Nei post precedenti (parte 1 e parte 2) abbiamo introdotto la meccanica quantistica da un punto di vista discorsivo più che matematico. Questo ci ha consentito di cogliere alcuni aspetti della sua bellezza e delle sue stranezze. Abbiamo rimandato il più a lungo possibile l’introduzione di un formalismo matematico complesso ma ora, purtroppo, non possiamo farne più a meno. In questo articolo saranno introdotti molti concetti tecnici e teorici, passo dopo passo si arriverà alla costruzione di tutta l’impalcatura matematica che ci occorrerà per capire i concetti che saranno presentati nella prossima ed ultima parte.
La trattazione matematica sarà ridotta al minimo indispensabile per non rendere la lettura troppo tediosa.
Vettori non comuni e spazio di Hilbert
Negli articoli precedenti abbiamo introdotto il concetto di stato di un sistema quantistico e in un caso, sebbene molto semplice e davvero particolare, ne abbiamo delineato un quadro più o meno completo svolgendo su di esso delle operazioni di logica.
In meccanica quantistica generalmente, non consideriamo il caso particolare visto prima, lo spazio degli stati è uno spazio vettoriale. In particolare, esso è uno spazio vettoriale di Hilbert.
Lo spazio di Hilbert fu introdotto da David Hilbert all’inizio del XX secolo nell’ambito delle equazioni integrali e poi ripreso da Von Neumann nella sua formulazione della meccanica quantistica.
Oltre che alla meccanica quantistica gli spazi di Hilbert diedero nuovo impulso alla teoria dei gas e della radiazione. In seguito verranno espansi dal matematico polacco Stefan Banach negli omonimi spazi per l’assiomatizzazione delle funzioni integrali.
Una definizione non del tutto esaustiva di spazio di Hilbert è la seguente
Uno spazio di Hilbert è uno spazio Hermitiano (o prehilbertiano) completo.
La definizione fornita, per i non addetti ai lavori, genera più domande di quante ne risolva. Come possiamo ottenere, dunque, uno spazio di Hilbert partendo da concetti familiari alla maggiorparte dei lettori?
Partiamo da uno spazio vettoriale generico. Solitamente quando parliamo di vettori la nostra mente vola, in modo più o meno corretto, ad un ente matematico definito da una direzione ed un verso che può essere rappresentato mediante le sue tre coordinate in uno spazioEuclideo tridimensionale. Quello che vi chiedo ora è di prendere questa definizione e buttarla fuori dalla vostra mente. Un vettore, o meglio un insieme di vettori come noi li immaginiamo, è solo un caso particolare di spazio vettoriale in matematica. Una definizione più generica può essere la seguente
Uno spazio vettoriale è una collezione di oggetti astratti che possono essere combinati tra di loro mediante un operazione chiamata addizione e il cui modulo varia mediante prodotto per uno scalare.
Il normale spazio composto dai vettori nello spazio euclideo è uno spazio vettoriale ma anche l’insieme di tutte le matrici $${K}^{mxn}$$ con l’aggiunta dell’operazione di addizione tra due matrici e di prodotto di una matrice per uno scalare è uno spazio vettoriale.
A questo spazio vettoriale astratto ora andiamo ad aggiungere un operazione di prodotto interno definito positivo. Un prodotto interno non è altro che un operazione che presi due elementi dello spazio vettoriale restituisce zero se almeno uno dei due è nullo altrimenti restituisce un numero maggiore di zero. Se il valore restituito è uno numero reale tale operazione si chiama prodotto scalare. Se il valore restituito appartiene al campo dei numeri complessi assume il nome più generico di prodotto hermitiano.
Un ente composto da uno spazio vettoriale e da un prodotto interno come definiti sopra si chiama spazio hermitiano o prehilbertiano e rappresenta un passaggio intermedio, una sorta di tappa obbligata, per arrivare allo spazio di Hilbert.
