Ciao a tutti e ben trovati su MathIsInTheAir! Oggi le domande che ci poniamo sono queste: quanto è alto un palazzo? Quanto è lontana una nave? Quanto è alto l’aereo? Quanto è grande una proprietà?
Come al solito siamo impazziti…o almeno così sembra. La risposta tuttavia è sconvolgente: la tRiGoNoMeTrIa!
Vedremo in questo post come rispondere ad alcune di queste domande utilizzando la trigonometria!
Prima di tutto, però, facciamo una bella introduzione.
La bella introduzione
La trigonometria è una disciplina così vecchia che la utilizzavano addirittura gli antichi egizi per calcolare l’altezza delle piramidi e si è sviluppata nel corso del tempo grazie a cartografi, geografi ed astronomi. La sua fondazione è dovuta a Ipparco di Nicea e a Tolomeo. Notevoli migliorie furono apportate nel corso del tempo grazie ai lavori di Carnot, Copernico e Brahe (in anni e periodi distinti!).
Ma non perdiamoci nella storia e definiamo quali sono le funzioni trigonometriche di base. Quattro sono quelle che ci serviranno: seno, coseno, tangente cotangente. Molti di voi probabilmente sanno già queste cose, ma per chi non le sapesse do una breve overview!
Come si definiscono queste funzioni? Ad ogni angolo si associa un numero, trovato geometricamente come la lunghezza di un segmento. Eccovi una figura che può aiutare.
La circonferenza in blu è il cerchio di raggio 1 nel piano cartesiano. O è l’origine degli assi. Prendiamo il punto P, associato all’angolo $$\alpha$$ ed associamo a questo angolo 4 quantità.
Chiamiamo i vari segmenti in questo modo:
OB = seno di $$\alpha$$
OA = coseno di $$\alpha$$
DR = tangente di $$\alpha$$
CQ = cotangente di $$\alpha$$
Queste sono le 4 quantità che ci servono. Non è difficile ma sicuramente non è intuitivo. A cosa servono questi valori?
La principale applicazione geometrica è ia relazione tra le lunghezze dei lati di un triangolo in funzione degli angoli. Vedete nell’immagine l’elenco delle formule principali.
Ma ora passiamo ad usare queste formule e queste funzioni per risolvere piccoli problemini! Ne vedremo un paio in questo post ed un paio nel prossimo.
Quanto è alto un palazzo?
Vi è mai capitato di chiedervi quanto sia alto un palazzo? Eccovi la soluzione.
Come si fa? Beh abbiamo tante opzioni. Per esempio potremmo pensare di salire sul palazzo, gettare una corda e così misurare quanto è alto. Fattibile? Insomma…dipende da quanto è alto l’edificio.
Alternative? Sì certo!
Allontaniamoci ad una certa distanza $$a$$ dall’edificio e alziamo lo sguardo. Chiamiamo $$\theta$$ l’angolo formato dalla Terra con la retta che congiunge i nostri piedi al tetto dell’edificio. Ed ora?
Usiamo una delle formule precedenti. L’altezza $$b$$ sarà pari alla distanza $$a$$ moltiplicata per la tangente dell’angolo $$\theta$$. Ovvero: $$b = a \tan \theta$$. Veramente utile, non pensate?
Abbiamo applicato questa idea all’altezza di un palazzo, ma immaginate cosa potete fare!
La distanza di una nave
“Capitano, c’è una nave in avvicinamento!” “Quanto dista?” “Non lo so, a scuola ero sempre disattento!”
Il nostro capitano della nave pirata avrebbe quindi aspettato che la nave della marina arrivasse senza prendere adeguate contromisure. Ma…come avrebbe potuto fare altrimenti?
Se la nave fosse il punto N, considero due osservatori A e B sulla costa. La distanza da trovare è NH. Cosa sappiamo? Beh, innanzi tutto A e B distano una certa distanza $$a$$, rappresentata dal segmento AB. Inoltre, gli osservatori misurano gli angoli $$\theta$$ e $$\varphi$$ formati in A e B dalla nave N. Perciò dalle formule trigonometriche, abbiamo che $$AH = NH \cot(\theta)$$ e $$BH = NH \cot(\varphi)$$. Che ci facciamo?
Noi abbiamo informazioni solo sulla distanza AB, e, guarda un po’, $$AB=AH+BH$$! Quindi $$a = AB = AH+BH = NH \cot(\theta) + NH \cot(\varphi) = NH (\cot(\theta) + \cot(\varphi))$$. Ribaltando l’equazione $$NH = \frac{a}{\cot(\theta) + \cot(\varphi)}$$, e così abbiamo la distanza della nave dalla costa. E con solo una distanza e due angoli!
Anche questo risultato è notevole. Un procedimento simile veniva usato anche per capire la distanza di un esercito in avvicinamento e anche per capirne la velocità. Per quello però non basta la trigonometria! 🙂
Conclusione
Eccoci arrivati alla fine di questo primo post sull’affascinante mondo della trigonometria. Spesso nelle scuole si vede solo il lato ‘puro’ della questione e manca quell’ingresso nella realtà che servirebbe. Le porte che ti apre la matematica sono inimmaginabili e, come sempre, io sarò di parte, però trovo tutto questo magnifico. Il mio è solo un modo per farvi conoscere questo mondo vasto e sconfinato.
Dopo questo commento serio la posso davvero smettere di scrivere! Al prossimo episodio..ehm..volevo dire post!
Ciao!
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OA = coseno di α
OB = seno di α