Il mondo agli occhi di un matematico: cos’è un’equazione differenziale?

 di Pierandrea Vergallo, Chiara Errico

Una zebra a pois

Nell’era dell’informatizzazione del sapere, dello sviluppo esplosivo del digitale e della più moderna robotica sembra si sia ormai consolidata la certezza che la matematica rappresenti un aspetto essenziale del continuo progredire della nostra società. Fin dai primi anni di scuola gli studenti sono portati a convincersi (o almeno così si spererebbe) che la matematica è alla base di ogni attività umana , che qualsiasi fenomeno può essere dettagliatemente descritto tramite i numeri e che uno studio approfondito di questa materia suggerisce infinte risposte a domande via via sempre più complesse.
Si pensi che il fisico Galileo Galilei descrisse la matematica come

“l’alfabeto nel quale Dio à scritto l’universo”

e la geometria come i tasselli che compongono la nostra realtà. Possiamo dire che la matematica è ovunque: nei tasti di un telefono quando li digitiamo, in una lampadina che si accende, nella riproduzione di una canzone, nel nostro telefonino, nelle onde del mare, nel modo in cui tagliamo una torta… Pian piano che prendeva forma gli studiosi tutti hanno iniziato a trattare questa disciplina come una scienza esatta (non, come si suol dire, come un’opinione!), in grado di dare risposte alle più svariate domande. Gli economisti, i biologi, i fisici, gli ingegnieri utilizzano abitualmente metodi matematici per descrivere con formalismo e correttezza ciò di cui vogliono parlare.

Un quesito resta, però, evidentemente aperto: in che modo questa disciplina è insita in tutto ciò che ci circonda? Dov’è la matematica, per esempio, nel volo di un aereo o nella colorazione del manto di una zebra o di una giraffa?

Cos’è un’equazione differenziale?

Per descrivere la maggior parte dei fenomeni di tipo fisico, sociale ed economico la matematica si serve di uno strumento essenziale ed esplicito che permetta di elaborare il problema nel linguaggio dei numeri e delle leggi che li regolano. Questo strumento è noto con il nome di equazione differenziale.

Tramite equazioni differenziali si sono potuti descrivere un numero enormi di fenomeni, anche apparentemente lontani dall’idea di matematica fatta con i numeri. E’ il caso della biomatematica, in grado di dar risposta ad alcune “scelte inspiegabili” che la Natura ha preso nell’evoluzione delle specie o delle popolazioni. Ecco perché, ad esempio, le equazioni differenziali ci descrivono come mai una zebra ha un così singolare manto.

Supponiamo già chiara, nel lettore, l’idea di funzione e considieriamo $$f:X\subseteq\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$ una funzione reale di variabile reale, definita sul dominio $$X$$.

Spesso, l’obiettivo di un analista è quello di studiare in dettaglio il grafico della funzione $$f$$ e di capirne, quindi, l’andamento. Per fare ciò ci si serve di un operatore di fondamentale importanza chiamato derivata. La derivata di una funzione $$f$$, anche indicata con $$f’$$ garantisce in termini matematici di studiare quanto cresce o diminuisce una funzione. Essa rappresenta l’inclinazione della retta tangente al grafico di $$f$$ e, più semplicemente, stabilisce l’incremento della funzione al variare dei punti nel dominio.
Per maggiorni dettagli si invita il lettore a consultare un manuale di Analisi Matematica o, per rapidità, anche un’enciclopedia online.

Ora, un’equazione differenziale è un’ugualianza tra espressioni dove le incognite sono proprio le nostre funzioni $$f$$. Per fare ciò si presentano, spesso, anche le derivate di $$f$$ che garantiscono una soluzione alla nostra equazione.
Una delle più note e semplici equazioni di questo tipo è la seguente $$f'(t)=5$$
dove la funzione $$f(t)$$ rappresenta la nostra incognita ed $$f'(t)$$ la sua derivata.
Utilizzare equazioni differenziali permette di descrivere innumerevoli fenomeni e trovarne una soluzione definisce nello specifico una condizione di realizzazione dello stesso. Ad esempio, risolvendo l’equazione precedente si ottiene un insieme di soluzioni della forma

$$f(t)=5t+c$$

ciò significa che il problema in considerazione è descritto da un andamento lineare, cioè da una semplice retta.
Al variare di $$c$$ (numero reale) si possono descrivere infinite soluzione della nostra equazione tutte parallele tra loro.

