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Perché le barche galleggiano?

Ciao a tutti e ben ritrovati.

Oggi vorrei iniziare ripetendo la domanda nel titolo: come fanno le barche a galleggiare?

La domanda è, forse, banale ma la risposta è molto interessante.
Tutti abbiamo l'idea empirica del fatto che una barca galleggi nell'acqua e che un aereo voli nell'aria ma la realtà è che spesso si danno per scontate delle leggi fisiche che, nell'epoca della loro scoperta, lasciarono le persone dubbiose e perplesse.

Per rispondere quindi alla nostra domanda (e ad altre conseguenze), parliamo un po' di queste leggi!

Fluidostatica

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Stiamo parlando di una teoria che i fisici chiamano Fluidostatica. Questa è lo studio della meccanica dei fluidi nel loro stato di quiete. Per lasciare le cose sufficientemente semplici consideriamo il fluido come un liquido o un gas. Gli esempi più concreti sono l'aria che ci circonda o anche l'acqua.

Questa branca della fisica studia quindi gli effetti meccanici di questi fluidi quando questi sono fermi e sottoposti a forze esterne. Inoltre ci permette di studiare cosa accade ad un corpo immerso in un fluido. Come sappiamo dalla vita di tutti i giorni, qualcosa galleggia, qualcosa affonda, in funzione di molti fattori. Banalmente potremmo pensare che sia solo una questione di peso, ovvero che un oggetto leggero sicuramente galleggia, mentre uno pesante no. Ma questo è sbagliato!

Infatti in generale una barca può essere molto pesante, come una nave da crociera oppure una porta-aerei. Tuttavia sappiamo di certo che galleggia. Quindi non è solamente una questione di peso. La risposta che generalmente stupisce è che è tutta questione di densità!

Qualche lettore avrà forse intuito che stiamo per parlare di una forza comunemente conosciuta come "spinta di Archimede"!

La forza di Archimede e la pressione di Stevino

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La spinta (o principio) di Archimede è una forza verso l'alto che subisce un corpo immerso in un fluido. La legge recita infatti:

"Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta dal basso verso l'alto pari al peso del volume di fluido spostato"

La formulazione è pressoché semplice ma in atto pratico molto efficace. Nella teoria della fluidostatica, è una conseguenza della legge di Stevino. Arriviamo al concetto prima di formularla.

Immaginiamo di immergere un cubetto dentro un fluido e che questo resti fermo nel mezzo del fluido. Il fluido per sua natura spingerà con una certa forza lungo la superficie del cubetto, ma non perché maligno, semplicemente perché le molecole che compongono il fluido sbatteranno contro il nostro cubetto durante il loro naturale movimento.

Questa forza, a tutti gli effetti, è costante su tutti i punti alla stessa profondità. Ma spostandoci verticalmente verso il basso, la forza sarà maggiore. Quindi le parti del cubetto più a fondo, subiranno una pressione maggiore del fluido, mentre quelli più in alto una minore. Il risultato è che tutte le facce laterali del cubo subiranno delle forze uguali ma bilanciate da quelle sulla faccia opposta. Quindi la forza orizzontale risultante sarà 0. Resta solo la forza verticale.

La faccia superiore subirà una forza dall'alto verso il basso, data da fluido sopra di essa. La faccia inferiore subirà al contrario una forza dal basso verso l'alto.

La forza che il fluido esercita sulle due facce è proporzionale all'area delle facce e la proporzione tra loro è detta "pressione". Questo è un termine ovviamente noto ed è una proprietà che indica la forza impressa per unità di area subita da un determinato oggetto. In questo caso è il fluido ad esercitare una pressione sull'oggetto.

Dato che il cubetto subisce solo la forza di gravità: F = m \cdot g = \rho\cdot V\cdot g = \rho\cdot A\cdot \Delta h\cdot g dove m è la massa del fluido occupata dal cubetto, \rho la sua densità, V il volume, A l'area della superficie (faccia del cubetto) e \Delta h l'altezza del cubetto.

Per quanto detto, sapendo che la pressione è il rapporto tra forza e superficie su cui viene applicata, la differenza di pressione tra le facce superiore ed inferiore del cubo è:  \Delta p = F / A = \rho\cdot g\cdot \Delta h . Questa è (in soldoni) la legge di Stevino.

Ci dice in sostanza che la differenza di pressione mano mano che un oggetto viene immerso in un fluido varia in funzione della profondità di immersione, in modo proporzionale rispetto la densità del fluido.

In generale si aggiunge anche una pressione p_0, corrispondente all'ambiente in cui il fluido si trovi. Solitamente p_0 è la pressione atmosferica.

Riassumendo, ad una determinata profondità h, la pressione subita sarà:  p = \rho\cdot g\cdot h .

cuboimmerso

Ma come fa la spinta di Archimede ad essere conseguenza di questo?

Immaginiamo di nuovo di avere un cubetto nell'acqua. Sappiamo che questo subirà una forza data dalla pressione del fluido.

