Sono le ore 23.05 di venerdì 8 aprile. Vibra il cellulare appoggiato sul comodino accanto al mio letto. Vado per controllare di cosa si tratta: è il consueto report giornaliero di notizie inviate da Orizzonte Scuola, un portale specializzato nella divulgazione di news ed informazioni riguardanti il mondo della scuola. Scorro velocemente la mail, la giornata è stata intensa e non ho molta voglia di sottrarre del tempo al riposo notturno. D’altro canto, poco più di due anni fa ho intrapreso un dottorato di ricerca in matematica, attualmente sono in aspettativa dal mio lavoro di docente e quindi la lettura delle ultime notizie sul mondo della scuola è cosa meno impellente. Nonostante ciò, sono curioso di capire cosa sia accaduto nelle ultime 24 ore (docenti condannati per aver richiamato qualcuno in classe? Genitori che inveiscono contro questo o quel professore? Studenti virtuosi convocati da qualche università straniera? Un nuovo modello di banco o di LIM per le nostre aule? Chissà…).

Una notizia mi balza subito agli occhi. Leggo il seguente titolo: Concorso ordinario secondaria, la denuncia dei candidati A047: “Calcoli sulla mano. Tanti bocciati e disparità uso carta e penna”. L’articolo, che trovate qui, parla delle vicissitudini accadute il giorno prima a tanti aspiranti insegnanti di una classe di concorso a me poco nota, ma che non è poi così dissimile da quella in cui sono abilitato, vale a dire la A027 (matematica e fisica). Vengo così a sapere dei grossi problemi che ci sono stati durante lo svolgimento dei quiz, con diverse procedure adottate dalle diverse commissioni sparse in giro per l’Italia e con una presunta difficoltà dei quesiti da risolvere senza l’uso di carta e penna.

Potrei ignorare la faccenda, visto che alla fine a me non tange minimamente. Ma il ruolo di “docente – ricercatore” che rivesto in questo momento mi impone di cercare di capirne qualcosa di più. Così nei giorni successivi mi iscrivo a due gruppi facebook e a due gruppi Telegram in cui coloro che hanno preso parte al concorso per l’A047 (Scienze matematiche applicate) si confrontano su quanto accaduto. Leggo i commenti. Non scrivo mai all’interno dei suddetti gruppi, preferisco fare da spettatore ed ascoltare cosa viene detto e quali perplessità vengono sollevate. Mi faccio così un’idea – senza dubbio parziale e incompleta – della situazione. In quanto membro della redazione di questo blog, penso sia una buona idea provare a mettere “nero su bianco” alcune riflessioni sparse che mi passano per la testa, consapevole che su un tema così spinoso può essere detto tutto e il contrario di tutto, e che ciascuno può avere la sua legittima opinione.

Va detto innanzitutto che non credo a chi sostiene tesi complottistiche, del tipo che il ministero ha volutamente creato una prova difficile per bocciare quanti più aspiranti possibili e mantenere su un precariato che, a dire di alcuni, porta giovamenti allo stato (e alle sue casse) più che svantaggi.

Se l’interesse fosse stato quello di non assumere, avrebbero potuto evitare di bandire un concorso, o limitarsi a pochissime classi di concorso, riducendo così anche le spese che la stessa procedura, con tutta la sua macchina burocratica e organizzativa, comporta.

Inoltre il fatto che l’A047 non compaia nella lista di insegnamenti per i quali è stata bandita un’apposita procedura di selezione (e.g. i cosiddetti “concorsi STEM”, dove STEM è un acronimo che sta per Science, Technology, Engineering e Mathematics), mi fa immaginare che non tutte le materie scientifiche e tecnologiche presentano un elevato numero di posti vacanti e disponibili. Oltre all’A047, è il caso dell’A060 (Tecnologia nella scuola secondaria di I grado), anch’essa a mio avviso appartenente al mondo delle STEM eppure non coinvolta nelle procedure straordinarie di reclutamento. In effetti, controllando un po’ in rete, mi imbatto nel DPR 19/2016 e nel DM 259/2017 e scopro che ad accedere alla classe di concorso A047 possono essere non solo matematici e fisici, ma anche ingegneri, statistici e laureati in economia senza particolari vincoli sui crediti (a differenza di quanto richiesto, ad esempio, per l’A026 e l’A027) e gli indirizzi di studio in cui è richiesto il possesso di una simile abilitazione sono relativamente pochi (liceo scientifico opzione scienze applicate, istituti tecnici ad indirizzo economico e professionali – servizi settore, industria e artigianato), quindi si tratta di un tipo di insegnamento poco diffuso all’interno dell’ordinamento scolastico e, pertanto, probabilmente poco richiesto.

