Dopo le tecniche compositive basate su numeri irrazionali analizzate nella prima parte, vediamo ora il vero potenziale musicale delle strutture matematiche astratte, che è ciò di cui ci occupiamo nella ricerca in Mathematical Music Theory.

Dalla geometria alla musica

Certe strutture geometriche, in particolare grafi e complessi simpliciali, sono molto utili per visualizzare e studiare strutture musicali. Infatti, come scrisse il teorico della musica e compositore Dmitri Tymoczko nel suo libro “A Geometry of Music” (2011):

“La geometria può aiutare a sensibilizzare i rapporti che potrebbero non essere immediatamente apparenti nello spartito musicale. Questo è dovuto al fatto che la notazione musicale convenzionale si è evoluta per soddisfare le esigenze dell’interprete piuttosto che il pensatore musicale: è progettata per facilitare la traduzione dei simboli musicali in azione fisica piuttosto che favorire la chiarezza concettuale”

Ma non solo: a partire da studi puramente matematici su tali strutture geometriche è possibile “estrapolare” idee compositive. Partiamo dalla definizione di grafo. Un grafo $$G = (V, E)$$ è un insieme di vertici $$V$$ e archi $$E$$, e ogni arco collega due vertici.

Figura 3: Un grafo $$G = (V, E)$$, dove $$V = \{a, b, c, d, e, f, g\}$$ è l’insieme dei vertici, $$E = \{e_{i}| 1 \le i \le 11\}$$ è l’insieme degli archi.

I teorici della musica sono soliti utilizzare due tipi di grafi:

• quelli basati su accordi, cioè in cui ogni vertice rappresenta un intero accordo [3];
• quelli basati su note, dove cioè ogni vertice rappresenta una nota [4].

Il grafo musicale più famoso è il Tonnetz, un grafo basato su note introdotto da Eulero nel Tentamen novae theoriae musicae [5], studiato da diversi musicologi del XIX secolo, come Arthur von Oettingen e Hugo Riemann [6].

Figura 4: Tonnetz

Essendo un grafo basato su note ogni vertice del Tonnetz rappresenta una nota. Ogni terna di vertici, adiacenti a due a due, individua un accordo di tre note chiamato triade. In particolare le triadi rappresentate sono di due tipi: minori e maggiori. Si tratta di un grafo musicale molto importante nell’analisi musicale poiché ogni riflessione di un triangolo rispetto ad un suo lato rappresenta una delle tre cosiddette operazioni neo-Riemanniane (P, L e R). Osserviamo, infatti, che ogni trasformazione fissa 2 note e sposta una nota di semitono o tono. Infatti i triangoli che condividono un lato rappresentano triadi che condividono due note, mentre la terza differisce solo di un semitono o di un tono.

Questo modello geometrico è dunque molto utile per descrivere la parsimonious voice leading, cioè la progressione di accordi che realizza la melodia e l’armonia di un brano musicale con movimenti “piccoli” delle note (pratica tipica di tantissimi generi musicali).

Grafi basati su note e grafi basati su accordi sono legati fra loro da una relazione di dualità. Dato un grafo planare $$G$$, il suo duale $$G^*$$ è un grafo in cui ogni vertice corrisponde a una faccia di $$G$$ e ognuna delle sue facce corrisponde ad un vertice in $$G$$. Due vertici in $$G^*$$ sono collegati da un arco se le facce corrispondenti in $$G$$ hanno un arco in comune. La proprietà di dualità garantisce che non ci sia perdita di informazioni concentrandosi su una delle due rappresentazioni geometriche.

Figura 5: Un grafo $$G$$ e il suo duale $$G^*$$

Il duale del Tonnetz è il Chicken-wire Torus di Douthett e Steinbach [7], e si tratta di un grafo basato su accordi i cui i vertici rappresentano triadi maggiori e minori, e gli archi identificano le operazioni musicali parsimoniose $$P$$, $$R$$ e $$L$$.

Figura 6: Chicken-wire torus: ogni vertice del grafo rappresenta una triade maggiore (in maiuscolo) o una triade minore (in minuscolo).

