E\psi(x).

Portiamo allora tutte le costanti a destra e scriviamo:

\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=-\frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x).

Infine battezziamo -\frac{2mE}{\hbar^2}=K^2, per cui K=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}.

Essendo E negativa, la quantità sotto la radice -2mE è positiva e quindi K è reale. La soluzione generale è allora:

\psi(x)=Ae^{-Kx}+Be^{Kx}.

 Il primo termine Ae^{-Kx} "esplode" a infinito quando x \rightarrow -\infty per cui dobbiamo prendere A=0. Allora la soluzione per il caso E<0 e x<0 è:

\psi(x)=Be^{Kx}.

Seguendo lo stesso ragionamento, per E<0 e x>0 la soluzione è:

\psi(x)=Fe^{-Kx}+Ge^{Kx} dove stavolta è G a dover essere posto pari a 0, pertanto:

\psi(x)=Fe^{-Kx}.

La \psi(x) deve essere però continua su tutto \mathbb{R} per cui dobbiamo raccordare le due soluzioni in x=0, imponendo:

Be^{K0}=\psi(0)=Fe^{-K0}. Poichè qualsiasi numero elevato a zero dà 1,  e^{K0}=e^{0} =1 (stesso col segno meno), deduciamo che B=F.

La soluzione è

\psi(x)=\begin{cases}Be^{Kx}\text{se x$\leq$ 0}\\ Be^{-Kx}\text{se $x\geq$ 0}\end{cases}.

La soluzione deve essere anche tale che \frac{d\psi(x)}{dx} è continua tranne nei punti in cui il potenziale è infinito.

E' utile qui disegnare la soluzione \psi(x) per capire che l'unico punto da verificare è quello per cui x=0.

psi(x)

Per farlo usiamo l'equazione (S) e integriamo nell'intorno dello 0, cioè nell'intervallo (-\varepsilon,+\varepsilon):

-\frac{\hbar^2}{2m}\int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}-\int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon}\alpha\delta(x)\psi(x)=E\int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon}\psi(x).

Facendo tendere \varepsilon a zero, il primo termine è la derivata di \psi(x) calcolata nei due estremi ( il primo termine verrà allora sintetizzato con la scrittura \Delta(\frac{d\psi(x)}{dx})) mentre l'ultimo termine tende a zero.

Per cui ordiniamo e scriviamo:

 \Delta(\frac{d\psi(x)}{dx})=-\frac{2m}{\hbar^2}\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon}\alpha\delta(x)\psi(x).

Per la proprietà della delta di Dirac otteniamo allora:

\Delta(\frac{d\psi}{dx}(x))=-\frac{2m}{\hbar^2}\alpha\psi(0).

Bolliamo col simbolo (D) questo risultato dato che è indipendente da E o da x e verrà usato anche nel caso E>0.

Ricordando che \frac{dBe^{\pm Kx}}{dx}=\pm BKe^{Kx} e che \psi(0)=B:

\Delta(\frac{d\psi}{dx}(0))=-2BK= -\frac{2m}{\hbar^2}\alpha B, ovvero K=\frac{m\alpha}{\hbar^2}.

Ma avevamo già K=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}, per cui: \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}=K=\frac{m\alpha}{\hbar^2}, cioè E=-\frac{m\alpha^2}{2\hbar^2}.

Infine normalizzando la \psi:

\int_{-\infty}^{+\infty}|\psi(x)|^2dx=2|B|^2\int_0^{+\infty}e^{-2Kx}dx=\frac{|B|^2}{K}=1,

ottenendo B=\sqrt{K}=\frac{\sqrt{ m\alpha}}{\hbar}.

Riassumendo, per E<0, indipendentemente da \alpha, il sistema ha esattamente uno stato legato:

\psi(x)=\frac{\sqrt{ m\alpha}}{\hbar}e^{-\frac{m\alpha|x|}{\hbar^2}} e E=-\frac{m\alpha^2}{2\hbar^2}.

A 32 anni mi sono ritrovata a pesare 84 abbondanti chili, mi vergogno anche a scriverlo. Chiusi gli occhi e tirai le somme: "Quante volte mi sono messa a dieta? Un numero non trascurabile di volte". Ripercorsi le fasi.

A 15 anni la prima dieta, persi 6 kg ma andai presto in menorrea. Mi concentrai allora solo sullo sport: correvo per 1h sul tapis, 10km su strada asfaltata, palestra, bici, mi uccidevo ma ogni 2 mesi rimanevo bloccata con la schiena.

