Overview
In un post precedente (leggilo qui) abbiamo parlato di aerodinamica, in particolare di aerodinamica dei profili alari e delle ali mostrando un metodo semplice per il calcolo della portanza e della resistenza indotta dalla portanza.
Abbiamo anche introdotto un coefficiente di resistenza che non dipende dalla portanza e abbiamo chiamato $$C_{d0}$$. Senza essere troppo esaustivi abbiamo detto che questo rappresenta la resistenza del profilo (o dell’ala) quando la portanza è nulla.
Quello che faremo oggi è provare a spiegare da dove nasce questo coefficiente.
Paradossi
Partiamo da un paradosso, perché no! In particolare partiamo dal paradosso di d’Alambert.
Jean Baptiste Le Rond d’Alambert è un matematico (e non solo) Francese vissuto tra il 1717 e il 1783 e fu grande protagonista della rivoluzione illuminista. Generalmente famoso al grande pubblico per i suoi successi matematici (ricordiamo il suo teorema sul numero di soluzioni dei polinomi e il suo criterio sulla convergenza delle serie numeriche) fu anche, insieme con Eulero e Bernoulli, uno dei primi a studiare il comportamento dei fluidi.
Gli studi di d’Alambert si concentrarono sui fluidi definiti non viscosi, ovvero in cui gli effetti delle forze viscose sono nulli. Per studiare questo tipo di flussi si ricorre ad un modello in cui il flusso è stazionario, subsonico (la velocità del fluido è minore della velocità del suono) e irrotazionale (ovvero il rotore della velocità è nullo). Per la prima volta d’Alambert si rese conto che in questo tipo di fluido le forze aerodinamiche non possono esistere, niente portanza e niente resistenza. Ma allora come volano questi aerei se? Saranno mica le forze aerodinamiche un complotto della NASA?
Cari lettori complottisti non cantate vittoria troppo presto!
Viscoso no, viscoso si!
Prima di svelare il mistero dietro il paradosso di d’Alambert va detto che la mancanza di forze aerodinamiche è una diretta conseguenza dell’irrotazionalità del flusso. Infatti sono proprio le forze rotazionali, “la vorticità” del flusso, a generare le forze di attrito e portanza.
Allora come combinare le due cose?
La soluzione al paradosso di d’Alambert, a dire il vero molto semplice, si chiama “strato limite”. Cosa è lo strato limite? Esso rappresenta una zona di spazio molto vicina al corpo in cui tutte le forze rotazionali sono confinate. In questa sezione di spazio molto sottile che circonda i corpi vengono generate le forze aerodinamiche che agiscono sul corpo stesso. Al di fuori dello strato limite il fluidi si comporta come irrotazionale e non viscoso e nessuna forza aerodinamica viene generata.
Strato limite
Cosa avviene dunque all’interno dello strato limite? E come sappiamo se siamo all’interno dello strato limite o al di fuori di esso?
Mettiamoci nel caso più generico possibile. Consideriamo un profilo alare, come visto nel post precedente, che si muova in un fluido ad una velocità $$V_{\inf}$$ come indicato in immagine sotto.
Vicino al bordo del profilo si viene a generare uno strato in cui la velocità non è costante. La velocità assume un valore nullo lungo il bordo del profilo e cresce man mano che ci si allontana dal profilo fino a raggiungere la velocità $$V_{\inf}$$ del flusso.
La distanza dal profilo a cui la velocità è uguale al 99% di $$V_{\inf}$$ è il limite superiore dello strato limite e viene indicato con $$\delta$$.
Il profilo di velocità nello strato limite assume una forma simile a quanto riportato sotto.
la velocità $$V(y)$$ varia con un certo profilo che dipende dalle condizioni che si vengono a creare intorno al corpo in oggetto.
Primo contributo alla resistenza
Lo strato limite genera uno sforzo tangenziale alla parete che dipende da due fattori; il coefficiente di attrito dinamico $$\mu$$, il gradiente di velocità alla parete. Per quanti vogliono vedere scritto tutto in formule possiamo definire lo sforzo tangenziale come
$$\tau_w = \mu (\frac{dV}{dy})_{y=0}$$
Dove $$y$$ rappresenta la distanza dal corpo.
Ed eccoci ad una svolta. Gli sforzi tangenziali che si generano sono sono nello strato limite alla parete è la prima forza di resistenza che si genera su un corpo e viene chiamata resistenza d’attrito (in inglese skin drag).
Lo strato limite che abbiamo descritto sopra si chiama strato limite laminare. Tutte le fettine di strato limite in questo frangente si muovono parallele tra di loro e non c’è alcuna interazione tra due diverse fettine di fluido nello strato limite.