La polemica che infuria maggiormente sui social riguarda il diverso trattamento, da sede a sede, circa la possibilità di utilizzare carta e penna. In alcune (poche) sedi ne è stato permesso l’uso, in altre (la maggior parte) è stato vietato.

Mi sento su questo in dovere di spezzare una lancia a favore dei candidati: non ci trovo nulla di male che ad un concorso sia permesso l’uso di questi strumenti, anche perché la matematica, più che altre discipline, si presta ad essere svolta per iscritto (quale docente di discipline STEM accetterebbe di insegnare in un’aula priva di lavagna?).

Ad ogni modo ritengo di fondamentale importanza che, qualunque sia la scelta degli uffici preposti, candidati che concorrono per la stessa classe di concorso abbiamo le stesse opportunità: o viene data a tutti carta e penna, o non viene data a nessuno.

Il Decreto n. 23 del 5 gennaio 2022, all’articolo 3 comma 7 afferma che “Durante lo svolgimento della prova i candidati non possono introdurre nella sede di esame carta da scrivere, appunti, libri, dizionari, testi di legge, pubblicazioni, strumenti di calcolo, telefoni portatili e strumenti idonei alla memorizzazione o alla trasmissione di dati, salvo diversa indicazione della commissione nazionale di esperti“.

Il divieto dunque sembrerebbe riguardare la possibilità che alcuni strumenti, come la carta, vengano introdotti dall’esterno (a meno di diversa disposizione della commissione nazionale), ma non dice nulla circa la possibilità che gli stessi vengano forniti ai candidati da parte delle singole commissioni locali, per intenderci quelle presenti in ciascuna scuola sede d’esame. D’altro canto, come termine di paragone si potrebbe pensare a quel che accade in altre prove, come ad esempio agli scritti degli esami di stato: agli studenti è fatto divieto di usare carta propria ma possono usare fogli protocollo debitamente timbrati, siglati e consegnati dalla commissione.

Altro tema spinoso riguarda l’attinenza delle domande al programma e la complessità delle stesse; alcuni poi ipotizzano che siano presenti quesiti con all’interno degli errori, problematica del resto già emersa con altre classi di concorso.

Attendo qualche altro giorno dallo svolgimento della prova e finalmente sui social iniziano a circolare i 50 quiz assegnati. Sono curioso.

Mi diverto quindi a risolverli e ad analizzarli a fondo, tenendo sotto mano il programma previsto (Allegato A del DM 326/2021).

La prima impressione è che ci sia una buona corrispondenza con la prova. Non condivido, ad esempio, la critica che “in un esercizio è presente l’arcotangente, ma nel programma non si parla di goniometria”.

Se è vero che tale argomento non è esplicitamente citato, nel programma si parla in modo generico di “funzioni”, senza distinzione di sorta, e pertanto l’arcotangente vi rientra in quanto appartenente alla famiglia di funzioni goniometriche. Inoltre trovo che la scelta degli argomenti non sia male. Resto convinto che un esercizio, a titolo di esempio, sulle serie di Fourier o di geometria differenziale, di statistica metodologica o un problema di optimum paretiano, argomenti a me del tutto sconosciuti o dei quali ho solo vaghe reminiscenze ma presenti nel programma per l’A047, avrebbero creato molte più difficoltà rispetto a svolgere un limite o un quesito di geometria euclidea. Certo, confesso che almeno 5-6 quesiti mi mettono in difficoltà senza l’uso della carta e penna, in particolare un paio di geometria, senza considerare che nello svolgimento dei quiz non ho la tensione di chi deve sostenere un concorso ufficiale, ma nel complesso ritengo che la prova sia non banale ma affrontabile.

