Introduzione

Ci siamo lasciati nell’articolo precedente intenti a guardare la nostra partita (in realtà senza troppa fortuna). I problemi che avevamo avuto con il nostro segnale ci avevano dato occasione di familiarizzare con alcuni concetti di base riguardo i segnali e di introdurre una serie di disturbi che potessero disturbarne la propagazione impedendoci, così, di goderci i nostri programmi televisivi. Per chi si fosse perso l’articolo è disponibile qui.

Nell’articolo precedente abbiamo trattato un numero più o meno ampio di argomenti in modo più o meno approfondito. Ci siamo soffermati prima  sulla classificazione dei segnali e poi ci siamo concentrati sui possibili errori che possono disturbare la propagazione del segnale.

Siamo passati, giusto un accenno, su un concetto che è di basilare importanza per l’analisi del segnale. Qualcuno non ci avrà nemmeno fatto caso o gli avrà dato poca importanza altri, spero non molti, si saranno indignati per il poco peso dato al concetto.

Mi riferisco al passaggio in cui ho affermato, forse con troppa leggerezza, che segnali analogici e digitali sono uno il corrispettivo dell’altro per il modo fisico e quello digitale rispettivamente. Questo, udite udite, non è propriamente corretto.

Nel mondo fisico possono esistere segnali digitali. I fotoni che formano la luce vengono ricevuti dal nostro occhio in tempi discreti. La loro ampiezza può assumere solo valori fissi (vedi la teoria dei quanti).

La vera dualità tra i due sta nel fatto che nel mondo dei computer tutti i segnali sono digitali, non esiste una reale divisione tra segnale digitale e analogico in quanto i secondi, banalmente, non esistono.

Il concetto che si metterà in luce nel proseguo dell’articolo è che un segnale analogico per essere memorizzato su un computer ha bisogno di una sorta di conversione, un lavoro di “digitalizzazione” che deve essere compiuto con estrema cura pena un risultato non soddisfacente.

Acquisizione dei segnali analogici

Cosa intendiamo per risultato non soddisfacente?

Semplicemente intendiamo che il segnale digitale non coincide con quello analogico. Quando due segnali sono sovrapponibili? Quando in ogni punto del dominio la loro differenze è inferiore ad un certo valore $$\epsilon$$ detto errore o anche scarto. Quanto più piccolo è lo scarto tra i due segnali tanto più sono sovrapponibili e quindi coincidenti.

 Il processo di “digitalizzazione” a cui abbiamo accennato prima è composto da due fasi di discretizzazione successiva. La prima riguarda il tempo e occorre per trasformare il segnale da tempo continuo a tempo discreto; la seconda riguarda il valore assunto al segnale ed è necessaria per trasformare il segnale da ampiezza continua ad ampiezza discreta e ancor prima per memorizzarlo su un dispositivo fisico.

Mi sento in dovere di specificare che discreto non è sinonimo di quantizzato. Una grandezza quantizzata può assumere un valore che è multiplo intero di una grandezza fondamentale; la carica di un corpo è una grandezza quantizzata. Un  segnale discreto può assumere qualsiasi valore e il fatto che venga memorizzato con valori discreti dipende dal fatto che un numero è rappresentabile con un numero finito di cifre.

Consideriamo un segnale che all’istante di tempo $${t}_{0}$$ assume il valore 1.5567 (per ora non badiamo all’unità di misura) e che ad un istante di tempo successivo $${t}_{1}$$ valga 1.5572. Supponiamo che per memorizzare il segnale vengano usate solo tre cifre dopo la virgola. Cosa accade ai nostri valori? Entrambi vengono troncati e approssimati per cui sul nostro calcolatore ad entrambi gli istanti temporali il segnale vale 1.557.

