Un linguaggio matematico per interpretare la giocoleria

Tutti abbiamo visto almeno una volta, al circo, al teatro o in piazza, un giocoliere fare uno spettacolo lanciando in aria delle palline. Ma perchè questa cosa ci impressiona?

Un qualsiasi giocoliere (non alle prime armi) riesce a giocolare contemporaneamente tre palline, nonostante egli possegga solo due mani (supponiamo, per semplificare, che sia possibile tenere solo una pallina in mano alla volta). Com’è possibile fare ciò?

Analizziamo per un momento l’animazione 1. Per prima cosa ci accorgiamo che ogni pallina viene lanciata da una mano all’altra (quindi da destra verso sinistra o da sinistra verso destra). Si nota facilmente inoltre che quando la pallina sospesa in aria sta per cadere il giocoliere ne lancia un’altra, giusto in tempo per liberare la mano ed afferarla. Questo principio, se iterato, permette al giocoliere di giocolare tre (o più) palline.

Animazione 1: la cascata

Il trick (trucco o esercizio) rappresentato nell’animazione 1 viene in gergo chiamato cascata con tre palline. Analizziamo ora l’animazione 2 e confrontiamola con l’animazione 1.

Animazione 2

In questo caso notiamo subito che il numero di palline è sempre 3, ma il trick è diverso. Osservando attentamente si nota che il giocoliere lancia le tre palline a tre altezze diverse.

Come è facile immaginare, esiste una grande varietà di combinazioni di trick, e se dovessimo assegnare un nome “tradizionale” ad ognuno di essi (come nel caso della cascata) richiederebbe un enorme sforzo di memoria per ricordarli tutti.

Per questo motivo Paul Klimek e Don Hatch, all’inizio degli anni Ottanta, hanno indipendentemente inventato un sistema di notazione per i trick di giocoleria chiamato siteswap. Questo sistema è stato poi esteso e sviluppato da altri giocolieri come Bruce Tiemann, Jack Boyce and Ben Beever.

Il siteswap è un sistema di notazione capace di descrivere tutti i trick di giocoleria di uno o più giocolieri con un qualsiasi numero di palline, sia che le palline vengano lanciate contemporaneamente dalle due mani o, come nel caso delle animazioni 1 e 2, una alla volta. Questo concetto di trick synchro e trick asynchro si capisce facilmente osservando le seguenti due animazioni.

Synchro

Asynchro

In questo articolo, per semplicità, descriveremo solo il cosiddetto Vanilla siteswap, ossia parleremo della notazione siteswap che ci permette di rappresentare tutti quei trick in cui le palline vengono lanciate da un giocoliere solamente (che usa entrambe le mani) ed in maniera asincrona, in altre parole, una alla volta.

Una limitazione

C’è da sottolineare però che questa rappresentazione ha una limitazione. Guardiamo le seguenti animazioni.

La cascata

Mill’s Mess

L’animazione a sinistra la conosciamo già, è infatti la cascata. Il trick a destra è sempre una cascata, ma è eseguito incrociando le mani alternativamente. Questo modo di fare i trick è chiamato in gergo Mill’s Mess. Secondo la notazione siteswap questi due trick sono identici. Infatti, con un po’ di concentrazione, si nota che il movimento delle palline rispetto alle mani nella seconda animazione è lo stesso della prima animazione.

In generale, quindi, il siteswap è in grado di descrivere i trick tenendo conto dell’altezza e la direzione in cui vengono lanciate le palline (una pallina può essere lanciata verso la mano opposta oppure verso la mano stessa) ma senza considerare il “come” viene eseguito il trick.

Un numero per ogni lancio

E’ il momento ora di addentrarci di più nell’argomento e capire come funziona il siteswap. Il concetto di base è molto semplice: ad ogni lancio di pallina viene assegnato un intero positivo che corrisponde al numero di tempi (a breve questo concetto sarà più chiaro) che la pallina impiega per compiere la sua traiettoria. Inoltre i numeri dispari indicano i lanci da una mano verso l’altra, i numeri pari indicano i lanci nella stessa mano e lo zero indica che per un tempo una mano rimane priva di pallina.

Per capirci meglio:

• Uno 0 indica un momento (un tempo) in cui una mano rimane senza pallina.
• Un 1 indica un lancio immediato da una mano verso l’altra, nel mentre che la pallina è in aria non c’è tempo per le mani né di afferrare né di lanciare nessun’altra pallina.
• Un 2 indica un lancio (quasi inesistente) di una pallina nella stessa mano: durante questo lancio la mano in questione non ha il tempo di afferrare nessun’altra pallina, ma l’altra mano ha un tempo a disposizione per afferrare e lanciarne un’altra.
• Un 3 indica un lancio da una mano verso l’altra durante il quale le mani entrambe hanno il tempo di afferrare e lanciare una pallina ciascuno.
• Un 4 indica un lancio da una mano verso la stessa durante il quale la mano ha il tempo di fare un’altro lancio, mentre la mano opposta ha il tempo di fare altri due lanci (un totale di 3).

