Bentornate, care mosche!

Come promesso alla fine dello scorso post, oggi vi illustrerò alcune semplici applicazioni di uno degli strumenti matematici più utilizzati a livello mondiale: il piano cartesiano! Probabilmente neanche il piccolo Descartes, Cartesio per gli amici (in quanti hanno indovinato l’identità del cagionevole Renè? 😉 ) poteva immaginare gli innumerevoli utilizzi che il futuro prospettava alla sua invenzione. Ringraziando la mosca che quel giorno venne a trovarlo in camera sua, diamo alcune nozioni storiche prima di passare alle applicazioni.

Uno dei più importanti contributi di Cartesio è la sua prima opera pubblicata nel 1637, “Il Discorso sul Metodo”. Una delle tre applicazioni del Discorso è La Geometria, dove discute delle conseguenze naturali derivanti dalla definizione di un punto sul suo piano cartesiano tramite una coppia di numeri reali, come ad esempio la rappresentazione di una curva mediante un’equazione algebrica. Lo studio che ne deriverà nell’immediato futuro verrà chiamato geometria analitica. La rivoluzione nasce proprio da questo ponte di collegamento tra le due branche della matematica: trattare un problema di natura geometrica tramite strumenti algebrici. Non solo questo discorso libera le figure geometriche dalle caratteristiche propriamente visive ma permette di dare un significato alle operazioni dell’algebra tramite un’interpretazione geometrica. Insomma, un doppio lavoro, e tutto grazie a due rette perpendicolari, orientate e graduate.

Battaglia Navale, tutti all’arrembaggio!

Pensando al piano cartesiano, la prima immagine che vi produce la vostra mente da mosche è un insieme di numeri messi in fila sotto due rette, una verticale e una orizzontale. E se al posto di una di queste due file (mettiamo quella orizzontale) poniamo in serie le lettere dell’alfabeto? Beh facile, otteniamo il famosissimo gioco della Battaglia Navale!

Invece che riconoscere punti su questo piano, riconosciamo quadratini identificati da una coppia ordinata $$(n,x)$$ dove $$n$$ è un numero e $$x$$ una lettera. Ognuno dei due giocatori all’interno della propria griglia inserisce dei blocchi di quadratini di diverse dimensioni (le navi) ed ha come obiettivo affondare la flotta avversaria. Le strategie vincenti del gioco nascono una volta sapute le dimensioni della flotta: se le posizionate in un modo preciso, darete filo da torcere al vostro avversario!

E se al posto delle lettere ci fossero stati dei simboli arcaici? E se al posto dei numeri delle rune magiche? Non cambia nulla! L’importante è dare un nome ad ogni quadratino della griglia, non importa se con lettere o numeri o simboli. Sta qui la vera potenza del piano cartesiano, dare un’etichetta ad ogni punto, rendendolo unico in tutto il piano.

Muoversi sulla terra: Meridiani e Paralleli

Se con uno schiocco di dita potessimo parlare con un’abitante della Mesopotamia, o con un abitante della Grecia del settimo secolo avanti cristo, loro non avrebbero alcun dubbio: la terra è piatta! E noi, da bravi studenti e conoscitori della geografia scolastica, gli schiafferemmo davanti la nostra moderna cartina mondiale.Bene, tutto torna (a parte quel pezzo di terra strano con su scritto Canada, Brasile.. Mah!) ma c’è qualcosa che non quadra: perché i lati corti di questo piano sono tondeggianti e quelli lunghi sono retti? Ovviamente i nostri amici mesopotamici e greci antichi non sapevano “che la terra è rotonda” (dovranno aspettare Pitagora per la prima congettura a riguardo) e quindi bisognava apportare qualche modifica alla rappresentazione su cartina: proprio come un’arancia sbucciata, prendiamo la superficie terrestre e appiattiamola sul tavolo.

Dunque possiamo lavorare sulla buccia terrestre proprio come su un piano cartesiano, con le dovute accortezze che delle curve prenderanno il posto delle rette orizzontali e verticali (N.B.: l’approssimazione alla crosta terrestre come un piano è matematicamente inesatta, in quanto è possibile mettere in corrispondenza biunivoca i punti della sfera e il piano più un punto; data la trattazione semplice ho preferito fare l’esempio della buccia d’arancia senza entrare nello specifico. Per una trattazione più approfondita ne riparleremo in un altro post). Queste curve, come sapete bene, si chiamano meridiani e paralleli. Grazie ad essi, ogni punto della superficie terrestre ha una sua etichetta e lo si rende unico. Gran bel risultato, non trovate?

Dalla scuola ai modelli, dinamiche di crescita

Voglio concludere con questo esempio prettamente didattico. Durante il periodo scolastico, viene insegnato che il piano cartesiano ha innumerevoli applicazioni, dagli istogrammi allo studio grafico di una funzione di variabile reale. Esiste un settore matematico, la modellistica (argomento già trattato in alcuni articoli del blog, tipo quello di Roberto sulle epidemie) che sfrutta appieno le conoscenze acquisite della geometria analitica. La cosa che mi ha colpito da sempre è la semplicità del linguaggio con cui un argomento complicato, come la crescita di una popolazione (modello di Malthus o modello logistico) o l’allevamento di un raccolto ittico (vi lascio un interessante articolo qui), venga spiegato e rappresentato in modo che un ragazzo al suo quarto anno di liceo possa capirlo.

Senza entrare nei dettagli, se la crescita di una popolazione viene rappresentata tramite una equazione algebrica, questa a sua volta viene trascritta sotto forma geometrica sul piano cartesiano. In casi semplici, lo studio dell’equazione tramite strumenti tipo il diagramma a ragnatela prevede risultati futuri solo a partire dalla forma del grafico e dal suo andamento all’infinito: un risultato straordinario, se pensate che si possa prevedere quante cavallette ci saranno il prossimo mese in una regione, o quante trote bisogna tenere nel lago in maniera che la crescita sia costante. Per i dettagli, magari ne parleremo in un altro post!

Care mosche, spero di aver dato una panoramica di quelle che, per me, sono alcune delle applicazioni più interessanti del piano cartesiano! Ci vediamo al prossimo svolazzamento 😀

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