A 24 il primo cedimento importante, la risonanza magnetica fa raccapricciare ogni neurochirurgo. Mi dicono che devo smetterla con lo sport, obbedisco, ingrasso mentre la schiena peggiora.

A 27 trovo l'amore e questo mi dà la forza e la voglia di rimettermi in gioco. Inizio la dieta più dura che potessi infliggermi: 1200 kcal contate con meticolosità e precisione certosina. Per anni, almeno 3, 1200 kcal razionate in 5 pasti e dieta priva di glutine e lattosio. Perdo 12 kg ma mi fermo lì. Appena smetto di contare le calorie comincio a ingrassare di nuovo; a 29 anni avevo anche ricominciato con la capoeira e in fondo mi sentivo bene col mio corpo, apparentemente: 1 anno e mi blocco, mi opero, mi rimetto in piedi, mi specchio. Grassa come non mai, un corpo più rotto e logoro che mai. Ora chiedo, chi avrebbe creduto che potessi cambiare questo ciclo vizioso di chili di troppo e ricadute? Come uscire dal mio stato legato?

A 32 anni, gli stereotipi sul metabolismo lento, gli stereotipi su di me, "non c'hai il fisico", perché provarci ancora? Tanto valeva mangiare, d'altronde avevo anche un compagno che mi amava follemente,  potevo chiudere la partita.

Quella non sono io

 Guardiamo ora il caso E>0. Per x<0, facciamo gli stessi passaggi di prima e scriviamo

\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=-\frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x).

Infine battezziamo \frac{2mE}{\hbar^2}=H^2, per cui H=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}. Anche in questo caso la quantità sotto radice è reale e positiva e la soluzione generale dell'equazione \frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=-H^2\psi(x) è:

\psi(x)=Ae^{iHx}+Be^{-iHx}.

Ricordando che e^{iHx}=\cos(Hx) + i\sin(Hx), nessuno dei due termini va a infinito per x che tende a -\infty e dobbiamo tenerli entrambi.

Analogamente nel caso x>0,

\psi(x)=Fe^{iHx}+Ge^{-iHx}

e, ahimè, non possiamo "buttar via" nulla.

Per assicurare la continuità di \psi(x) in x=0 dobbiamo imporre A+B=F+G.

Per quanto riguarda la derivata destra e sinistra nell'intorno dello 0 di \psi:

\frac{d\psi}{dx}\mid_+=iH(F-G), mentre \frac{d\psi}{dx}\mid_{-}=iH(A-B),

per cui \Delta(\frac{d\psi}{dx}(0))=iH(F-G-A+B).

Grazie al risultato ottenuto in (D) riusciamo a scrivere ancora iH(F-G-A+B)=-\frac{2m\alpha}{\hbar^2}(A+B).

Ma non basta,  ci sono troppe incognite e poche equazioni per calcolarle. E la normalizzazione? Non è uno stato normalizzabile. E allora abbiamo sprecato tempo? Buttiamo tutto? MAI! Prima di buttare tutto all'aria dobbiamo ragionare.

Fermiamoci e guardiamo al senso fisico delle costanti messe in gioco.

Molto tempo fa vi avevo raccontato come si approccia l'equazione generale di Schrödinger nel post che trovate a questo link. Non serve tanto che lo rileggiate, ma che vi fidiate del fatto che l'equazione (S) è un sotto caso semplificato (in una dimensione e non dipendente dal tempo) di un problema più ampio la cui soluzione generale è ottenuta come combinazione lineare delle soluzioni stazionarie moltiplicate per il fattore temporale  e^{-\frac{iEt}{\hbar}}.  Perciò, supponendo di aver trovato le soluzioni stazionarie (come abbiamo fatto nel caso E<0) anche nel caso E>0, una volta che il termine e^{iHx} viene accoppiato col fattore temporale e^{-\frac{iEt}{\hbar}}, dà luogo ad una funzione d'onda, soluzione dell'equazione di Schrödinger generale, che si propaga verso destra. Allo stesso modo, il termine e^{-iHx} è relativo ad un'onda che che si propaga verso sinistra. Per cui A è l'ampiezza dell'onda che arriva da sinistra, B è l'ampiezza dell'onda che ritorna a sinistra, F è l'ampiezza dell'onda che prosegue a destra, G quella dell'onda che viene da destra.

psi2(x)

Potendo considerare solo un'onda che viene da sinistra o da destra, facciamo una scelta casuale e prendiamo quella da sinistra. In questo caso A è l'ampiezza dell'onda incidente, B quella dell'onda riflessa, F quella dell'onda trasmessa e G=0.