In un certo senso, dunque, i numeri rappresentano l’altezza con cui viene lanciata una pallina, ma è importante però sottolineare che questa è relativa alla velocità di esecuzione dei lanci. Infatti è possibile fare, per esempio, un lancio “5” sotto l’altezza della propria testa, se si giocola molto velocemente, oppure alto 3 metri, se si giocola molto lentamente.

Inoltre, come è facile intuire dalle animazioni viste in precedenza, i trick si ripetono. Cioè esiste un periodo dopo il quale il trick viene ripetuto (identicamente o simmetricamente). Con la notazione siteswap scriviamo solo i lanci che individuano il periodo del trick. Per esempio, nel trick 531531 il suo periodo è 531 e possiamo quindi omettere la parte ridondante e riscriverlo equivalentemente (e più comodamente) come 531.

Una volta chiariti questi concetti possiamo provare, come esercizio, a riconoscere alcuni trick:

3

51

423

531

4

71

5

7

753

97531

Non tutte le sequenze di numeri sono siteswap!

Una volta fatta dimestichezza nel visualizzare i siteswap proviamo ad immaginare di eseguire il seguente trick: 432. Dunque supponiamo di cominciare con la mano destra: un 4 viene lanciato, cioè viene lanciata una pallina dalla mano destra che ricadrà poi nella stessa mano. Subito dopo la mano sinistra esegue un 3, ovvero lancia una pallina con traiettoria obliqua verso l’altra mano. Mentre queste due palline sono in aria, la destra esegue un 2, in altre parole si tiene una pallina nella mano per un tempo. Quello che succederà nel tempo successivo è che la mano destra si ritroverà con una pallina in mano (il 2) e con altre due palline (il 3 ed il 4) in caduta contemporaneamente verso di lei. Nel gergo del siteswap questo fenomeno viene chiamato collisione. Infatti la sequenza 432 non è eseguibile.

Come distinguere una sequenza eseguibile da una non eseguibile? Per fortuna esiste un teorema che ci da una condizione affinchè non ci siano collisioni ed in un certo senso caratterizza i siteswap.

Teorema di caratterizzazione dei siteswap

Una sequenza di numeri non negativi \(s_1s_2…s_n\) (dove \(n\) è il numero di cifre) è un siteswap eseguibile se \[s_i +i\mod n \ \neq \ s_j +j\mod n,\] per ogni \(i \neq j\) .

(Per chi non lo sapesse, l’operazione \(a\mod b\) ci restituisce il resto della divisione \(\frac{a}{b}\))

Ritornando all’esempio precedente, verifichiamo, utilizzando il teorema, che il siteswap 432 non è valido:

• \(4 + 1\mod 3 = 2\)
• \(3 + 2\mod 3 = 2\)
• \(2 + 3\mod 3 = 2\)

In caso otteniamo 2 per ogni cifra che compone la sequenza e, in accordo con il teorema, questo non è un siteswap valido. Ora invece proviamo ad applicare il teorema ad un siteswap valido che otteniamo permutando le ultime due cifre della sequenza precedente: 423

• \(4 + 1 \mod 3 = 2\)
• \(2 + 2 \mod 3 = 1\)
• \(3 + 3 \mod 3 = 0\)

E’ chiaro come questo siteswap in questo rispetti la condizione imposta dal teorema (e potete visualizzarlo in una delle animazioni di sopra).

Supponiamo adesso di avere un siteswap valido, per esempio 534. Quante palline servono per eseguirlo? Anche in questo caso la matematica ci aiuta con un altro teorema usatissimo dai giocolieri di tutto il mondo.

Teorema sul numero delle palline

Dato un siteswap valido \(s_1s_2…s_n\) (dove \(n\) è il numero di cifre), allora si ha che \[\frac{s_1+s_2…+s_n}{n}=\mbox{numero di palline}\]

Proviamo a calcolare quante palline servono per eseguire il siteswap 534:

\[\frac{5+3+4}{3}=\frac{12}{3}=4\] La risposta è 4 palline!

Per i più curiosi…

Pensate che questi trick siano solo fantascienza? Provate a vedere il video di sotto del giocoliere israeliano Ofek Snir nel quale esegue (tra le altre cose) dei siteswap tecnicamente difficilissimi con 7 palline

Come già specificato sopra, questo articolo parla solo del Vanilla siteswap. In realtà però esistono notazioni siteswap anche per le altre categorie di trick, ossia quelli synchro, quelli in cui una mano lancia più di una pallina contemporaneamente (in gergo multiplex) e quelli eseguiti da più di un giocoliere (in gergo passing). Ecco qualche esempio:

Multiplex: [53][32]2

Synchro: (6x,4)(4,6x)

Passing: < 4|4|5p1 >< 5p2|5p1|3 >< 4p3|3p3|3p2 >

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