Cosa c’è oltre lo specchio?, si chiede Alice. Lewis Carroll, il suo creatore, che in realtà è un matematico, lascia che Alice si cimenti da sola nei suoi esperimenti. (E Alice non conosce ancora Bob!)
Ma cosa c’è oltre lo specchio? Che tipo di mondo si potrebbe trovare? Per un matematico, il mondo oltre lo specchio potrebbe essere simmetrico, speculare, comunque diverso, o uguale a meno di un segno.
Ma perché siamo così affascinati dalla simmetria?
Ce lo racconta il premio Nobel Richard Feynman. La simmetria ha qualcosa di perfetto e ha da sempre attratto i sapiens sapiens, i quali ci rimangono male quando qualcosa non è così perfetta come vorrebbero. Come quando scoprirono che le orbite dei pianeti non erano circolari, ma ellittiche; e quando videro che, per giunta, le ellissi presentavano piccole irregolarità. Feynman nota che sono però proprio quelle “stranezze”, quelle piccole imperfezioni e asimmetrie, come quelle irregolarità delle orbite causate da maree e altri strani fenomeni, a suscitare la curiosità scientifica e a portare a scoperte.
Richard Feynman. Immagine da Wikipedia
Se la perfezione delle opere d’arte umane causa spesso l’invidia degli dei dell’Olimpo, gli uomini talvolta ricorrono ad espedienti per neutralizzarla. Feynman cita il caso di una porta giapponese di Neiko, in stile cinese, con decorazioni perfettamente simmetriche tranne che in un dettaglio, inspiegabilmente capovolto. Tradizione vuole che questa asimmetria abbia proprio lo scopo di evitare l’invidia degli dei in quella parte del mondo.
Secondo Hermann Weyl, una simmetria è un’invarianza rispetto a una trasformazione. Il premio Nobel Franck Wilczek definisce la simmetria in modo lapidario: “Change Without Change”, un “Cambiamento senza cambiamento”.
Come intendere “cambiamento senza cambiamento”? Immaginiamo di avere un oggetto e di eseguirvi un’operazione. Se l’operazione da noi compiuta lascia inalterato l’oggetto, si ha una simmetria. Se per esempio trasliamo un oggetto nello spazio, l’oggetto non cambia. Se ruotiamo una sfera, otteniamo una sfera identica a prima. Se ruotiamo un cubo di un angolo minore di 90° (rispetto a un asse che taglia una faccia del cubo in due), abbiamo un cubo inclinato. Fisicamente l’oggetto è inalterato, ma il suo aspetto è diverso — è inclinato. Otteniamo un cubo esattamente uguale a prima se effettuiamo una rotazione di 90°. Possiamo definire rotazioni per angoli diversi rispetto ad assi diversi, e osservare se le figure cambiano o meno. In Matematica si definiscono infatti gruppi di simmetria, che comprendono le simmetrie assiali. Nella Fisica delle particelle si presta attenzione anche a caratteristiche dell’oggetto quali lo spin e la carica.
In Fisica si possono definire diverse operazioni di simmetria: traslazione nello spazio, traslazione nel tempo, rotazione rispetto a un angolo fisso, velocità uniforme in linea retta (trasformazione di Lorentz), inversione del tempo, riflessione dello spazio, scambio di atomi identici o di particelle identiche, variazione di fase in meccanica quantistica, coniugazione di carica materia-antimateria (cfr. l’inizio del capitolo 52-1 dal primo volume della “La Fisica di Feynman”). La traslazione passa inosservata non quando ci si sofferma un singolo oggetto (che appare “spostato nello spazio”, un po’ come il cubo “ruotato nello spazio”), bensì quando si osserva un reticolo infinitamente esteso, ovunque uguale. E siccome non possiamo osservare oggetti infinitamente estesi, possiamo farcene un’idea osservando un reticolo finito.
Emmy Noether nel 1918 sviluppa un teorema fondamentale che fa corrispondere la simmetria con la conservazione di quantità fisiche. L’invarianza della lagrangiana rispetto alla variazione infinitesima di una quantità indica la conservazione di tale quantità (si ha dunque una “costante del moto”). Il teorema vale solo per simmetrie continue descritte da gruppi di Lie.
Emmy Noether. Immagine da https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~roquette/hasse-noether/correspond.htm
Un’altra signora della simmetria è Miss Wu (Chien-Shiung Wu), un Nobel mancato per poco. Nel 1956 progetta e conduce con successo l’esperimento per provare il decadimento beta debole, ma il Nobel va ai due teorici che lo avevano ipotizzato, Lee e Yang. Miss Wu però vince il premio Wolf nel 1978.
