Riprendiamo dopo la pausa estiva la rubrica dedicata alle gare di matematica che, come qualcuno ricorderà, vuole presentare ai lettori (studenti, docenti, semplici curiosi ed appassionati di matematica…) alcuni argomenti “classici” delle olimpiadi della matematica. Il tutto cercando di utilizzare un linguaggio semplice e chiaro, senza pretesa di completezza ma con la sola voglia di stimolare ed incuriosire il lettore.

L’argomento che tratteremo in questo articolo riguarda il tema delle disuguaglianze. Trattandosi di un tema molto vasto, ci limiteremo per ora a presentare alcune disuguaglianze algebriche e il loro legame con le medie, cercando di fornire anche qualche utile suggerimento da tener presente nella risoluzione degli esercizi. Mi preme ringraziare fin da subito il Prof. Emanuele Callegari dell’università di Roma “Tor Vergata” in quanto parte del materiale da me utilizzato nel presente articolo è tratto dall’incontro da lui tenuto a Cesenatico nel 2010. A tutti buona lettura e… buon anno olimpico!

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Sia $x$ un numero reale. La più semplice disuguaglianza che possiamo scrivere, punto di partenza per successive considerazioni, è senza dubbio la seguente: $x^{2} \geq 0$, ove l’uguaglianza vale se e solo se $x=0$. Chiaramente anche la somma di due o più potenze con esponente $2$ rappresenta una quantità non negativa, vale a dire $\sum_{i=1}^n x^{2}_i \geq 0$. Più in generale, la somma di potenze con esponente pari è sempre una quantità non negativa.

Supponiamo che $x=a-b$, con $a>0$, $b>0$. La relazione $x^{2} \geq 0$ diventa $(a-b)^{2} \geq 0$, vale a dire $a^{2}+ b^{2}-2ab \geq 0$. Sommando ad entrambi i membri $4ab$, otteniamo che $a^{2}+ b^{2}+2ab \geq 4ab$, cioè $(a+b)^{2} \geq 4ab$. Dividendo infine per $4$ ed estraendo la radice quadrata del primo e secondo membro, si ottiene la relazione $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$. La quantità $\frac{a+b}{2}$ prende il nome di media aritmetica, abbreviata più semplicemente con MA, mentre $\sqrt{ab}$ prende il nome di media geometrica e viene abbreviata con MG. Effettuando il reciproco dei due membri della precedente disuguaglianza si ottiene $\frac{2}{a+b} \leq \frac{1}{\sqrt{ab}}$; moltiplicando tutto per la quantità (positiva) $ab$ e semplificando ove possibile, si giunge alla nuova relazione $\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab}$. Alla quantità $\frac{2ab}{a+b}$ viene dato il nome di media armonica (MH).

D’altro canto, partendo nuovamente dalla relazione $(a-b)^{2} \geq 0$, vale a dire $a^{2}+ b^{2} \geq 2ab$, è possibile sommare ad entrambi i membri la quantità $a^{2}+ b^{2}$ ottenendo $2(a^{2}+ b^{2}) \geq (a+b)^{2}$. Dividendo anche questa volta per $4$ si ottiene la relazione $\frac{a^{2}+ b^{2}}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^{2}$ da cui, estraendo la radice quadrata, risulta che $\sqrt{ \frac{ a^{2}+ b^{2} }{2}} \geq \frac{a+b}{2}$. All’espressione $\sqrt{ \frac{ a^{2}+ b^{2} }{2}}$ viene dato il nome di media quadratica e la indicheremo con MQ.

Quanto appena mostrato ci porta ad avere la seguente catena di disuguaglianze:

$$min(a,b)\leq \frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{ \frac{ a^{2}+ b^{2} }{2} } \leq max(a,b)$$

Vale a dire $min(a,b)\leq $ MH $\leq$ MG $\leq$ MA $\leq$ MQ $\leq max(a,b)$.

Se poi si decide di dividere ciascun termine della già citata relazione $a^{2}+ b^{2} \geq 2ab$ per $ab$, otteniamo la seguente disuguaglianza: $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$. Lasciamo al lettore la possibilità di dimostrare la stessa relazione a partire dalle disuguaglianze fra le medie (ad esempio, MG $\leq$ MQ). Di seguito mostriamo un esempio in cui viene applicata tale relazione.

Dimostrare che $\frac{ x^{2}+2 }{ \sqrt{ x^{2}+1 } } \geq 2$ per ogni $x$ reale.