Il passaggio che manca per arrivare allo spazio di Hilbert è la completezza. La completezza è una proprietà degli spazi metrici. Io stesso avevo parlato di spazi metrici in passato. Uno spazio metrico completo è uno spazio metrico in cui tutte le successioni di Cauchy sono convergenti ad un elemento dello spazio stesso. In generale vale la regola che in uno spazio metrico tutte le successioni convergenti siano di Cauchy. Uno spazio metrico completo introduce un ulteriore rerstrizione. L’oggetto a cui la successione converge è un elemento dello spazio metrico stesso.
Un insieme di ket e bra
Il L. Susskind mentre spiega gli argomenti trattati in questo post nel suo corso in rete “The Theoretical Minimum“
In meccanica quantistica gli elementi dello spazio di Hilbert che identificano lo spazio degli stati di un sistema sono chiamati ket. In generale il nome bra-ket fa riferimento ad una particolare proprietà di questi elementi che vedremo in seguito.
In ambito generale la notazione bra-ket detta anche notazione di Dirac viene utilizzata per indicare gli elementi complessi di uno spazio di Hilbert e sebbene sia adoperata soprattutto in meccanica quantistica risulta valida anche in altri campi della matematica.
Un generico ket A si indica con la notazione $$\mid A>$$ e per esso valgono le seguenti proprietà
- La somma di due ket è ancora un ket
$$\mid A> + \mid B> = \mid C>$$
- L’addizione è commutativa
$$\mid A> + \mid B> = \mid B> + \mid A>$$
- Esiste l’elemento neutro dell’addizione
$$\mid A> + 0 = \mid A>$$
- Dato un ket $$\mid A>$$ esiste un solo elemento $$- \mid A>$$ tale che
$$\mid A> + (- \mid A>) = 0$$
- Dato un ket e uno scalare complesso è possibile moltiplicarli insieme. Tale operazione è lineare
$$\mid zA> + z \mid A> = \mid B>$$
- Vale la proprietà distributiva
$$z( \mid A> + \mid B> ) = z \mid A> + z \mid B>$$
$$(z + w) \mid A> = z \mid A> + w \mid A>$$
Come i numeri complessi anche nello spazio di Hilbert è possibile definire un operazione chiusa di coniugio. Tali oggetti vengono definiti bra e si esprimono come $$<A \mid$$. Nello spazio dei bra e dei ket l’operazione di coniugio si indica con il simbolo $$\ast$$ per cui vale proprio che
$$\mid A> \ast = <A \mid$$
Detto ciò, in generale, per passare da bra a ket e viceversa ci sono due cose da tenere bene a mente
- dato il ket $$\mid A> + \mid B>$$ il bra corrispondente è $$<A \mid + <B \mid$$
- Dato il prodotto $$z \mid A>$$ il corrispondnete bra è $$<A \mid {z}^{\ast}$$
Nel caso concreto in cui un ket è rappresentato da un vettore colonna il rispettivo bra sarà un vettore riga i cui elementi sono i complessi coniugati del vettore colonna.
Tra ket e bra è possibile esprimere un prodotto interno. Era uno dei pezzi fondamentali che avevamo introdotto per definire uno spazio prehilbertiano. Come è fatto questo prodotto interno?
Per prima cosa diciamo che esso si indica con la notazione $$<A \mid B>$$ da cui deriva il nome bra-ket. Poi diciamo che esso gode di alcune proprietà
- Il prodotto interno è lineare
$$<C \mid ( \mid A> + \mid B> ) = <C \mid A> + <C \mid B>$$
$$(<A \mid + <B \mid ) \mid C> = <A \mid C> + <B \mid C>$$
- Scambiare bra e ket equivale a prendere il complesso coniugato
$$<B \mid A> = {<A \mid B>}^{\ast}$$
- Il prodotto $$<A \mid A>$$ è un numero reale
Nel caso concreto in cui un ket sia un vettore colonna e un bra un vettore riga otteniamo la seguente definizione per il prodotto interno
$$<B \mid A> = \begin{pmatrix} {{\beta}_{1}}^{\ast}&{{\beta}_{2}}^{\ast}&{{\beta}_{3}}^{\ast}&{{\beta}_{4}}^{\ast}&{{\beta}_{5}}^{\ast} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\alpha}_{1} \\ {\alpha}_{2} \\ {\alpha}_{3} \\ {\alpha}_{4} \\ {\alpha}_{5} \end{pmatrix} = {{\beta}_{1}}^{\ast} {\alpha}_{1} + {{\beta}_{2}}^{\ast} {\alpha}_{2} + {{\beta}_{3}}^{\ast} {\alpha}_{3} + {{\beta}_{4}}^{\ast} {\alpha}_{4} + {{\beta}_{5}}^{\ast} {\alpha}_{5}$$
L’esistenza di un prodotto interno ci permette di definire due vettori notevoli che sono di basilare importanza anche nello studio degli spazi vettoriali “classici”.