Il decadimento beta è un fenomeno di decadimento nucleare, governato dall’interazione debole. Gli atomi di cobalto all’interno di un campo magnetico molto intenso si disintegrano; gli elettroni così prodotti non si disperdono in tutte le direzioni, ma ne scelgono una. Se si immagina un esperimento corrispondente “allo specchio”, lo spin si inverte, ma la direzione di propagazione dovrebbe rimanere identica. Tuttavia, ruotando l’apparato sperimentale, si vede che gli elettroni vanno nel verso opposto (lo spin cambia specularmente, ma anche la direzione del moto). L’immagine capovolta e quella speculare del processo sono diverse, vedi figura in basso a destra dal libro di K. W. Ford.
Immagine da “La Fisica delle particelle” di K. W. Ford, pagina 235
L’inversione trasforma una particella nella sua immagine riflessa: quando le due immagini, quella originale e quella riflessa, non sono uguali, la parità è violata. Nel decadimento beta non si ha simmetria per inversione.
Vi sono due tipi di decadimento beta: 1. fornendo la necessaria quantità di energia a un neutrone, questo “decade” in un elettrone e un antineutrino elettronico, $${n\rightarrow p + e^- + \bar\nu_e}$$, e 2. sempre fornendo energia, un protone si fa decadere in un neutrone, un positrone e in un neutrino, $${p\rightarrow n + e^+ + \nu_e}$$. L’antineutrino si può vedere come un neutrino che va indietro nel tempo. Così come un positrone è un elettrone di carica opposta, che può essere visto come un elettrone che va indietro nel tempo.
Chien-Shiung Wu. Immagine da Wikipedia
Nel decadimento beta si ha dunque una violazione della parità. Che cos’è la parità? Una trasformazione di parità consiste nel cambio di segno delle coordinate spaziali. La parità si conserva quasi sempre: nelle interazioni elettromagnetica, forte e gravitazionale, ma non nell’interazione debole. Si ha cioè in tre delle quattro interazioni, i meccanismi alla base delle forze fondamentali della natura.
Un altro premio Nobel, Peter Higgs, con un altro Nobel ancora, François Englert, definiscono il meccanismo che conferisce massa alle particelle, meccanismo che include una rottura della simmetria.
Higgs è di recente diventato noto al grande pubblico a seguito della conferma sperimentale dell’omonimo bosone (una particella a spin intero), che ha offerto una importante conferma a supporto del modello standard (basato sulle quattro interazioni fondamentali). Il bosone di Higgs è il “quanto” (la particella/oggetto mediatore) del campo di Higgs, alla base dell’importantissimo meccanismo omonimo. Fra i nomi dei vari studiosi che ne ipotizzarono l’esistenza (Anderson, Englert, Brout, Higgs, Guralnik, Hagen, Kibble), si dice che al meccanismo (e alla particella) sia stato associato proprio il nome di “Higgs” in quanto… più breve. Per non fare torto a nessuno (neanche al fisico Gerard ‘t Hooft), il meccanismo è talvolta denominato “di ABEGHHK’tH”.
Immaginiamo un cappello messicano, un sombrero. Ma non pensiamo a un vero cappello, bensì a un potenziale a forma di cappello. C’è una pallina (in realtà una particella priva di massa) in cima a questo potenziale. La pallina ha di fronte a sé una simmetria radiale di possibilità. Ma ad un certo punto ne sceglie una: scivola verso un punto a potenziale più basso, rompendo la simmetria radiale. È ciò che viene detto “rottura spontanea di simmetria”.
Rottura spontanea di simmetria. Immagine da http://universe-review.ca/R15-12-QFT21.htm
Campo scalare complesso. Immagine da http://universe-review.ca/R15-12-QFT21.htm
Il sombrero è la visualizzazione di un campo complesso (campo di Higgs), con una parte reale e una immaginaria. Quando si aggiunge un altro campo (un campo di gauge senza massa), dato soltanto da una componente reale, si crea una fluttuazione e la simmetria si spezza (“la pallina scivola dalla sommità”). Delle componenti reale e immaginaria ne viene scelta una, quella reale: “la pallina ‘sceglie’ una direzione”. In questo modo si genera un bosone privo di massa, il bosone di Goldstone. Con una trasformazione locale di gauge (una trasformazione che lascia il significato fisico della lagrangiana invariato, dunque una simmetria), si mostra che il bosone di gauge (qui, mediatore della forza debole) assorbe il bosone di Goldstone. Nella lagrangiana compaiono termini massivi: le particelle acquisiscono massa. Il campo di Higgs spezza dunque la simmetria elettrodebole, consentendo ai bosoni di acquisire massa. In dettaglio, il campo di Higgs genera quattro bosoni, tre dei quali forniscono un grado di libertà in più ai mediatori dell’interazione debole (particelle W+, W– e Z0) rendendole massive. Il quarto bosone rimane “libero”; si tratta del bosone di Higgs, la cui esistenza è stata dimostrata sperimentalmente nel 2012. Al premio Steven Weinberg si deve la prima teoria completa dell’interazione (elettro)debole, ma, per ragioni storiche, il nome che si cita di più è sempre quello più breve: Higgs. Il premio Nobel Hideki Yukawa spiega il meccanismo per l’acquisizione della massa degli elettroni (che non sono bosoni ma fermioni). Ma questa è un’altra storia.
