Ricomincio da tre..
Eccoci qui! Per questa entusiasmante terza parte di fuoco!
La scorsa volta avevamo parlato della costante aurea e di come Fibonacci vi entrasse in modo predominante. Oggi continuiamo su quella scia, andando un po’ più a fondo nella matematica che c’è dietro.
Nel seguito troverete dei MATH MODE ON/OFF per segnalare delle parti per gli esperti. Ovviamente chiunque è libero di leggerle ma, se non ve la sentite o se il dottore vi ha suggerito di non farlo, potete benissimo tralasciarle!
Per chi si fosse perso le prime due parti, vi consiglio di leggerle: parte 1, parte 2.
Beh che dire..buon divertimento!
L’equazione aurea
Finora non abbiamo mai ottenuto esplicitamente la costante aurea, quindi direi che è proprio giunto il momento!
Lo scopo è trovare una equazione di cui la nostra $$\Phi$$ sia una delle soluzioni. Vi ricordate la definizione? La $$\Phi$$ è il rapporto tra due numeri $$a,b$$ tali che $$a+b:a=a:b$$.
MATH MODE ON: partiamo da $$\Phi = a:b=a+b:a$$. Dalla prima uguaglianza si ha $$a = \Phi b$$. Sostituendo tale valore e usando l’altra uguaglianza si ottiene il rapporto $$b(\Phi + 1 ) : b \Phi = \Phi b : b$$. Semplificando $$b$$, si ha $$\Phi^2 = \Phi +1$$, cioè $$\Phi^2 – \Phi – 1 = 0$$. MATH MODE OFF
Tale equazione è $$x^2 -x -1 = 0$$. La $$\Phi$$ risolve tale equazione, ma…sappiamo trovarne una esplicita formula?!?!
Risolvendo l’equazione, osserviamo che le sue due soluzioni sono date da $$\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$, ma quale delle due è $$\Phi$$?
Dato che la $$\Phi$$ è il rapporto tra $$a+b$$ e $$a$$, essa dev’essere maggiore di 1! Quindi $$\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$.
Questa è la sua vera rappresentazione esplicita, carina no?
Il gioco delle parti
Generalmente si possono definire la parte intera e la parte frazionaria di un numero. Dato tale numero, la sua parte intera è il numero intero immediatamente più piccolo di esso mentre la sua parte frazionaria è la differenza tra il numero e la sua parte intera. Sembra arzigogolato ma non lo è!! Facciamo qualche esempio chiarificatore:
5.625: la sua parte intera è 5, la sua parte frazionaria è 5.625-5=0.625 .
-1.2: la sua parte intera è -2, la sua parte frazionaria è -1.2-(-2)=-1.2+2=0.8 .
4: la sua parte intera è 4, la sua parte frazionaria è 4-4=0 .
Come vedete non è niente di particolarmente difficile!
MATH MODE ON: riguardo la notazione, preso il numero $$x$$, la sua parte intera si denota con $$[x]$$ e la sua parte frazionaria con $$\{x\}$$. Quindi in formule abbiamo che $$[x]=\max(k \in \mathbb{Z} \; | \; k\leq x)$$ e $$\{x\}=x-[x]$$. MATH MODE OFF
In tutto ciò, cosa c’entra la costante aurea? Esso è l’unico numero non naturale con la proprietà che la sua parte frazionaria è uguale a quella del suo reciproco e anche del suo quadrato.
Per intenderci abbiamo che: $$\Phi = 1,61803…$$,
$$\frac{1}{\Phi} = 0,618033…$$ e
$$\Phi^2 = 2,618033…$$
Come notiamo, la parte frazionaria dei tre numeri qui sopra è a stessa. Meraviglioso!
MATH MODE ON: Quello che stiamo cercando di dire è che $$\Phi$$ risolve contemporaneamente le due equazioni $$\{x\}=\{x^2\}$$ e $$\{x\}=\{\frac{1}{x}\}$$. Come facciamo a dimostrare questa cosa? Riprendiamo l’equazione aurea: $$x^2-x-1=0$$. Quindi $$x^2=x+1$$. Passando alle parti frazionarie, notiamo che il secondo membro ha la stessa parte frazionaria di $$x$$, infatti aggiungendo 1 essa non può cambiare. Perciò $$\{x^2\}=\{x+1\}=\{x\}$$.
Per avere l’altra equazione, partendo da $$x^2=x+1$$ e dividendo per $$x$$ si ha: $$x=1+ \frac{1}{x}$$. Vale quindi lo stesso discorso. MATH MODE OFF
Esplicite ricorsioni
Torniamo un attimo alla successione di Fibonacci. Dato che esiste una formula ricorsiva per calcolare i suoi termini, potremmo chiederci se esiste una formula esplicita per la successione di Fibonacci? Ovvero..si può trovare, per esempio, il 25° numero senza conoscere i precedenti???
La risposta è assolutamente si!!
Esistono vari modi di arrivarci e tutti questi sono incomprensibili ad un non-addetto ai lavori. Ne propongo una nella MATH MODE ma siete liberissimi di saltarla a piè pari!
MATH MODE ON: definisco il vettore $$x_n = ( F_n , F_{n-1} )^T$$ dove $$F_n$$ è l’$$n$$-esimo numero di Fibonacci. Si nota che $$x_{n+1}$$ è il prodotto tra la matrice $$A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ e $$x_n$$. Iterando il procedimento si ottiene: $$x_{n+1}=A^n x_1$$. Dato che $$x_1=(1,1)$$, tutto sta nel calcolare A^n. Per farlo diagonalizzo A e una volta fatto segue facilmente la formula esplicita per l’ennesimo numero di Fibonacci. MATH MODE OFF
Tale formula è: $$F_n = \frac{\Phi^n – (-\Phi)^n}{\sqrt{5}}$$. Un po’ strana, lo riconosco. La cosa su cui riflettere è che per ogni $$n$$ questo è un numero intero!!!
Quindi tornando alla richiesta del 25° numero esso è 75025!
Tanto per concludere
Signore e signori, siamo alla fine della nostra storia su Fibonacci. Giusto per chi è curioso suggerisco una bella visita su wikipedia alla pagina dedicata a Fibonacci e alla sua serie e quella dedicata alla costante aurea.
Per gli ancora-più-curiosi do due consigli spassionati:
1) Esiste un cortometraggio della disney dal titolo “Paperino nel mondo della matemagica”. E’ veramente bello e merita di essere visto, se ne avete occasione fatelo. Ovviamente anche lì si parla della costante aurea. Eccolo qui sotto!
2) I “Tool” hanno scritto un brano musicale dal titolo “Lateralus” che si ispira liberamente alla successione di Fibonacci. La scansione degli accenti delle parole segue appunto i numeri della successione. Merita, quindi eccolo qui sotto!
E con questo si conclude la terza e ultima parte su Fibonacci e dintorni. Spero abbiate apprezzato. Non esitate a commentare, correggere, chiedere spiegazioni!
Au revoir!
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