Pubblichiamo questo interessante contributo di Francesco Polizzi, professore associato di Geometria presso il Dipartimento di Matematica e Informatica dell’Università della Calabria.
Tre dimostrazioni sull’irrazionalità di $\sqrt 2$
La scoperta dell’incommensurabilità fra la diagonale di un quadrato e il suo lato è tradizionalmente attribuita alla scuola Pitagorica (sesto secolo avanti Cristo).
Apparentemente, gli antichi furono profondamente turbati da questo fatto: anche se non vi sono fonti precise a riguardo, la tradizione narra che Ippaso di Metaponto fu addirittura ucciso per avere divulgato quello che doveva restare un segreto della scuola [4].
In linguaggio moderno, il risultato si enuncia solitamente come segue:
Teorema. Non esiste nessun numero razionale q tale che $$q^2 = 2$$.
Vogliamo presentare tre dimostrazioni di questo teorema. La prima è quella classica per assurdo, basata su considerazioni di parità e sul principio di fattorizzazione unica degli interi. Le altre due si basano invece su una tecnica diversa, detta della “discesa infinita”, che consiste nell’applicare un procedimento di induzione discendente per ottenere una contraddizione con il principio di buon ordinamento degli interi positivi.
LA PRIMA DIMOSTRAZIONE: QUELLA CLASSICA
La dimostrazione classica è contenuta negli Elementi di Euclide [Libro X, proposizione 117] ed è quella che si trova più frequentemente nei testi di Analisi Matematica, si veda ad esempio [1, Capitolo 1].
Supponiamo per assurdo che esista una frazione $$q=\frac{a}{b}$$ ridotta ai minimi termini e tale che $q^2=2$, cioè $a^2=2b^2$. Ciò mostra che $a^2$ è pari e dunque $a$ è pari; pertanto, esiste un intero $k$ tale che $a=2k$. Sostituendo in $a^2=2b^2$, ricaviamo $2k^2=b^2$.
Questo mostra che $b^2$ è pari, e dunque $b$ è pari. Ma allora $a$, $b$ sono entrambi pari, contro l’ipotesi iniziale che la frazione $\frac{a}{b}$ fosse ridotta ai minimi termini.
Una variante di questo argomento è la seguente: siccome $a^2=2b^2$, il fattore primo $2$ deve comparire con molteplicità pari nel termine a sinistra dell’uguaglianza e con molteplicità dispari in quello a destra, contro il principio di fattorizzazione unica degli interi.
Notiamo che lo stesso ragionamento implica che, se $s$ è un intero che non è un quadrato perfetto, allora non esiste nessun razionale $q$ con $q^2=s$.
Questo fatto era già noto a Teodoro di Cirene (quinto secolo avanti Cristo), che lo aveva dimostrato tramite la sua famosa spirale formata da triangoli rettangoli posti ognuno con l’ipotenusa sovrapposta al cateto maggiore del seguente (Figura 1).
Nel dialogo “Teeteto”, Platone si chiede per quale ragione Teodoro si sia fermato al triangolo di ipotenusa $\sqrt{17}$; si ritiene che il motivo sia che quello è l’ultimo triangolo per cui la figura non presenta sovrapposizioni [5].
Figura 1: La sprirale di Teodoro (fonte Wikipedia)
La seguente dimostrazione geometrica, che procede per assurdo tramite un argomento di discesa infinita, è attribuita in [2] a Tom M. Apostol.
Si consideri un triangolo rettangolo isoscele come in Figura 2, e si tracci la circonferenza di centro il vertice in alto e raggio il cateto verticale.
Allora i tre segmenti marcati con doppio trattino hanno eguale lunghezza (si noti che due di essi sono segmenti di tangente condotti dallo stesso punto alla circonferenza), in particolare il triangolo piccolo è anche esso rettangolo isoscele.
Se il triangolo di partenza avesse tutti e tre i lati di misura intera, lo stesso sarebbe vero per il triangolo piccolo, in quanto sia il suo cateto che la sua ipotenusa sarebbero differenza di due segmenti avente misura intera.
Possiamo ora ripetere il procedimento per il triangolo piccolo, e così via. Considerando le ipotenuse (o i cateti) dei triangoli così costruiti, otteniamo una successione strettamente decrescente e infinita di interi positivi, il che è assurdo.
FIGURA 2. La dimostrazione geometrica di Apostol (fonte [2]).
LA TERZA DIMOSTRAZIONE: QUELLA ALGEBRICA PER DISCESA INFINITA
Questa dimostrazione si basa anch’essa su un procedimento di discesa infinita, e può essere considerata come una versione algebrica di quella di Apostol.
L’argomento è presentato, ad esempio, in [3], ma non conosco la fonte originale. Supponiamo che esista un numero razionale $q=\frac{a}{b}$ tale che $q^2=2$, e consideriamo l’insieme
$$A=\left\{n \in \mathbb{N} \;\; | \;\; nq \in \mathbb{N}\right\}.$$
Si noti che $A$ è sicuramente non vuoto, dato che esso contiene $b$. Se $k \in A$, siccome
$$k(q-1)\cdot q = kq^2-kq =2k-kq \in \mathbb{N},$$
segue che $k(q-1) \in A$. D’altra parte, $q^2=2$ implica $0<q<2$, e quindi $k(q-1)<k$. Ripetiamo ora il procedimento prendendo $k(q-1)$ al posto di $k$, e così via. In tal modo, possiamo costruire una successione strettamente decrescente e infinita di elementi di $A$, assurdo in quanto $A$ è un sottoinsieme di $\mathbb{N}$.
Un ragionamento equivalente consiste nel prendere come $k$ il minimo di $A$, che esiste per il principio di buon ordinamento degli interi positivi, e ottenere una contraddizione dal fatto che $k(q-1) <k$, vedi Figura 3.
Figura 3 (fonte: https://theapproximatepresent.tumblr.com/ )
Riferimenti bibliografici
[1] M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: Analisi matematica 1, Zanichelli 2008.
[2] Answer by Hans-Peter Stricker to MO8846, see https://mathoverflow.net/questions/8846/proofs- without- words
[3] https://theapproximatepresent.tumblr.com/post/51484587425/a-favourite-proof-of-mine-first-demonstrated-to
[4] K. Von Fritz: The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum, Annals of Mathematics 46, No. 2 (1945), 242–264.
[5] https://en.wikipedia.org/wiki/Spiral_of_Theodorus
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