- Vettore normalizzato, un vettore si dice normalizzato se il prodotto interno con se stesso è unitario ed è l’equivalente dei versori negli spazi vettoriali classici.
- Vettori ortogonali, due vettori si dicono ortogonali se il loro prodotto interno è nullo; sarebbe come dire che due vettori classici sono perpendicolare se il loro prodotto scalare è nullo.
Dove nelle due definizioni sopra esposte classico indica un vettore composto da una direzione, un verso ed un modulo esprimibile nel classico spazio euclideo a tre dimensioni.
Catturare le basi
Ogni spazio vettoriale ha una sua base, ovvero un insieme di vettori, tale per cui tutti gli elementi dello spazio vettoriale possono essere scritti come combinazione lineare degli elementi della base. Quando si lavora con le basi aiuta, anche se non è strettamente necessario, che i vettori che formano la base siano tra loro ortogonali e che il prodotto interno di ogni vettore per se stesso sia unitario. In questo caso si parla di base ortonormale.
Il numero massimo di vettori tra loro ortogonale presente in uno spazio vettoriale si chiama dimensione dello spazio vettoriale. Per un vettore colonna vale la seguente definizione
La dimensione di un vettore colonna è uguale al numero di elementi.
Senza ricorrere a dimostrazioni formali, immaginiamo di avere il seguente ket
$$\mid A> = \begin{pmatrix} {\alpha}_1 \\ {\alpha}_2 \\ {\alpha}_3 \\ {\alpha}_4 \\ {\alpha}_5 \end{pmatrix}$$
esso si può scrivere come combinazione linerare di 5 vettori (5 sono anche gli elementi che lo compongono)
$$\mid A> = \begin{pmatrix} {\alpha}_1 \\ {\alpha}_2 \\ {\alpha}_3 \\ {\alpha}_4 \\ {\alpha}_5 \end{pmatrix} = {\alpha}_1 \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + {\alpha}_2 \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + {\alpha}_3 \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + {\alpha}_4 \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + {\alpha}_5 \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$$
la stessa espressione si può scrivere in modo più compatto ricorrendo al simbolo di sommatoria
$$\mid A> = \sum_{i=1}^N {\alpha}_{i} \mid a_i>$$
dove $$\mid a_i>$$ indica un vettore della base per lo spazio in considerazione ed $$N = 5$$ la dimensione della base.
Se voglio calcolare una delle componenti $$a_i$$ mi basta moltiplicare il ket $$\mid A>$$ per il bra lungo cui voglio estrarre la componente. Per calcolare $$a_3$$ dovrò calcolare il seguente prodotto interno
$$<{\alpha}_3 \mid A> = \begin{pmatrix} 0&0&1&0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}{\alpha}_1 \\ {\alpha}_2 \\ {\alpha}_3 \\ {\alpha}_4 \\ {\alpha}_5 \end{pmatrix} = {\alpha}_3$$
posso giungere allo stesso risultato premoltiplicando la sommatoria scritta sopra per il ket $$<j \mid$$ che in questo caso rappresenta il vettore lungo cui vogliamo calcolare la componente. Per tanto, si ottiene.