Esempio di decadimento beta, da Wikipedia
Il premio Nobel Carlo Rubbia verifica nel 1985 l’esistenza dei “bosoni intermedi”, i mediatori della forza debole W+, W– e Z0, che nascono e scompaiono durante il decadimento beta. Sì, sempre quello. Nella figura a lato è mostrata (attraverso un “diagramma di Feynman”) la disintegrazione di un neutrone, la creazione di un protone e l’emissione di un mesone intermedio W–, che a sua volta genera una coppia di particelle, un elettrone e in un antineutrino.
Torniamo alle simmetrie. Il ramo della matematica che le studia è la teoria dei gruppi, descritta da Évariste Galois nelle sue ultime lettere, la notte prima di morire in duello.
A proposito di simmetrie, di duelli e di lutti, da quando un piccolo oggetto molto simmetrico ma anche molto malefico ha temporaneamente stravolto le nostre vite e prosciugato i nostri portafogli, mi riferisco al virus del COVID-19, è iniziato il lockdown, un periodo di forzato confinamento che ha indotto molti a maggiore riflessione, sia speculativa che speculare.
Durante questo periodo sospeso, ho riflettuto anch’io sulla simmetria e sugli specchi. Qui un disegno, “Duality”, ispirato alla “dualità” nella teoria delle categorie. Invertendo tutte le frecce, si ottengono costruzioni speculari, dette “duali”. Per esempio un limite (generalizzazione del prodotto) diventa un colimite (generalizzazione della somma), e così via. Altri dettagli qui.
“Duality”, copyright Maria Mannone. Disegno accettato per la Bridges 2020 Mathematical Art Gallery
I diagrammi a lato, tratti da Wikipedia, illustrano, in alto, un colimite (verso il quale tutte le frecce convergono) e, in basso, un limite (dal quale partono tutte le frecce). Così accostati, possono anche far pensare a una clessidra.
La clessidra, lo specchio, lo scheletro, il tempo che scorre e certe nature morte o moribonde sono simboli del tema barocco della Vanitas. Nel Barocco si evitano accuratamente le simmetrie perfette, per esempio attraverso archi interrotti, o per mezzo di piccole variazioni e motivi simili ma non esattamente corrispondenti. Un po’ come accade nella musica barocca. Ah, già, la musica. Vi sono asimmetrie o simmetrie spezzate anche in musica?
Casa Professa, Palermo. Immagine da Wikipedia
In musica vi è una sorta di equilibrio fra simmetria (equilibrio, predicibilità, calma) e asimmetria (tensione, sorpresa). L’interazione fra simmetria e asimmetria varia all’interno di singole composizioni e caratterizza stili di compositori e forme musicali. La rottura di simmetria può creare tensione drammatica, ma se la tensione è continua si ritorna alla predicibilità. Se vi è un pattern molto regolare ripetuto nel tempo (come per le musiche dei minimalisti), anche un minimo cambiamento può generare tensione.
Vi sono simmetrie grafiche non facili da percepire all’ascolto. Per esempio, un palindromo risulta evidente solo se è sufficientemente breve. Qui l’inizio di “Mirrors”, un mio breve pezzo per flauto solo con i palindromi (rispetto all’altezza delle note), che dovrebbero essere facilmente identificabili all’ascolto per la loro brevità.
Questa composizione, scritta durante il lockdown italiano, è stata interpretata da una flautista in lockdown dall’altra parte dell’Oceano, insieme ad altri pezzi scritti da altrettanti compositori rigorosamente sigillati nelle loro case. Ma comporre in clausura è qualcosa di abbastanza noto agli allievi compositori della vecchia scuola italiana (alzi la mano chi si ricorda delle 36 ore in clausura al vecchio esame di Diploma in Composizione).
Creativity Quarantine by Maria Mannone
Alcune simmetrie estese nella composizione, come in alcuni esempi contrappuntistici, sono un virtuosismo grafico ma non sono facilmente percepibili. Ma questo non è un difetto: è anzi uno degli scopi del contrappunto creare la massima varietà a partire da semplici elementi iniziali.
Esempi di simmetrie e asimmetrie nell’arte dei suoni sono descritti nel libro “Simmetrie fra Matematica e Musica”, una raccolta di testi scritti da matematici, compositori, musicologi e fisici, scelti e tradotti in collaborazione con il musicologo Federico Favali e di imminente pubblicazione presso Palermo University Press. Anche nella musica, dunque, si possono definire assi di simmetria, rotazioni, inversioni, traslazioni temporali. La simmetria è allora verificata: C.V.D.
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