Pastrocchiando con quello che avevamo ottenuto riusciremmo ad esplicitare B e F rispetto ad A e scrivere:

B=\frac{i\beta}{1-i\beta}A e F=\frac{i\beta}{1-i\beta}A, con \beta=\frac{m\alpha}{\hbar^2H}.

Dato che |\Psi|^2 (dove \Psi è volutamente scritto grande perché qui si parla della soluzione generale)  rappresenterebbe la probabilità di trovare la particella in una certa posizione, ottengo la probabilità relativa se considero la probabilità di trovare la particella riflessa sulla probabilità che sia un'onda incidente proveniente da sinistra. Cioè

R=\frac{|Be^{-iHx}e^{-\frac{iEt}{\hbar}}|^2}{|Ae^{iHx}e^{-\frac{iEt}{\hbar}}|^2}.

Vi ricordo che il modulo di una funzione complessa è ottenuta moltiplicando la funzione per il suo coniugato. In formule: |\Psi|^2= \Psi^*\Psi= \psi^*e^{\frac{iE}{\hbar}}\psi e^{-\frac{iE}{\hbar}}=|\psi(x)|^2. Ma la nostra \psi(x) è ancora un'esponenziale per cui R, chiamato coefficiente di riflessione, si esprime come il rapporto:

R=\frac{|B|^2}{|A|^2}

o meglio ancora R=\frac{\beta^2}{1+\beta^2}.

Allo stesso modo scriviamo:

 T=\frac{|F|^2}{|A|^2}=\frac{1}{1+\beta^2}

dove T è chiamato coefficiente di trasmissione.

Notiamo subito che R+T=1, come da brave probabilità complementari (o la particella va oltre la barriera o viene riflessa). Inoltre R e T sono entrambe dipendenti da \beta e quindi dipendono dall'energia: tanto più grande è l'energia, tanto più è grande la probabilità di trasmissione. Sarebbe del tutto ragionevole se vi opponeste al risultato dicendo che non abbiamo trovato una soluzione relativa al caso di diffusione che sia normalizzabile. Non riusciamo a farlo a mano, ma usando un buon pc e un software specifico questa soluzione si riesce a scrivere. Qui posso solo chiedere un atto di fede. Una volta trovato il nostro pacchetto di funzioni di diffusione cosa ne deduciamo? Che in meccanica quantistica, una particella ha una probabilità diversa da zero di passare oltre una barriera di potenziale anche se non ha energia a sufficienza (nel caso classico era l'ipotesi E<V(x_{max})). Che nella vita di tutti i giorni è come dire che c'è una possibilità per il carrellino che vada oltre l'ennesima cunetta anche se sfinito e sgangherato.

quantum tunneling

Questa fenomeno fisico che si riscontra nel micromondo viene chiamato effetto tunnel e per quanto sembri lontano dal mondo reale, nel macromondo, è già in uso nelle moderne tecnologie. Inoltre é vero anche il contrario, che venga rimbalzato anche se ha tantissima energia (E>V(x_{max})).

Sembra un pò poco come buona notizia. La prima nota dolente è nel fatto che questo effetto avviene per "oggetti" molto piccoli. Non siamo piccoli? In fondo siamo un puntino sul pianeta terra, che è piuttosto piccola rispetto al sole,sistema solare

che a sua volta è da qualche parte a ruotare felice nella via lattea.

posizione-sole-nella-galassia

Già, ma non abbastanza piccoli da poter apprezzare l'effetto tunnel nella quotidianità. Ciò nonostante, da bravi matematici sappiamo che se la regola è decaduta per un unico miserabile caso, seppur rammaricati, possiamo solo che asciugare le lacrime e iniziare a buttar giù un nuovo scintillante modello.

Seconda nota dolente: la nostra vita dipende solo da probabilità, quasi sempre basse direbbero i pessimisti, di ottenere ciò che vogliamo. Si è così, la vita è un gioco delle probabilità. Ancora legati al determinismo? "Si Nunzia, la vita è fatta di certezze, tipo domani mi alzo alle 7, prendo il bus alle 8:15 e alle 8:45 sono in ufficio". No interlocutore immaginario, hai un'altissima probabilità che sia così, ma c'è anche la piccolissima probabilità che tu decida di fermarti al tabacchino, comprare un "gratta e vinci", vincere e non presentarti a lavoro. Di nuovo un esempio estremo, ma inoppugnabile. Io so solo che di fronte a quello specchio c'era solo una voce nella mia testa: "quella non sono io". Finché c'era una probabilità, anche la più piccola, io volevo provarci ancora. Anche perché nel gioco della vita c'è si una buona dose di probabilità, ma tutto è legato indissolubilmente alle nostre scelte. Siamo noi che dobbiamo gettare le basi e fare azioni affinché certe probabilità da nulle diventino un numerino sempre più grande. Dovevo essere io a decidere per me stessa e fare azioni per me stessa. Ho scelto di provarci, azzerando la memoria, cambiando prospettiva, rivolgendomi a figure competenti, dandomi tutto il tempo che mi serviva.