Questa situazione cambia man mano che si prosegue lungo il corpo. Fettine adiacenti che si muovono a velocità diverse cominciano ad interagire in maniera sempre più marcata. Quello che alla fine avviene è che le fettine si mischiano e nel fluido nascono dei vortici. Questi vortici spingono il fluido da uno stato laminare (tutte le fettine si muovono in modo indipendente) ad uno turbolento (tutte le fettine si muovono in modo vorticoso). Il passaggio da uno stato all’altro viene detta transizione.
Il profilo di velocità nello strato limite turbolento cambia radicalmente ma sussiste una relazione tra stato laminare e turbolento
$$ (\frac{dV}{dy})_{y=0, lam} < (\frac{dV}{dy})_{y=0, turb}$$
per cui si ottiene che
$$\tau_{w,lam} < \tau_{w,turb}$$
Reynolds
Quali sono i parametri che maggiormente lo strato limite?
Tra i fattori sicuramente compare la densità dell’aria, all’aumentare della densità lo streto limite diviene più spesso. Effetto opposto comporta un aumento di velocità che tende ad assottigliare lo strato limite.
All’aumentare della distanza lungo la superficie lo strato limite diventa più spesso come mostrato nell’immagine sopra. Allo stesso modo accade per la viscosità dinamica ($$\mu$$) il cui incremento comporta un incremento dello spessore ello strato limite.
Tutti questi parametri possono essere combinati insieme in un unico numero adimensionale chiamato numero di Reynolds (abbreviato come Re). Il numero di Reynolds rappresenta una misura dell’importanza relativa tra le forze inerziali e quelle viscose ed è una misura di quanto importante sia l’attrito all’interno del campo di moto.
Bassi valori di Re indicano l’attrito è significativo; per alti valori di Re l’attrito è molto ridotto ma sussistono comunque forze aerodinamiche. Per gli aeroplani valori tipici del numero di Reynolds sono tra i 3 milioni e i 20 milioni.
Separazione
Un secondo concetto quando si studia lo strato limite è quello dei gradienti di pressione.
Un gradiente di pressione può essere positivo o negativo. I gradienti di pressione negativi vengono detti favorevoli in quanto tengono il flusso attaccato lungo il corpo. I gradienti di pressione positivi vengono detti avversi in quanto tendono ad allontanare il fluido dal corpo.
$$\frac{dP}{dx} < 0$$: Gradiente favorevole
$$\frac{dP}{dx} > 0$$: Gradiente avverso
Quello che avviene lungo i profili alari (in generale vale per ogni corpo che si muove in un flusso) è che lo strato limite non riesce a vincere grandi valori di gradiente di pressione avverso e quindi separa.
La separazione avviene quando il valore di $$\tau_w$$ va a zero. A questo punto avviene la separazione del fluido dalla superficie.
Un esempio di questa separazione si può osservare studiando il flusso intorno al cilindro come mostrato nell’immagine seguente.
Ovviamente se trascuriamo l’esistenza dello strato limite e consideriamo il flusso ideale in tutto il campo di moto non esiste separazione e il flusso resta sempre attaccato.
Quando parliamo di profili alari la separazione è altamente indesiderabile e si cerca di evitarla. Quando la separazione su un profilo avviene troppo presto si verifica un fenomeno molto sgradevole: lo stallo. Quando un profilo alare stalla esso perde la sua capacità di generare portanza. Nondimeno intorno ad un profilo alare possono esserci separazioni come mostrato nell’immagine sotto.
Perché la separazione è importante? Perché essa rappresenta il secondo contributo alla resistenza aerodinamica e viene generalmente chiamata resistenza di scia (o wake drag in inglese).
…Un breve riepilogo
Siamo partiti dicendo che nelle ipotesi di flusso ideale non sussistono forze aerodinamiche creando un paradosso con quanto osserviamo comunemente (paradosso di d’Alambert). Questo paradosso può essere superato con l’introduzione dello strato limite.
Lo strato limite rappresenta una regione di spazio vicino al corpo in cui la vorticosità del flusso è diversa da zero. Esso presenta un profilo di velocità variabile: zero alla parete, uguale alla velocità del flusso quando lo strato limite termina. Lo strato limite può essere di due tipi, laminare e turbolento.
Lo strato limite induce il primo contributo alla resistenza aerodinamica detto resistenza d’attrito (skin drag).
Lo strato limite ad un certo punto separa quando soggetto a gradiente di pressione avverso (gradiente positivo). La separazione comporta che vi sia un secondo contributo alla resistenza detto resistenza di scia (wake drag).
Per cui possiamo dire che la resistenza totale è la somma di due contributi e può essere espressa come
$$D = D_{skin} + D_{wake}$$
Infine va ricordato che questa aliquota della resistenza non dipende dalla portanza a differenza di quello che abbiamo visto nel post precedente per tanto essa sussiste sempre anche quando la portanza è nulla.
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