$$<j \mid A> = \sum_{i=1}^N {\alpha}_i <j \mid a_i>$$
Il prodotto interno $$<j \mid a_i>$$ è uguale a zero se $$j$$ ed $$a_i$$ rappresentano vettori diversi (base ortogonale) mentre è unitario se rappresentano lo stesso vettore (base normale). Quindi, supposto che vogliamo estrarre la componente lungo il terzo vettore secondo l’ordine in cui li abbiamo sommati sopra, otteniamo che $$ <j \mid = <a_3 \mid$$ e per tanto all’interno della sommatoria l’unico elemento diverso da zero è proprio quello con indice tre
$$<j \mid A> = {\alpha}_3$$
Sostituito nella precedente espressione per $$\mid A>$$ si ottiene
$$\mid A> = \sum_{i=1}^N \mid a_i> <a_i \mid A>$$
Ritorno alla meccanica quantistica…
In questo post i temi della meccanica quantistica sono stati un po’ “messi da parte” per lasciare spazio ad alcuni concetti di tipo matematico. Come abbiamo detto bra e ket sono tipici della meccanica quantistica ma non solo.
La trattazione della meccanica quantistica dal punto di vista della matematica richiede di avere una certe base di nozioni ben consolidate e chiare. Mi sembrava doveroso verso chi non ha questa base provare ad introdurre alcuni concetti fondamentali.
Senza scendere nel dettaglio si sono esposti dei concetti basilari che verranno usati per scrivere le equazioni che governano la meccanica quantistica in forma matriciale.
Nel prossimo post tornerò sul nostro sistema quantistico dello spin ed applicheremo ad esso tutte le conoscenze esposte in questo post. Applicheremo le definizioni e le proprietà di spazio di Hilbert, bra e ket ad un sistema quantistico semplice al fine di ricavarne delle informazioni non solo qualitative ma anche quantitative.
Per tanto vi chiedo di pazientare ancora un po’… solo fino alla prossima puntata…
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Ciao, voglio un chiarimento circa il calcolo delle componenti di | A >. Tu rappresenti |A> come somma del prodotto degli alpha i per il vettore della base i-esimo, e fin quì è chiaro. Poi, dici, “per calcolare le compnenti a i”, ma le componenti di | A > non sono alpha i?? Cosicchè, per calcolare le componenti si dovrebbe fare = alpha i. Grazie.
P.S. Ho indicato con alpha i, l’i-esimo elemento di A, e con a i, il vettore colonna con 1 alla riga i-esima, e zero nelle altre.
Michele
Ciao, voglio un chiarimento circa il calcolo delle componenti di | A >. Tu rappresenti |A> come somma del prodotto degli alpha i per il vettore della base i-esimo, e fin quì è chiaro. Poi, dici, “per calcolare le compnenti a i”, ma le componenti di | A > non sono alpha i?? Cosicchè, per calcolare le componenti si dovrebbe fare = alpha i. Grazie.
P.S. Ho indicato con alpha i, l’i-esimo elemento di A, e con a i, il vettore colonna con 1 alla riga i-esima, e zero nelle altre.
Michele
Ad un certo punto non si pubblica ciò che avevo scritto nel commento precedente. Volevo dire =alpha_i. Spero che sia uscito. Grazie.
Michele
Ciao Michele, grazie per l’osservazione.
In effetti c’è una piccola confusione nella notazione… nella scrittura , alpha3 rappresenta non la componente di A lungo un determinato vettore ma il vettore stesso. Nel caso in esempio rappresenta il vettore (0 0 1 0 0). Il prodotto di tale vettore per il ket A restituisce la componente di A lungo il vettore alpha3 che, per confondere un po le idee, ho richiamato alpha3.
Se pensi al caso vettoriale, noto il vettore per conoscere una delle sue componenti lungo un asse bisogna fare il prodotto scalare del vettore per il versore dell’asse lungo cui si vuole conoscere la componente. In questo caso fai la stessa cosa, un prodotto scalare tra un versore e un un ket (al posto del vettore).