Fissare un dato iniziale

Come si può notare dalla figura le soluzioni della nostra semplice equazione sono frutto della scelta arbitraria del parametro $$c$$. Infatti, per $$t=0$$ la funzione risulta $$f(0)=c$$ che rappresenta l’intersezione di $$f$$ con l’asse delle $$y$$ (ordinate). Pertanto, facendo variare “la grandezza” di $$c$$ in maniera opportuna possiamo descrivere tutte le rette parallele tra loro. Ognuna di esse soddisfa la nostra equazione.
Ma allora in che modo possiamo scegliere una di queste soluzioni che descriva in maniera soddisfacente il fenomeno in esame?
E’ ovvio che tanto in natura quanto in economia è necessario determinare una sola di queste soluzioni.
Ci viene in aiuto, quindi, il concetto di dato iniziale che affiancato ad un’equazione differenziale, da origine al ben noto Problema di Cauchy. La condizione iniziale rappresenta un punto per cui la soluzione deve certamente passare.
Ad esempio, nel nostro caso se avessimo avuto un dato sperimentale per cui sicuramente $$f(0)=2$$, avremmo potuto fissare in maniera univoca una ed una sola delle infinite soluzioni trovate, determinando l’unica passante per il punto $$(0,2)$$. Nel nostro caso $$2=f(0)=c$$ cioè $$c=2$$. La nostra unica soluzione è quindi $$f(t)=5t+2$$

Il caso di Shrek: ma quando arriviamo?

Nel famoso cartone animato della Pixar “Shrek”, uno dei protagonisti, l’asinello Ciuchino, chiede insistentemente durante un lungo viaggio quando sarebbero arrivati a destinazione. Shrek e la sua povera moglie, non avendo conoscenza delle nostre equazioni differenziali, non sanno dare una risposta. Noi, invece, possiamo dire molto riguardo lo spostamento di un’auto o una carrozza e potremmo, persino, prevedere il tempo di arrivo. Se ci fossimo stati noi al posto del povero Shrek avremmo potuto dare una secca risposta all’assordante “siamo arrivati?” dell’asinello.
Riprendiamo, pertanto, l’equazione studiata nei precedenti paragrafi: $$f'(t)=5$$ e cerchiamo di collocarla all’interno della vita reale, cioè analizzandola dal punto di vista fisico.

Indichiamo con $$f(t)$$ la posizione di un corpo (un’auto, ad esempio, o una curiosa carrozza!) nell’istante di tempo $$t$$. Possiamo immaginare di voler studiare dove si trovi un’auto in un determinato momento temporale ($$t_0$$) conoscendone la velocità: vogliamo, quindi, scoprire il valore della funzione $$f(t_0)$$. Sembra che equazioni di questo tipo facciano proprio al caso di Shrek!
L’equazione precedente indica con $$f'(t)$$ la velocità (costante) che il corpo mantiene lungo il tragitto. Pertanto, trovare da quest’equazione l’espressione di $$f$$ ci permette, inserendo il tempo $$t_0$$ scelto nel problema, di ottenerne la posizione.
risolvendo, otteniamo $$f(t)=5t+c$$ come già visto nei paragrafi precedenti. Questo è un insieme di soluzioni plausibili che, però, non ci fa capire ancora quale specifica espressione di $$f$$ sia quella relativa alla nostra auto. Quanto vale quindi $$c$$?
Supponiamo, allora, di possedere come dato iniziale la posizione dell’auto al momento della partenza. Questa condizione ha senso nella vita di ogni giorno, infatti pur conoscendo la velocità di un corpo che si sposta non possiamo capire dove questo si troverà ad un’ora dalla sua partenza senza sapere da dove è partito.
Pertanto, prendendo l’istante di partenza $$t_0=0$$ e assumendo che la nostra auto si trovi a 2 km dal centro (dall’origine del nostro sistema di riferimento) possiamo ottenere la soluzione come calcolato poco fa:

$$f(t)=5t+2$$

Se, quindi, volessimo scoprire dopo 3 ore dalla partenza dove si colloca la nostra auto, basta sostituire $$t_0=3$$ nell’espressione di $$f(t)$$ trovata e calcolare: $$f(3)=5\cdot 3km+2km=17km$$ cioè essa si collocherà a 17 km dal centro fissato.

Conclusione

L’importanza delle equazioni differenziali risiede, quindi, in tutti quei problemi reali da formalizzare tramite la matematica.
Il nostro precedente esempio è, in concreto, davvero una piccola parte rispetto alla potenza tecnica e alla profondità che un’equazione differenziale ha insita in sé.
Nello specifico, equazioni differenziali nella biologia (come quella di Lotka e Volterra), nella fisica (come quella di Schroedinger) e nell’economia (come quella di Keynes) hanno, nel loro campo, cambiato il modo di vedere le cose e, indirettamente, anche po’ il nostro mondo.

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