Soluzione: l’esercizio può essere facilmente risolto applicando le classiche procedure algebriche sulle disequazioni irrazionali. In alternativa si può sfruttare la precedente disuguaglianza osservando quanto segue: $$\frac{ x^{2}+2 }{ \sqrt{ x^{2}+1 } } = \frac{ x^{2}+1+1 }{ \sqrt{ x^{2}+1 } }= \frac{ x^{2}+1 }{ \sqrt{ x^{2}+1 } }+ \frac{ 1}{ \sqrt{ x^{2}+1 } }= \sqrt{ x^{2}+1 } + \frac{1}{ \sqrt{ x^{2}+1 } } \geq 2$$

La catena di disuguaglianze fra medie calcolate per due soli valori positivi $a, b$ resta valida se applicata al caso generale con $n$ termini positivi (ovvero, ove possibile, non negativi), in cui le medie sono così definite:

MH = $\frac{n}{ \frac{1}{ x_{1}}+ \frac{1}{ x_{2}}+…+ \frac{1}{ x_{n}} }$

MA = $\frac{ x_{1}+ x_{2}+…+ x_{n} }{n}$

MG = $\sqrt[n]{ x_{1} x_{2}… x_{n}}$

MQ = $\sqrt{ \frac{ x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+…+x^{2}_{n} }{n}}$

Mostriamo di seguito alcuni esercizi dove si fa uso delle disuguaglianze fra le medie.

Dimostrare che $(x+2y)^{3} \geq 27x y^{2}$ per ogni $x, y\geq0$.

Soluzione: il fatto che al primo membro sia presente una somma di monomi e al secondo un prodotto, dovrebbe farci ipotizzare che possa essere usata in qualche modo la disuguaglianza fra MG e MA. In effetti il tutto può essere scritto come $(x+y+y)^{3} \geq 27xyy$, cioè $(\frac{x+y+y}{3} )^{3} \geq xyy$ da cui $\frac{x+y+y}{3} \geq \sqrt[3]{xyy}$. Quest’ultima relazione è vera in quanto esprime la disuguaglianza fra MG e MA.

Dimostrare che per ogni $a, b, c \geq0$ risulta $(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$.

Soluzione: esercizi di questo tipo richiedono una buona capacità di manipolazione della relazione assegnata. In particolare, lo svolgimento dei conti non porta quasi mai a nessun risultato apprezzabile. Si potrebbe pensare invece di dividere primo e secondo membro per $8$, ed in particolare ciascun fattore del primo membro per $2$. Inoltre il secondo membro può essere scritto come prodotto di tre radicali quadratici, vale a dire $\frac{a+b}{2}\cdot \frac{b+c}{2}\cdot \frac{c+a}{2} \geq \sqrt{ab} \cdot \sqrt{bc}\cdot \sqrt{ac}=abc$. La relazione è vera in quanto MA $\geq$ MG.

Dimostrare che $n!< ( \frac{n+1}{2})^{n}$ per ogni $n$ intero positivo, $n \geq 2$.

Soluzione: applichiamo la disuguaglianza fra MG e MA all’insieme $1,2,…,n$. Risulta $\sqrt[n]{1\cdot2\cdot…\cdot n} < \frac{1+2+…+n}{n}= \frac{ \frac{n(n+1)}{2} }{n}= \frac{n+1}{2}$. Elevando alla $n$ primo ed ultimo membro si dimostra quanto richiesto.

Determinare il più piccolo valore di $x_{1}+ x_{2}+…+ x_{n}$, con $x_{1}, x_{2}, …, x_{n}$ numeri reali positivi tali che $x_{1}x_{2}…x_{n}=1$

Soluzione: per la disuguaglianza fra MG e MA, risulta $1=\sqrt[n]{x_{1}x_{2}…x_{n}} \leq \frac{x_{1}+x_{2}+…+x_{n}}{n}$. Ne consegue che il valore minimo cercato è quello che verifica l’uguaglianza, vale a dire $ \frac{x_{1}+x_{2}+…+x_{n}}{n}=1$, cioè $x_{1}+x_{2}+…+x_{n}=n$.

Dimostrare che fra tutti i rettangoli aventi perimetro assegnato $2p$, quello di area massima è il quadrato.

Soluzione: indichiamo con $a, b$ i lati di un rettangolo, con $a+b=p$ il semiperimetro e si consideri il quadrato di lato un quarto del perimetro totale del rettangolo, vale a dire $\frac{p}{2}$. L’area del rettangolo è pari ad $ab$ mentre quella del quadrato ad esso isoperimetrico è pari a $\frac{ p^{2} }{4}$. Vogliamo dimostrare che $ab<\frac{ p^{2} }{4}$. Ma tale relazione può essere riscritta come $ab<\frac{ (a+b)^{2} }{4}= ( \frac{a+b}{2}) ^{2}$, cioè $\sqrt{ab} < \frac{a+b}{2}$. Quest’ultima disuguaglianza è vera per la relazione fra MG e MA, da cui ne discende la tesi.

Il fatto che problemi di massimo e minimo possano essere risolti facendo uso delle disuguaglianze fra medie è stato già affrontato in un articolo del luglio 2020, che può essere trovato qui.

Talvolta, all’interno di uno stesso quesito, può capitare di dover scomodare più di una disuguaglianza fra medie, come mostrato nel seguente esercizio.

Dimostrare che $8 x^{2} y^{2} \leq ( x^{2}+ y^{2}) (x+y)^{2}$

Soluzione: dalla disuguaglianza fra MG e MA discende che $\sqrt{xy} \leq \frac{x+y}{2}$ mentre dalla disuguaglianza fra MG e MQ discende che $\sqrt{xy} \leq \sqrt{ \frac{ x^{2}+ y^{2} }{2} }$. La tesi si ottiene a meno di moltiplicare fra loro i primi e i secondi membri, elevare ciascuno di essi al quadrato e moltiplicare tutto per $8$.