A 32 anni, all'inizio del secondo ciclo di fisioterapia pesavo 84 kg, camminavo a passi stretti con le natiche serrate per mantenere la schiena dritta e nessuno mi diceva "poverina".  Mi dicevano che mangiavo troppo. Mi ero già sottoposta ad un ciclo fallimentare di fisioterapia. Però avevo smesso di sbavarmi addosso quando mi lavavo i denti e quello mi sembrava un buon inizio. Non mi ricordo quanto ci ho messo, 1 anno, 2? Non lo so. Oggi, Natale permettendo, peso 69.4 kg e corro come un cavallo nella prateria. Secondo "my personal trainer" devo perdere solo altri 0.5 kg per essere considerata normopeso. Le persone hanno smesso di dire che mangio troppo e hanno iniziato a dire "che fisico".

Lasciatemi ribadire dei concetti chiave che ho sparpagliato qua e là nel post. L'esempio basato sulla mia esperienza personale non è un esempio di applicazione dell'effetto tunnel ma solo un parallelo giocoso che ho voluto regalare per rendere il post meno faticoso (e per farvi scrollare in basso fino alla fine del post). Non è neanche un mio invito al lettore di correre nella neve con la febbre a 40, tanto c'è la probabilità di non morire. O di non vaccinarvi perché i medici non ci capiscono nulla. Tutt'altro! I medici VANNO ascoltati e dovete prendervi cura di voi. Vi invito solo a non accontentarvi dello stereotipo, di non raccontarvi bugie, di non lasciarvi condizionare dall'amico, di avvicinarvi a tutto ciò che vi accade con spirito critico, di non abbattervi, di guardare agli eventi con occhi nuovi, da altre prospettive e infine ma soprattutto di darvi un'altra occasione e ancora un'altra. Tutte quelle che servono, col tempo che ci vorrà.

Ho tempo da perdere

Finale bonus (con anticipazione ad un prossimo post)

Negli ultimi mesi ho conosciuto tantissime persone. Alcune di queste, in modo del tutto indipendente l'una dall'altra, mi hanno rivolto una domanda relativa a due temi: il tempo e la morte. Cose del tipo: "tu vivresti per sempre?", "cosa pensi della morte?", "tu parli come se non dovessi mai morire". Ma c'é un minimo comune multiplo tra di loro: tutti sono angosciati dalla morte e dal venire dimenticati. O hanno paura di essere dimenticati e quindi hanno paura di morire. Comunque queste fobie si tramutano inevitabilmente in inquietudine interiore, in panico, soprattutto nel doversi sbrigare o nel fare il più possibile.  Mi sono posta allora un problema che mi ha tormentato per molto tempo: quanto è giusto che il fattore tempo influisca sulle nostre scelte? Se vivessi in eterno farei comunque le stesse scelte di oggi o ne prenderei altre? E' ovvio che in alcune circostanze (tipo quando devo prendere il treno o consegnare un lavoro) il fattore tempo deve essere preso in considerazione ma qual è il peso del tempo nelle decisioni. Come scegliere? Se ho l'equazione:

decisione_{finale} = p_{tempo}*decisione_1 + p_{cuore}*decisione_2 + p_{ragione}*decisione_3+p_{minchiata}*scarto

dove p sta per peso, qual è il valore da dare a ciascun fattore. Se, come i miei amici, so di morire, e che forse morirò presto, darò tantissimo peso al tempo e prenderò sempre la decisione 1.

Non sto qui a darvi una soluzione, ma posso dirvi con certezza che l'unica risposta plausibile è che non è il tempo ad avere peso nella decisione ma è l'importanza dell'obiettivo a rendere valevole il tempo speso nel raggiungerlo.

Assolutamente no, non ci penso proprio a vivere in eterno (non vorrei fare la fine del mio amato personaggio di One Piece, il musicista Brook) e si scelgo come se dovessi vivere in eterno.

Cos'è il tempo d'altronde?

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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