Potrebbe quindi restare a "mezz'acqua" oppure andare in superficie (galleggiare) oppure affondare.

Se il lato del cubo è l, A l'area di una sua faccia e V il suo volume, la forza data dalla pressione del fluido è:

 F_p = p_b\cdot A - p_a\cdot A = \rho\cdot g\cdot (h + l)\cdot A - \rho\cdot g\cdot h\cdot A = \rho\cdot g\cdot l\cdot A = g\cdot \rho\cdot V = g\cdot M

dove M = \rho\cdot V è la massa del fluido spostato.

Spinta-Archimede

Quindi, come so se galleggia o no?

Se m è la massa dell'oggetto, la forza risultante sull'oggetto sarà:

 F = F_p - F_g = g\cdot M - g\cdot m = g\cdot (M - m) = g\cdot V\cdot (\rho_f - \rho_{ogg})

ed è quindi dovuta solo alla differenza di densità tra i due oggetti. Se la densità del fluido è maggiore l'oggetto riceverà una spinta verso l'alto, altrimenti verso il basso.

Rimarrà fermo solamente se le due densità sono uguali!

Perché quindi una nave galleggia?

La nave riesce a galleggiare perché si immerge nell'acqua con una densità media inferiore a quella dell'acqua. La spinta che riceve dal basso è superiore alla gravità e questo comporta il galleggiamento.

Ovviamente nel caso della nave, la parte immersa non è la nave stessa ma solo la sua parte inferiore. Più la barca viene caricata e più andrà verso il basso, trovando un nuovo equilibrio.

Ma come mai la densità di una barca è meno di quella dell'acqua? Perché la parte immersa della barca contiene molta aria e questo abbassa la densità media. Una barca di metallo avrà una struttura molto più pesante e densa dell'acqua ma se ci sono grandi zone immerse contenenti aria, queste riescono ad abbassare la densità in modo da far vincere la spinta!

barca

Facciamo un conto veloce:

Supponiamo di voler progettare una barca. Decidiamo di fare una base in legno, del quale sappiamo che la densità è 500 kg / m^3. Ipotizziamo anche di voler fare una base quadrata di lato 2 metri (A=4 m^2). Per semplicità possiamo immaginarci una zattera. La densità della base deve essere minore di quella dell'acqua (1000 kg / m^3 circa), altrimenti non avremmo chances.

La barca, immergendosi nell'acqua affinché possa trasportare persone o oggetti, dovrà immergersi senza affondare.

L'equilibrio si avrà quando:

 0 = F = g\cdot V_b\cdot \rho_b - g\cdot V_h20\cdot \rho_{h2o} = g\cdot A\cdot h\cdot \rho_b - g\cdot A\cdot h0\cdot \rho_{h2o}

e quindi:  h\cdot \rho_b - h0\cdot \rho_{h2o} = 0

Ma non abbiamo definito h! Se ad esempio h = 0.5 m:  0 = 0.5\cdot 500 - h0\cdot 1000 e quindi:  h0 = 0.5\cdot 500 / 1000 = 0.25 m .

Sarà un caso che h0 è la metà di h? No, non lo è!

Infatti  h0 / h = \rho_b / \rho_{h20} = 500 / 1000 = 1 / 2 .

Quindi in base a quanto decidiamo di fare l'altezza della base della barca, questa, senza carico, sarà immersa per la metà dell'altezza.

Ma una barca che non porta nulla...che la si fa a fare?

Facciamo così, decidiamo di fare il fondo spesso 1 m. Sappiamo già che se h = 1 m allora, senza carico, h0 = 0.5 m.

Mettendo una massa M sulla barca, cosa succede? La risposta semplice è che si immerge un pochino, ma quanto?

Si immerge di quell'altezza h1 per cui il peso del volume dell'acqua sia uguale a M:  m_{h2o} = A\cdot h1\cdot \rho_{h2o} = M .

Ma sappiamo anche che h1 non può superare la metà di h (h0), altrimenti la nave affonderebbe. Quindi  M <= A\cdot h0\cdot \rho_{h2o} = A\cdot (h/2)\cdot \rho_{h2o} = 4\cdot 0.5\cdot 1000 = 2000 kg e così abbiamo trovato il peso massimo della nostra zattera, soprendente vero?

Chiaramente dovremmo fare attenzione anche all'area della zattera, il nostro carico massimo dipende anche da questa!

In generale:  M <= (\rho_{h20} - \rho)\cdot V .

Di nuovo nel nostro caso:  M <= (1000 - 500)\cdot 4 = 2000 kg .

Ovviamente la barca è solo un esempio

Potremmo fare tantissimi conti ed esempi, per motivi simili a questi riusciremmo a descrivere le mongolfiere che volano ed anche il motivo per cui un iceberg si immerge per circa il 90% del suo volume!

E tutto ciò lo stiamo facendo da fermi senza muoverci. fluidostaticamente! :D

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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