Quanto mostrato finora si tratta di esercizi che hanno richiesto l’utilizzo delle disuguaglianze fra medie. Il tema delle disuguaglianze è molto più vasto, non solo perché ne esistono molte altre (e.g. di Bernoulli, di Cauchy-Schwarz, ecc.) ma anche perché talvolta non serve ricorrere a formule generali ma, con un po’ di attenzione, possono bastare semplici considerazioni di carattere algebrico o geometrico, come mostrato nei seguenti esempi.

Dimostrare che non esistono interi positivi $a,b$ tali che $b^{2}+b+1= a^{2}$.

Soluzione: chiaramente, per l’ipotesi di positività fatta su $b$, risulta $b^{2}< b^{2}+b+1= a^{2}$. D’altro canto $b^{2}+b+1< b^{2}+2b+1= (b+1)^{2}$. Dal momento che $b^{2}$ e $(b+1)^{2}$ sono due quadrati consecutivi, non potrà esistere alcun quadrato $a^{2}$ fra di essi.

La notazione $n!^{(k)}$ sta ad indicare che il fattoriale di $n$ va eseguito $k$ volte. A titolo di esempio, $n!^{(3)}$ significa $((n!)!)!$. E’ più grande $1999!^{(2000)}$ oppure $2000!^{(1999)}$?

Soluzione: bisogna tener presente che la funzione $n!$ è crescente al crescere di $n>0$. Accade così che se $1 \leq n<m$, allora $n!<m!$. Risulta $1999!>2000$ da cui $(1999!)!>2000!$, $((1999!)!)!>(2000!)!$, … , $1999!^{(2000)}> 2000!^{(1999)}$.

Dimostrare che $\int_0^ \frac{ \pi }{2} e^{sinx} dx \geq \frac{ \pi }{2}(e-1)$.

Soluzione: noto il grafico della funzione $y=sinx$ e alla luce del fatto che tale funzione rivolga la concavità verso il basso nell’intervallo $[0,\frac{ \pi }{2}$], si osserva come $sinx\geq \frac{2}{ \pi } x$ in tale intervallo. Pertanto $\int_0^ \frac{ \pi }{2} e^{sinx} dx \geq \int_0^ \frac{ \pi }{2} e^{ \frac{2}{ \pi }x } dx= \frac{ \pi }{2} [ e^{\frac{2}{ \pi }x} ]_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } = \frac{ \pi }{2}(e-1)$.

Quest’ultimo esercizio non può certo definirsi un classico quesito delle gare, in quanto gli integrali non compaiono praticamente mai. Lo si ritiene comunque istruttivo poiché mostra come sia possibile utilizzare le disuguaglianze anche all’interno di esercizi più scolastici, come peraltro già osservato in precedenza per i problemi di massimo e minimo.

Concludiamo con una domanda. Ma che c’entra Robin Hood in tutto ciò?

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Per chi di noi è un po’ più “arrugginito” in fatto di racconti e letteratura britannica, ricordiamo che Robin Hood era un nobile decaduto e un brillante arciere che, all’interno della Contea di Nottingham, rubava ai ricchi per dare ai poveri. L’ultimo esercizio che vogliamo mostrare lo dedicheremo a lui e pertanto, scherzosamente, parleremo di “disuguaglianza di Robin Hood”.

Supponiamo di avere due quantità $a,b$ positive, con $a>b$ e se ne consideri il prodotto $ab$. Per massimizzare tale prodotto conviene aggiungere una certa quantità positiva $x$ ad $a$ sottraendola da $b$ o viceversa? Nel primo caso otteniamo $(a+x)(b-x)=ab+x(b-a)-x^{2}$, con il secondo e terzo termine evidentemente negativi. Nel secondo caso risulta invece $(a-x)(b+x)=ab+x(a-b)-x^{2}$ con solo il terzo termine negativo. In particolare, se $x\leq a-b$ risulta $ab+x(a-b)-x^{2}\geq ab$, si va cioè a guadagnare sulla quantità di partenza $ab$. Immaginiamo ora di considerare la disuguaglianza $a>b$ come una differenza in termini economici fra due persone o fra due ipotetici paesi $a$ e $b$ (con il primo più ricco del secondo), mentre il prodotto $ab$ supponiamo che esprima in qualche modo la ricchezza totale dei due individui (o un qualsiasi altro indicatore del livello di benessere dei due soggetti). Le semplici considerazioni svolte sul segno dei termini nelle precedenti espressioni algebriche portano a concludere che è meglio togliere al “ricco” $a$ per dare al “povero” $b$ affinché a giovarne sia l’intera società. Ancora una volta la matematica ci dimostra quanto essa sia per l’uguaglianza e la parità fra le persone, e lo fa in modo semplice e brillante, a partire proprio dal tema delle… disuguaglianze!

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