Paradossale!

Ho deciso di scrivere questo articolo per parlare delle serie numeriche…e sì, visto che il titolo è in contraddizione con la prima frase del post, parlerò anche di paradossi!

Iniziamo a bomba allora: cos’è un paradosso?!

Dal greco “paradosso” significa “contro l’opinione” e di solito si usa per descrivere qualcosa che va contro l’evidenza o contro un fatto generalmente accettato e riconosciuto, ed anche qualcosa che “non fa una piega” ma porta con sé una enorme contraddizione!

Un esempio è nel titolo: io affermo di parlare di serie numeriche e nel testo immediatamente affermo che invece ne parlerò…! Mi sono auto-contraddetto, questo è un paradosso!

Un altro esempio è il paradosso di Epimenide, che afferma: “io sono bugiardo”  $${}^{*}$$. Ecco se ciò fosse vero, la sua affermazione sarebbe falsa e quindi non direbbe mai alcuna bugia. Ma quindi l’affermazione di Epimenide non sarebbe una bugia, e quindi sarebbe vera…e quindi falsa e vera allo stesso tempo! Mal di testa? No, paradosso!!

$${}^{*}$$: Ringrazio Flavio per la segnalazione di un importante errore! Ora è corretto!! Grazie!!

Mi muovo o non mi muovo…questo è il problema!

Avete mai sentito parlare dei paradossi di Zenone???

Vedete, Zenone era un simpatico filosofo greco sostenitore dell’impossibilità di movimento e spostamento nello spazio. Chiaramente dal nostro punto di vista tutto ciò è abbastanza assurdo! Tuttavia egli, a sostegno delle sue tesi, forniva non 1, non 2, non 3 ma ben 4 (!) paradossi!
Però (c’è un però), Zenone li chiamava così perché LUI non era in grado di trovare una soluzione/spiegazione. In realtà sono falsi paradossi perché sono stati “risolti”.

Ora, non voglio parlarvi di Zenone ma solo di due dei suoi quattro paradossi.

Per primo vi spiego quello di Achille e la tartaruga. E’ ovviamente molto famoso e conosciuto ma magari non tutti sanno che dà il via ad un nuovo concetto matematico, quello di serie numerica.

Ma procediamo con ordine. Il paradosso dice: Achille e la tartaruga competono in una gara di velocità, partono entrambi dal punto A e vogliono arrivare al punto B. Poiché Achille è superbo decide di dare un vantaggio alla tartaruga, altrimenti non avrebbe la benché minima possibilità [parliamo di Achille piè veloce!].

Fatto sta che Zenone a questo punto ci dice: “Bene, fine dei giochi, ha vinto la tartaruga, Achille non potrà mai superarla!”

Che ragionamento fa Zenone? Inizia a contare il tempo da 0. Al tempo 0 suppone che la tartaruga è al punto $$C_1$$ in mezzo ad A e B e Achille parte dal punto A in quell’istante. Dopo $$x_1$$ secondi Achille raggiunge il punto $$C_1$$ ma in quei secondi la tartaruga ha avanzato raggiungendo il punto $$C_2$$. Dopo altri $$x_2$$ secondi Achille sarà nel punto $$C_2$$ ma nel frattempo la tartaruga sarà al punto $$C_3$$ e così via. Secondo lui quindi Achille non supererà mai la tartaruga in quanto ci vorrebbe tempo infinito per superarla! Cioè dovremmo sommare $$x_1$$, $$x_2$$, e così via…cioè un infinità di numeri…cioè infinito (secondo Zenone)!

Passiamo ora al secondo paradosso, detto dello stadio: supponiamo che Ettore sia ora da solo (funziona con tutti eh…non solo con Ettore) e che debba andare da A a B e che la distanza tra A e B è 10 metri. Beh prima di tutto dovrà raggiungere $$C_1$$ in mezzo ad A e B, poi ancora dovrà raggiungere $$C_2$$ in mezzo tra $$C_1$$ e B, poi ancora dovrà raggiungere $$C_3$$ in mezzo tra $$C_2$$ e B, e così via. Quindi in soldoni dovrò percorrere prima 5 metri, poi 2.5, poi 1.25, poi 0.625, e così via. Di nuovo dobbiamo sommare infiniti termini…quindi dovremmo percorrere una distanza infinita (secondo Zenone di nuovo)!

Diciamo che Zenone potrebbe essere convincente…giusto per essere chiari Zenone aveva torto! E non lo dico per superbia né per mancanza di rispetto, ma perché è così!

La finitezza delle somme infinite

Chiaramente la nostra intuizione ci dice che Ettore arriverà a B partendo da A poiché sono 10 metri!! D’altro canto, stiamo sommando una infinità di termini, quindi il risultato dovrebbe venire infinito. Cosa sbagliava quindi Zenone?!
L’errore di Zenone sta nel pensare, appunto, che una somma infinita di termini faccia per forza un numero infinito…ma questo non è vero! Ci sono somme di infiniti termini che danno come risultato un numero finito!