Guardando l’esempio precedente risulta evidente a tutti che il segnale non è quantizzato ne tanto meno discreto per sua natura. La discretizzazione sopraggiunge quando si prova a memorizzarlo su un oggetto finito. Basterebbe aumentare il numero di cifre dopo la virgola per vedere come i due numeri siano, in realtà, differenti.

Un fenomeno analogo avviene quando si prova a discretizzare il tempo. Un segnale a tempo continuo è definito per ogni istante di tempo. Purtroppo gli istanti di tempo che possiamo acquisire e memorizzare, per quanto possano essere numerosi, sono in numero finito. Il segnale, dunque, è noto solo per un certo numero di istanti temporali. Tra due istanti di tempo successivi il suo valore viene interpolato linearmente.

Dopo due processi di approssimazione e discretizazzione può un segnale digitalizzato essere fedele a quello analogico reale?

La risposta, e forse qualcuno sarà sorpreso di essa, è si. Se così non fosse stato questa serie di articoli non avrebbe avuto molto senso. Avrei terminato di scrivere ancor prima di cominciare.

Teorema di Shannon

Per quanto riguarda i valori di ampiezza acquisiti dal segnale non sussiste un particolare problema in quanto i moderni calcolatori sono in grado di memorizzare numeri in virgola mobile con grandissima precisione. Per gli scopi di tutti i giorni 16 cifre sono più che sufficienti per memorizzare un valore con grande precisione. Spesso tale precisione supera anche quella dello strumento utilizzato per effettuare l’acquisizione e quindi non si sfruttano tutte le possibili cifre decimali.

Un discorso a parte merita la discretizzazione temporale del segnale. In particolare la precisione e con cui il segnale viene acquisito dipende fondamentalmente dal tempo che intercorre tra due acquisizioni successive. Tale tempo viene detto tempo di campionamento. Quanto piccolo deve essere il tempo di campionamento affinché il segnale campionato sia fedele a quello reale?

Il titolo in questo caso spoilerà un po la risposta ma, dopo tutto, siamo in periodo di spoiler. In generale sussiste un teorema, il teorema di Shannon, che ci dice quanto deve essere grande, al massimo, l’intervallo di tempo tra due acquisizioni successive affinché il segnale acquisito sia fedele a quello reale.

Il teorema di Shannon è noto anche come teorema di campionamento o teorema di Shannon-Nyquist. In realtà il teorema non è stato proposto originariamente da Shannon il quale ne ha solo dimostrato una versione più generalizzata partendo da lavori precedenti. Una prima versione di tale teorema risale a Whittaker.

Prima di enunciare il teorema di Shannon (maggiori dettagli sulla teoria si possono trovare qui) definiamo brevemente il concetto di frequenza di un segnale.

Supponiamo per prima cosa che il segnale sia periodico nel tempo. Ovvero si ripete sempre uguale a se stesso nel corso del tempo. Un segnale periodico ha una durata nel tempo limitata $$T$$ definita periodo terminata la quale si ripete uguale a se stesso all’infinito. Ancora una volta accontenterò quanti di voi vogliono vedere le cose scritte per esteso dando una definizione matematica di segnale periodico.

$$g(t)=g(T+t)$$

Il concetto di periodicità si estende a qualsiasi funzione. Un esempio di periodicità sono le funzioni trigonometriche seno e coseno che si ripetono sempre uguali con un periodo di $$2\pi$$.

L’inverso del periodo definisce la frequenza. del segnale

$$f=\frac{1}{T}$$

da un punto di vista dimensionale la frequenza rappresenta l’inverso di un tempo $${s}^{-1}$$; tale unità di grandezza nel sistema internazionale viene chiamata Hertz e si indica con il simbolo $$Hz$$.