Alcuni concorrenti lamentato il fatto che ci sono degli esercizi che potevano essere fatti solo con la calcolatrice. Tra questi, viene citato il seguente quesito:

Siano $M$ e $C$ il montante e il capitale iniziale in un regime di capitalizzazione composta. Sapendo che $M = (1,21)^{6} C$ e che il periodo di investimento è di 4 anni, allora il tasso di interesse è:

a) $i=30%$

b) $i=46,41%$

c) $i=33,1%$

d) $i=21%$

Non sono un esperto di matematica finanziaria, lo confesso. Ma… possibile che sia stato inserito un esercizio per il quale è richiesto uno strumento di calcolo vietato dalla normativa? Mi piace credere nella buona fede degli estensori della prova. Provo a risolverlo…

Se il regime è di capitalizzazione composta, allora $M= C(1+r)^{t}$ da cui, per il valore assegnato di $M$ ed essendo $t=4$, semplificando $C$ risulta $(1+r)^{4} = (1,21)^{6}$, cioè $1+r = \sqrt[4]{(1,21)^{6} }$, da cui $1+r = 1,21 \cdot \sqrt[4]{(1,21)^{2}} = 1,21 \cdot \sqrt{1,21} $. Inizio ad apprezzare la scelta dei valori: se la radice quadrata di 121 è 11, la radice quadrata di 1,21 è 1,1, e il prodotto di 1,21 per 1,1 è di facile esecuzione anche a mente. Dunque $r = 1,21 \cdot 1,1$$- 1 = 1,331 – 1 = 0,331$. La risposta corretta è pertanto la c).

Leggo anche questo esercizio:

Indicare la risposta corretta. Il massimo comune divisore della coppia di numeri naturali 8687 e 1679

a) è un numero pari

b) è uguale al massimo comune divisore tra 7008 e 1679

c) è un multiplo di 25

d) è dispari ed è un multiplo di 3

I numeri non sono dei più semplici ma… la calcolatrice non serve! Sicuramente un divisore comune di 8687 e 1679, massimo o non massimo che sia, non può essere un numero pari (i due valori sono entrambi dispari), non può essere un multiplo di 25 (i due valori non sono divisibili per 5, ancor meno per 25) e non può essere un multiplo di 3 (i due valori non sono divisibili per 3). Insomma, senza perdere tempo a fare conti, confidando nella bontà del quesito e nel fatto che ci sia una ed una sola risposta corretta, la soluzione non può che essere la b). Procedere per esclusione potrebbe non essere una strada elegante, ma in questo caso è stata senza dubbio veloce e vincente.

Un esercizio su tutti mi incuriosisce. Nei giorni successivi al concorso viene additato come sbagliato “quell’esercizio che contiene il $k=5$ e $k=-5$”, per il quale vengono ipotizzate due risposte entrambe corrette. Lo trovo nella lista e provo subito a farlo:

Sia $k$ un numero reale. Considera il seguente sistema lineare a coefficienti reali, nelle indeterminate $x$ e $y$:

$$\begin{cases} x + 3y = 7 \\ 5x – 3ky = 1\end{cases}$$

Indica la risposta corretta tra le seguenti opzioni.

a) il sistema non ha soluzioni se e solo se $k=-5$.

b) il sistema ha infinite soluzioni se e solo se $k=-5$.

c) il sistema ha infinite soluzioni se e solo se $k=5$.

d) il sistema ha un’unica soluzione se e solo se $k=5$.

Ricordo la “regola” relativa al rapporto tra i coefficienti della $x$, della $y$ e dei termini noti di un sistema lineare ridotto in forma normale per comprendere se tale sistema è determinato, indeterminato o impossibile. In questo caso il rapporto tra i coefficienti della $x$ è $\frac{1}{5}$, tra i coefficienti della $y$ è $- \frac{1}{k}$ mentre tra i termini noti è 7. A questo punto è chiara la risposta: se $k=-5$ i coefficienti delle $x$ e delle $y$ hanno lo stesso rapporto, che però è diverso da quello dei termini noti: il sistema è impossibile e l’affermazione corretta è la a). La d) in effetti potrebbe trarre in inganno: se $k=5$ il sistema è determinato (e ammette un’unica soluzione), ma se ammette un’unica soluzione non è detto che $k$ debba necessariamente essere pari a 5, ma può essere un qualunque valore reale $\neq -5$. Un bell’uso della doppia implicazione!

Continuo a scorrere i quesiti. Uno di quelli che mi spaventa di più, quanto meno perché non sono un esperto di probabilità, è il seguente:

In una scuola il 30% dei docenti ha meno di 40 anni, il 50% ha tra 40 e 55 anni e il restante 20% ha più di 55 anni. Si sa che insegnano matematica il 20% di coloro che hanno meno di 40 anni, il 30% di coloro che hanno tra 40 e 55 anni e il 10% di coloro che hanno più di 55 anni. La probabilità che un docente scelto a caso sia un insegnante di matematica è:

a) 0,23

b) 0,28

c) 0,20

d) 0,25

Provo a sintetizzare. Chiamo $E =$ “Un docente scelto a caso è un insegnante di matematica”, $E_{1}=$ “Un docente scelto a caso ha meno di 40 anni”, $E_{2}=$ “Un docente scelto a caso ha tra 40 e 55 anni” e $E_{3}=$ “Un docente scelto a caso ha più di 55 anni”. Allora $$P(E) = P(E|E_{1})P(E_{1}) + P(E|E_{2})P(E_{2}) + P(E|E_{3})P(E_{3})$$ da cui $0,3 \cdot 0,2 + 0,5 \cdot 0,3 + 0,2 \cdot 0,1 = 0,06 + 0,15 + 0,02 = 0,23$. La risposta corretta è la a).