Spero che la mia risposta sia stata chiara 🙂
Spett. Sig. Napolitano
trovo molto incisivo l’approccio alla Meccanica Quantistica quì proposto, approccio, come anche dichiarato, vicino a quello del prof. Susskind in “Meccanica Quantistica”. Tuttavia, se la trattazione viene condotta seguendo tale linea, ho la sensazione che c’è il rischio di perdere il “senso fisico” di quanto proposto. Ma mi spiego meglio. Sono un insegnante di matematica e fisica presso un liceo scientifico, mi sto ponendo il problema di una proposta didattica adeguata di contenuti di quantistica, personalmente preferirei proprio la Sua proposta, ma quanto di essa rimarrebbe nelle competenze dei ragazzi? (la prenda però come una domanda, non come una affermazione!). Forse sarebbe semplicemente il caso di proporre un approccio storico: corpo nero, effetto fotoelettrico, Compton, atomo di Bohr…? Ma anche qui si tratta semplicemente di aspetti non “di fondo” e che mettono appena in evidenza la peculiarità della fisica quantistica. Sarebbe interessante aprire anche un dibattito su tali aspetti. Grazie per l’attenzione
Vittorio
Salve Vittorio,
sono felice che lei abbia citato Susskind. Per me è stato il primo approccio alla meccanica quantistica ed è stata croce e delizia per il mio percorso in questa materia. Se da una parte mi ha dato una buona base dall’altra ha un pò “influenzato” il mio approccio ad essa. E’ comunque un libro che consiglio vivamente.
La sua domanda mi sembra perfettamente lecita e per nulla scontata. Il mio approccio, credo, sia completamente all’opposto di quello che dovrebbe avvenire in ambito didattico. Le voglio solo ricordare che questo è un sito di divulgazione scientifica che non vuole fare didattica, almeno io non voglio perché non ne sarei in grado. Volendo contestualizzare il suddetto articolo come gli altri della serie (spero che li abbia letti e che le siano piaciuti) posso dire che l’intento era quello di presentare un escursus generale su un aspetto della preciso della meccanica quantistica (stato di un sistema e scrittura matriciale) il tutto trattato in modo semplice (ma non superficiale) e in un numero di righe adeguatamente piccolo da poter consentire la lettura senza annoiarsi. Certo non si voleva strutturare un intero corso di meccanica quantistica cosa per la quale non sono minimamente preparato.
Per quanto riguarda gli aspetti didattici non posso che essere d’accordo con lei; a studenti, specialmente se di scuola superiore, andrebbero presentati in modo graduale, passo dopo passo seguendo idealmente il flusso di idee che ha portato dalla termodinamica di Boltzmann (si io partirei da li) fino agli sviluppi più recenti (entanglement e supersimmetria in primis senza dimenticare i condensati) passando per Bohr, Einstein e tutti gli altri. Capirà che fare tutto ciò richiede ben oltre le 1000 parole di cui è composto il mio articolo.
Purtroppo ho frequentato il liceo un bel pò di tempo fa, quando la meccanica quantistica era pura utopia e nessun docente si sarebbe mai sognato di spiegarla in classe; ma si sa i tempi cambiano, le scoperte si susseguono e i programmi si dovrebbero aggiornare di conseguenza. Risulta impensabile che si arrivi ancora all’elettromagnetismo e basta (se sbaglio mi corregga pure…). Da studente sarei stato felice di avere un docente così attento alle tematiche della fisica contemporanea.
In definitiva, purtroppo, non ho la soluzione definitiva al suo problema non so nemmeno se possa esistere una soluzione univoca. Come in tutte le cose posso solo suggerirle di procedere per passi, prima per macroaree e poi sempre più nei particolari; ma questo dice tutto e niente. Una tematica su tali argomenti andrebbe aperta di certo, sarebbe anche molto interessante, oltre che per noi, per tutti quelli che seguono il nostro sito e per i membri dello staff stesso alcuni dei quali sono direttamente toccati da questi argomenti.
Resto a sua disposizione per ogni ulteriore dubbio o considerazione ringrazindola per aver espresso il suo graditissimo parere.
D’accordo con i commenti precedenti sul libro di Susskind. Data tuttavia la difficoltà dell’argomento, soprattutto per chi non sia un fisico teorico, troverei utile che tale libro fosse integrato, al fine di un suo più facile ed efficace impiego ad uso didattico o divulgativo, da una raccolta di tutti gli esercizi svolti proposti nel libro. Qualcuno è a conoscenza che tale raccolta esista o è in grado di metterla a disposizione?
Gian Paolo
ci voleva un bel chiarimento come il vostro…molto apprezzato i passaggi da spazio vettoriale a Hilbert