Per enunciare il teorema di Shannon supponiamo che un segnale sia composto dalla sovrapposizione di più funzioni a frequenza diversa. Per ora consideriamo questa affermazione come vera, in seguito verrà dato seguito a questa affermazione e sarà più chiara. Per ora basti sapere che un segnale generalmente è la somma di più funzioni aventi frequenza diversa

$$g={g}_{f1}+{g}_{f2}+…+{g}_{fn}+…$$

al più tale serie può essere composta da infiniti termini. Tale somma può essere espressa in una forma più elegante ricorrendo al simbolo di sommatoria

$$g=\sum\limits_{n=1}^{\inf} {g}_{fn}$$

Supponiamo che la sommatoria non sia infinita e che la massima frequenza che compare in essa sia $${f}_{m}$$. Il teorema di Shannon afferma che il segnale digitale riproduce fedelmente quello analogico se e soltanto se la frequenza di campionamento $${f}_{s}$$ (l’inverso del tempo occorrente tra due successive acquisizioni del segnale) sia almeno doppia rispetto alla frequenza massima

$${f}_{s}>2{f}_{m}$$

Il teorema di Shannon definisce il limite inferiore per {f}_{s} ma non quello superiore per cui la nostra frequenza di campionamento può essere grande a piacere compatibilmente con il dispositivo di campionamento utilizzato.

Adesso andiamo a rimuovere l’ipotesi che la sommatoria del segnale sia finita. Se essa è infinita ammette infinite frequenze per cui la frequenza massima sarà infinita. In  questo caso la frequenza di campionamento è anche essa infinita (il doppio di una quantità infinita).

Filtri anti-aliasing

Le grandezze infinite non ci piacciono… allora come trattiamo le frequenze infinite? Quello che comunemente si fa è definire un filtro …rullo di tamburi… anti-aliasing. Tale filtro limita la frequenza massima acquisita per evitare i problemi di lavorare con grandezze infinite. In pratica quando si vuole acquisire un segnale si definisce la massima frequenza di campionamento che a questo punto è funzione delle capacità dell’hardware e del tipo di campionamento cui siamo interessati e su quella frequenza di campionamento si imposta un filtro anti-aliasing. Il filtro non farà altro che tagliare nel segnale tutte le frequenze superiori alla metà della frequenza di campionamento. In pratica, garantisce che il teorema di Shannon sia rispettato togliendo dalla sommatoria del segnale tutti i termini la cui frequenza sia superiore a metà della frequenza di campionamento. Questa frequenza di taglio viene detta frequenza di Nyquist.

Generalmente non esiste un filtro anti-aliasing perfetto per cui all’interno del segnale vi saranno sempre delle componenti spurie a frequenza maggiore. Tali frequenze si sommano dando vita all’aliasing finale. Tale somma sarà tanto più piccola quanto migliore è la qualità del filtro.

In generale l’aliasing di un segnale si verifica quando un segnale digitale non è più univoco. Tale fenomeno detto anche fenomeno di distorsione da campionamento lento o da sottocampionamento si verifica quando un segnale analogico non può essere più ricostruito in modo univoco a partire da un segnale digitale. Tale impossibilità nella ricostruzione del segnale è dovuta, come abbiamo detto, ad una frequenza di campionamento insufficiente.

Guardando l’immagine pensiamo alla curva rossa come al segnale analogico che si vuole campionare. A valle della scelta della frequenza di campionamento si acquisisce il segnale e i valori ottenuti sono rappresentati dai quadratini blu. In un secondo momento, provando a ricostruire il segnale analogico, quello che otteniamo è la curva blu. Essa differisce da quella rossa originale e tale differenza è imputabile ad un problema di aliasing o sottocampionamento. Una frequenza di campionamento troppo bassa ha comportato una perdita di informazione e un impossibilità nella ricostruzione del segnale originario.

Conclusione

L’ultimo aspetto che riguarda l’acquisizione di un segnale analogico riguarda il finestramento. Tale aspetto più che alla qualità del segnale (come l’aliasing) è strettamente legato all’ottenimento della trasformata di Fourier del segnale e per tanto verrà trattato nella prossima parte insieme con la trasformata di Fourier stessa.

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