Mi imbatto nei quesiti di analisi. Mi colpiscono in particolare i limiti. Gli esercizi, a prima vista, sembrano “tosti”…

Il limite $\lim_{n \rightarrow + \infty } \frac{n! sen(2 \pi n) + \sqrt{n} }{n + 2022}$, per $n \in N$:

a) non esiste

b) vale più infinito

c) vale 0

d) vale 1

Osservo il testo del quesito. Il fattore $sen(2 \pi n)$, proprio per la presenza del $2 \pi$, vale esattamente zero qualunque sia $n$, e pertanto vale zero tutto il termine $n! sen(2 \pi n)$. A questo punto basta ragionare sulla gerarchia degli infiniti per poter subito affermare che la risposta corretta è la c).

Consideriamo invece il seguente quesito:

Il valore del limite $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{6x – x^{3} – 6sen(x)}{ x^{5} }$, per $x$ reale, è:

a) -1/20

b) -1

c) 1/6

d) infinito

Si tratta di una forma indeterminata 0/0. Decido di procedere mediante il teorema di de l’Hopital: $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{6x – x^{3} – 6sen(x)}{ x^{5} } =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{6 – 3x^{2} – 6cos(x)}{ 5x^{4} } = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-6x + 6sen(x)}{ 20x^{3} } = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-6 + 6cos(x)}{ 60x^{2}} =$$ $$=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-6sen(x)}{120x} = -\frac{1}{20}\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sen(x)}{x} = -\frac{1}{20} .$$ La risposta corretta è la a).

Applicare de l’Hopital per quattro volte, soprattutto se fatto a mente, è cosa non certo banale. Un occhio attento potrebbe osservare che, sfruttando lo sviluppo di Taylor – Mc Laurin del seno ($sen(x) = x – \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + o(x^{5})$) la soluzione è immediata.

Gli esercizi che però più mi appassionano sono quelli di geometria. Mi ci butto a capofitto. Ne riporto qui un paio.

Un rettangolo ha la base lunga $\sqrt{13}$ cm e l’altezza lunga $2\sqrt{3}$ cm. Il perimetro del quadrilatero avente per vertici i punti medi dei quattro lati del rettangolo è:

a) 10 cm

b) 20 cm

c) $(\sqrt{3} + \sqrt{13})$ cm

d) $4\sqrt{ \frac{13}{2} }$ cm

Provo ad immaginarmi la configurazione descritta. Il quadrilatero in questione è un rombo avente diagonali della lunghezza pari alle dimensioni del rettangolo. Allora, se un lato del rombo, per Pitagora, è pari a $\sqrt{(\frac{\sqrt{13}}{2})^{2} + (\frac{2\sqrt{3}}{2})^{2}} = \sqrt{\frac{13}{4} + 3} =\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$, il perimetro è pari a $\frac{5}{2} \cdot 4 = 10$ cm. La risposta corretta è la a).

Ma perché il quadrilatero è un rombo? Uno dei modi per osservarlo è che ciascun lato, per Talete, è parallelo ad una diagonale del rettangolo e uguale alla sua metà. E visto che le diagonali del rettangolo sono uguali, allora i lati del quadrilatero sono non solo a due a due paralleli, ma tutti e quattro uguali fra loro. Inoltre quanto osservato ci permette di trovare una seconda soluzione al quesito: il perimetro del rombo è pari al doppio di una diagonale del rettangolo, vale a dire $2\sqrt{(\sqrt{13})^{2} + (2\sqrt{3})^{2}} = 2\sqrt{13 + 12} = 2 \cdot 5 = 10$ cm.