Lo so che molti potrebbero abbandonare la lettura ora dicendo “se va beh, ecco un futuro politico! Vuole convincerci con discorsi fatti di aria fritta!” ma vi prego, continuate a leggere!! Tutto ha senso!!
Da quel che abbiamo visto sopra, abbiamo appena scoperto che $$5 + \frac{5}{2} + \frac{5}{4} + \frac{5}{8} + \cdots = 10$$. Quindi Zenone ha torto su questo!

Riguardo Achille e la tartaruga la situazione è leggermente più complicata quindi eviterò di scriverla esplicitamente, ma la cosa certa è che Zenone aveva torto anche su questo!

Ciò non dovrebbe sorprendere molto: prendete ad esempio un quadrato e tracciate una linea a metà per verticale. Ora prendete la metà di sinistra e dividetela a metà per orizzontale. Poi prendete la metà superiore e dividete a metà ancora e iterate il procedimento all’infinito! L’area del quadrato è finita ma è anche la somma delle aree di tutti i quadratini e rettangolini ottenuti, ed essi sono infiniti!

Questo altro esempio che vi ho appena fatto, così come il secondo paradosso che vi ho presentato, definiscono implicitamente un nuovo oggetto matematico chiamato serie numerica.

Si dice serie numerica in matematica la somma di infiniti termini…e vi assicuro che la sto facendo come al solito molto più semplice di quanto in realtà è. Nei nostri esempi ci siamo ridotti a considerare solo somme di numeri positivi, ma potremmo sommare anche numeri negativi. Insomma ci si può sbizzarrire!

Somma qui, somma là…e insomma?

Ma a cosa serve studiare le serie? Questa domanda ha talmente tante risposte che penso che ogni matematico possa fornirvi la sua motivazione migliore. Dovete sapere che servono davvero in ogni campo della matematica avanzata.

Limitiamoci per semplicità alle serie numeriche positive; la domanda frequente è se la serie converge o diverge. Ovvero, se la serie dà come risultato un numero finito o infinito. Esse si denotano con il simbolo $$\sum_{k=0}^{\infty} a_k$$ dove $$a_k$$ sono i numeri che stiamo sommando, indicizzati dal parametro $$k$$ che va da 0 a infinito.

Di esempi di serie divergenti ce ne sono tantissimi. Ad esempio se si sommano infiniti uni, si ottiene infinito. Ma anche se si sommano $$1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots $$ si ottiene infinito.

Anche di serie convergenti abbiamo tantissimi esempi. La cosa affascinante è che spesso sappiamo che una serie converge ma non sappiamo a quale numero converge. Vi faccio un esempio assolutamente non banale: la serie $$1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} +\cdots $$ converge a $$\frac{\pi^2}{6}$$. Ciò è meraviglioso!

Conclusione

Come sempre evito di appesantirvi troppo ma spero abbiate trovato interessante questa introduzione alle serie. Ovviamente se avete domande sull’argomento sentitevi liberi di chiedere, qui sotto o su Facebook e sarò sicuramente pronto a rispondervi! Se invece non vi va di scrivere, potete benissimo fare una ricerca su Wikipedia o su Google. Troverete moltissime cose interessanti a riguardo!

Per concludere quindi, Zenone aveva torto e un po’ mi dispiace. A sua discolpa c’è da dire che la matematica del suo tempo non era sufficientemente sviluppata per risolvere i suoi falsi paradossi.

Tuttavia è stato un bell’espediente per introdurre le serie numeriche!!

Magari in futuro approfondirò l’argomento “serie numeriche” oppure parlerò degli altri due paradossi del buon caro Zenone. Nel frattempo, stay tuned!

Ciao!!

Post Scripta

P.S. per i nostri lettori filosofi: in questo post si sono evidenziati maggiormente gli aspetti dei paradossi di Zenone relativi al moto ma sappiamo che la cosa era per lo stesso Zenone ben più complessa poiché metteva in discussione l’idea di indivisibilità infinita dello spazio e del tempo, forse a favore di una quantizzazione del medesimo. Idea di per sé già molto interessante! Chiedo quindi scusa se nella mia esposizione sono stato riduttivo!

P.S. per i nostri lettori fisici: del paradosso di Achille e la tartaruga esiste anche una soluzione “più fisica” ottenuta tracciando le traiettorie di Achille e della tartaruga in un diagramma tempo vs spazio. Supponendo ad esempio che il vantaggio della tartaruga sia di 1 metro, che la tartaruga vada a 1 m/s e che Achille vada a 2 m/s, chiamando tempo zero il momento in cui Achille parte, otterremmo il seguente grafico:

dove l’asse x è il tempo (secondi) e l’asse y è lo spazio (metri). Come vedete dopo 1 secondo, Achille e la tartaruga si incontrano a distanza 2 metri dalla partenza e in quell’istante Achille supera la tartaruga!

Ovviamente, ho considerato che entrambi vadano a velocità costante ma soprattutto che avessero capacità di accelerare infinitamente istantaneamente. Ma sono dettagli, no?! 😛

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