Dal punto di vista musicale, i cammini tra i vertici di questo grafo rappresentano progressioni di accordi che caratterizzano la parsimonious voice leading.

Il matematico-compositore Giovani Albini e il matematico-musicista Samuele Antonini hanno deciso di indagare più a fondo su questi cammini, perciò hanno classificato e analizzato tutti i cicli Hamiltoniani del Chicken-wire Torus [8]. I cicli Hamiltoniani di un grafo sono cammini chiusi che passano in ogni vertice del grafo, una ed una sola volta. Utilizzando questi cicli Hamiltoniani in una composizione si può modulare in tutte le possibili tonalità, senza ripetizione e con la certezza di tornare, alla fine del viaggio armonico, alla tonalità iniziale.

Uno dei più celebri passaggi di un brano musicale che utilizza (parte di un) ciclo Hamiltoniano è la Nona Sinfonia di Beethoven. Come originariamente indicato dal teorico della musica Richard Cohn [9], il noto compositore di Bonn ripete i due operatori $R$ e $L$ che corrispondono a un cammino a zig-zag nel Chicken-wire Torus. Nel secondo movimento, tra le battute 143 e 176, la progressione di accordi copre 19 delle 24 triadi maggiori e minori, che corrispondono ad uno dei cicli Hamiltoniani più simmetrici.

Il fatto di trovare tali cicli in compositori che sicuramente non conoscevano né grafi musicali né cicli Hamiltoniani mostra quanto essi siano naturali. Proprio per questo sono un utile strumento compositivo, e sono diversi i compositori contemporanei che hanno utilizzato progressioni di accordi dei cicli hamiltoniani nei loro brani musicali.

Lo stesso Albini ha fatto uso di questo processo matematico in tre corali. Troviamo altri esempi in canzoni del matematico-pianista-compositore Moreno Andreatta, come La sera non è la tua canzone (il cui testo è tratto dalla poesia di Mario Luzi). Per convincervi della naturale musicalità delle sequenze di accordi ottenute dai cicli Hamiltoniani consiglio l’ascolto di questa canzone attraverso la visione di un video di Gilles Baroin, realizzato utilizzando il suo modello Spinnen-Tonnetz [10] (il ciclo inizia al minuto 3:00 ed è evidenziato dal tratteggio).

Dopo aver letto e ascoltato tutto ciò siete ancora convinti che la matematica sia esclusivamente razionalità e la musica solo anarchica creatività?

Note

[3] Un accordo è un insieme di note suonate simultaneamente.

[4] Le note e gli accordi dei grafi sono indicati secondo la notazione anglo-tedesca: C=Do, D=Re, E=Mi, ecc…

[5] L’Accademia delle Scienze di Torino ha pubblicato la sua traduzione in Italiano. L’interessante introduzione è del musicologo Alvise De Piero.

[6] La branca della Mathematical Music Theory chiamata teoria neo-Riemanniana prende il nome dal musicologo Hugo Riemann, il quale non ha alcuna parentela con il matematico Bernard Riemann.

[7] J. Douthett, P. Steinbach, Parsimonious Graphs: A Study in Parsimony, Contextual Transformation, and Modes of Limited Transposition, Journal of Music Theory, 42/2, 1998.

[8] G. Albini, S. Antonini, Hamiltonian Cycle in the Topological Dual of the Tonnetz, Mathematics and Computation in Music, Proceedings of the International Conference MCM 2009, Communications in Computer and Information Science, vol 38, Springer, Berlin, Heidelberg, 2009.

[9] R. Cohn, Maximally Smooth Cycles, Hexatonic Systems, and the Analysis of Late Nineteenth-Century Triadic Progressions, Music Analysis, 15, 1996, pp. 9-40.

[10] G. Baroin, The Spinnen-Tonnetz: New Musical Dimensions in the 2D Network for Tonal Music Analysis, Mathematics and Computation in Music, Proceedings of the International Conference MCM 2015, Lectures Notes in Computer Science, Springer, London, Heidelberg, 2015.

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