Più difficile da risolvere senza carta e penna il seguente quesito di geometria, che ho trovato però molto interessante:

Si consideri un triangolo equilatero $ABC$ tale che la lunghezza del suo lato sia $2 \sqrt{3}$. Si indichi con $CH$ l’altezza rispetto al lato $AB$, e si prolunghi $CH$, dalla parte di $C$, di un segmento $CP$ della stessa lunghezza dei lati di $ABC$. La distanza fra il circocentro e il baricentro del triangolo $ABP$ è pari a:

a) $\sqrt{3} – \frac{2}{3}$

b) $2 – \frac{2}{3}\sqrt{3}$

c) $2(\sqrt{3}-1)$

d) $\frac{2-\sqrt{3}}{3}$

Osservando (o immaginando?) la figura, si intuisce subito che il punto $C$, per le ipotesi a disposizione, è equidistante da $A$, da $B$ e da $P$ e quindi coincide con il circocentro del triangolo $ABP$. L’altezza $CH$ del triangolo equilatero $ABC$ è banalmente pari a $2\sqrt{3} \cdot sen60° = 3$, pertanto $PH = 2\sqrt{3} + 3$. Il baricentro $G$ è situato a $\frac{2}{3}$ della lunghezza della mediana $PH$ a partire dal vertice $P$, cioè $PG = \frac{2}{3}(2\sqrt{3}+3) = \frac{4}{3}\sqrt{3} + 2$ da cui la distanza cercata è pari a $CG = \frac{4}{3}\sqrt{3} + 2 – 2\sqrt{3} = 2 – \frac{2}{3}\sqrt{3}$. La risposta corretta è la b).

Figura 1

Concludo con alcune considerazioni sparse e del tutto personali. Si è trattato di una prova difficile? A mio avviso è stata una prova non banale ma non la definirei difficile (va detto però che il sottoscritto si è cimentato a risolverla senza alcuna “ansia da prestazione”…). Inoltre ho apprezzato molto lo spessore e l’originalità, senza perdere in fattibilità, di alcuni quesiti. Ma, si sa, è questione di gusti e.. de gustibus non disputandum est!

Il Ministero avrebbe dovuto produrre una prova ancor più facile? In fin dei conti, come suggeriva qualcuno, gli aspiranti docenti di questa classe di concorso vanno poi ad insegnare a tecnici e professionali, dove spesso (e purtroppo) la matematica non è valorizzata come dovrebbe. Non credo però che questa sia una buona ragione per banalizzare le prove di un concorso. Non si tratta di presentare ai candidati una verifica di un livello “scolastico” o comunque “elementare”, ma dei quesiti adatti al contesto e rivolti ai docenti, i quali dovrebbero possedere competenze e abilità che vanno oltre la semplice conoscenza degli argomenti usualmente proposti a scuola.

I quesiti erano infattibili senza carta e penna? Sicuramente l’assenza di questi strumenti ha penalizzato molti e ha reso alcuni esercizi piuttosto difficili, ma forse con una buona preparazione la prova si sarebbe potuta superare. Resta il fatto che la differenza di procedure da sede a sede ha lasciato l’amaro in bocca a molti, ed una piena uniformità nazionale nelle procedure è cosa quanto mai auspicabile per dare serietà e spessore alla selezione.

Il fatto invece che sia stata superata (stando ai primi dati che circolano in rete) da circa l’1% dei candidati apre nella mia testa molti interrogativi ai quali non so dare una risposta. E’ stato solo un problema di mancato uso di carta e penna e/o di presunta difficoltà degli esercizi? La prova è stata un po’ sottovalutata da alcuni candidati, forse non tutti sufficientemente preparati? Il fatto che la posta in gioco fosse alta ha contribuito ad aumentare l’ansia e la tensione nei candidati, giocando loro un brutto scherzo? O forse è proprio il tipo di prova, a quiz e con pochissimo tempo per rispondere, che non permette di valutare pienamente le capacità dei candidati, molti dei quali con esperienza di insegnamento e quindi non completamente a digiuno sugli argomenti proposti? Probabilmente, come spesso accade, la “colpa” di una simile débâcle non è imputabile ad un solo fattore, ma è il concorrere di più elementi che hanno portato a dei risultati deludenti. Quanto accaduto, dovrebbe far riflettere sulla necessità di una formazione costante dei docenti, siano essi in entrata o già di ruolo, sia in termini di didattica generale che disciplinare, nonché sulla necessità di rivedere le procedure concorsuali e i meccanismi volti all’inserimento di nuovo personale all’interno della scuola. Dunque un’opportunità mancata per molti; resta la speranza che le prove delle rimanenti classi di concorso STEM, fissate per i primi di maggio, possano portare ad una seria ma effettiva individuazione di nuovi docenti da stabilizzare.

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