Una fase fondamentale del lavoro di uno scienziato è la cosiddetta analisi dei dati. Questa fase consiste nell’analizzare i risultati ottenuti a seguito di un esperimento o di una raccolta dati.
Questo post si può considerare una sorta di articolo di servizio perché ad esso rimanderemo ogni volta che parleremo di rappresentazioni grafiche e simili.
Pur essendo vero che i dati non si raccolgono quasi mai alla cieca (un qualunque scienziato, sotto sotto, ha delle ipotesi nella testa), è certo che uno sterminato elenco di numeri non è la cosa a cui un normale uomo sia abituato. In altre parole, salvo eccezioni, da un sequenza molto lunga di cifre inserite in un tabella non si “vede” a colpo d’occhio una relazione che leghi questi valori fra loro.
Per questo motivo i dati vengono rappresentati per mezzo di grafici. Il cervello umano è molto più abituato a individuare relazioni all’interno di queste rappresentazioni piuttosto che in elenchi o tabelle.
Tutti coloro i quali fanno della “matematica applicata” un lavoro utilizzano quasi quotidianamente lo strumento dei grafici.
Un po’ di storia dei grafici
Nel sito Datavis.ca potrete trovare, ordinate cronologicamente, tutte le tipologie di grafici (non solo quelli strettamente matematici ma anche mappe cartografiche e simili) considerati “pietre miliari” dell’utilizzo di questo tipo di rappresentazioni.
Timeline delle diverse tipologie di grafici introdotti nella storia (tratto dal sito http://www.datavis.ca/ )
Particolarmente interessante è il primo esempio di grafico per le previsione meteorologiche che inseriamo qui di seguito.
Primo esempio di grafico per le previsioni meteorologia
Storicamente ancora più importante, secondo quando riporta un articolo tratto dal sito citato in precedenza, è il primo esempio in assoluto di rappresentazione statistica della variazione nel determinare la longitudine fra Toledo e Roma.
Tipologie di grafici
Dal punto di vista strettamente matematico, lo sanno anche i muri di tutte le scuole del mondo, fondamentale è stata l’introduzione degli assi cartesiani (il buon René Descartes sarà probabilmente immortale per questo più che per la sua filosofia).
Un punto in un piano cartesiano è descritto dalle sue coordinate (x,y) come nella figura seguente ricavata come esempio da wikipedia:
Esempio di piano cartesiano
Particolarmente utile a volte è la rappresentazione nelle cosiddette coordinate polari in cui per individuare un punto è necessario specificare non più le x e le y (e z se siamo in tre dimensioni) ma distanza r dall’origine ed un angolo ( o due se siamo in tre dimensioni).
Esempio di rappresentazione delle coordinate polari nel piano
Esempio di sistema in coordinate polari in tre dimensioni
La cosa interessante è che alcune curve che hanno un formula “complicata” in un sistema di riferimento, diventano estremamente semplici in un altro.
Per esempio la spirale di Archimede rappresentata dal grafico che mostriamo qui di seguito nel post, è descritta dalla seguente semplice formula in coordinate polari:
$$ r(\theta) = a+b \theta $$
Spirale di Archimede
Scala logaritmica
Un trucco che usano gli scienziati ogni volta che i dati variano su scale molto diverse, è quello di trasformare la scala in modo da “rimpicciolire ” queste differenze. Per realizzare ciò si rappresentano i dati in scala logaritmica.
La scala logaritmica si usa proprio per la proprietà di “accorciare” le distanze. Per chi conosce il concetto di logaritmo la proprietà è nota; a chi non lo conosce o non lo ricorda, possiamo dire che il logaritmo in una certa base di un numero è l’esponente a cui si deve elevare la base per ottenere l’argomento. Il logaritmo in base 10 di 10( in simboli log 10), è 1 poiché 10^1=1.
Continuando così si ottiene che
$$ \log (10000)=4$$
e
$$ \log (1000000)=6$$.
Da questi valori si vede che usando il logaritmo valori enormemente diversi come un milione e mille, vengono trasformati in valori, come 3 e 6, molto vicini fra loro e facilmente rappresentabili su un grafico.
Bibliografia e/0 Link:
– http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/milestone/Visualization_Milestones.pdf
– http://www.datavis.ca/papers/gfkl.pdf
– http://www.datavis.ca/milestones/
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