Il paradosso di “Achille e la Tartaruga” è il paradosso di Zenone più famoso, proposto nel V sec. a.C. da Zenone di Elea per difendere le tesi del suo maestro Parmenide, che sosteneva che il movimento fosse un’illusione e che la realtà fosse costituita da un Essere unico e immutabile.
Zenone formulò 4 argomentazioni contro il movimento (lo stadio, Achille e la Tartaruga, la freccia, due masse nello stadio) con lo scopo di dimostrare l’impossibilità del moto, nonostante quanto percepito quotidianamente.
Le argomentazioni di Zenone si basano su riduzioni all’assurdo, cioè tendono a confutare un’ipotesi assumendola inizialmente come vera e facendo poi vedere con un ragionamento che da quell’ipotesi segue necessariamente una contraddizione e pertanto deve essere rifiutata. Tale modalità di argomentare è derivata da un metodo di dimostrazione molto comune in matematica: la dimostrazione per assurdo.
Di seguito la famosa formulazione dello scrittore argentino Jorge Luis Borges:
“Achille, simbolo di rapidità, deve raggiungere la tartaruga, simbolo di lentezza. Achille corre dieci volte più svelto della tartaruga e le concede dieci metri di vantaggio. Achille corre quei dieci metri e la tartaruga percorre un metro; Achille percorre quel metro, la tartaruga percorre un decimetro; Achille percorre quel decimetro, la tartaruga percorre un centimetro; Achille percorre quel centimetro, la tartaruga percorre un millimetro; Achille percorre quel millimetro, la tartaruga percorre un decimo di millimetro, e così via all’infinito; di modo che Achille può correre per sempre senza raggiungerla“
La conclusione di Zenone si basa sull’assunzione (errata) che la somma di un numero infinito di termini diverge sempre.
Nel caso di Achille si ha la seguente somma infinita:
$$10 + 1 + 0,1 + \dots = 11,111\dots = 11 + \frac{1}{9}$$
che equivale a dire che Achille raggiunge la tartaruga in poco più di un secondo, quindi in un tempo finito.
Ovviamente il buon Zenone non aveva a disposizione gli strumenti opportuni per potersi accorgere dell’errore e risolvere il paradosso; infatti il sistema numerico greco ($$\alpha =1, \beta = 2$$, etc.) rendeva particolarmente complicati i calcoli.
Con questo paradosso si evidenziano le prime difficoltà nell’essere rigorosi nei ragionamenti riguardanti l’infinito, mostrando come anche casi concreti (come lo spostamento di oggetti) potessero mostrare una particolare complessità e come la loro formalizzazione matematica fosse tutt’altro che banale.
E’ solamente nel 1.700 d.C, con il concetto di serie matematica, che viene dato rigore scientifico alla somma infinita di addendi, di cui Zenone aveva percepito la difficoltà di calcolo.
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