Introduzione

Abbiamo visto in due post precedenti(che potete trovare qui parte 1 e parte 2) come le sospensioni di una vettura possono essere descritte matematicamente con un equazione differenziale.

Da un punto di vista pratico abbiamo semplificato dicendo che sospensione e pneumatico sono un solo elemento dotato di una massa $$m$$, una rigidezza $$k$$ e uno smorzamento $$c$$.

Abbiamo visto che per descrivere il sistema in esame ci è bastata una sola variabile che abbiamo chiamato $$x$$. La conoscenza di questa sola variabile, intesa come spostamento del sistema, e delle sue derivate prima e seconda ci ha permesso di descrivere il comportamento del sistema in un vasto range di situazioni. Il fatto che una sola variabile fosse sufficiente a definire le stato del sistema fa si che esso venga detto “ad un grado di libertà”, 1DOF (1 degree of freedom) se volete dirlo in modo cool!

Il prossimo step, invece, consiste nel superare questa semplificazione e studiare un sistema composto da due elementi; la sospensione propriamente intesa e lo pneumatico.

In questo modo la sospensione sarà dotata di un proprio set di parametri $$m_s$$, $$k_s$$ e $$c_s$$ (dove il pedice s sta per sospensione appunto) e lo pneumatico avrà un diverso set di paramatri $$m_p$$, $$k_p$$ e $$c_p$$ ( a voi indovinare cosa voglia significare il pedice p). In questo sistema avremo anche due spostamenti da studiare, uno per la sospensione $$x_s (t)$$ e uno per lo pneumatico $$x_p (t)$$.

A questo punto dobbiamo scrivere due equazioni, una per ogni sistema, in due incognite (lo spostamento di ogni sistema). Essendoci due variabili in gioco si ottiene che il sistema in esame possiede 2 gradi di libertà (2DOFs), uno per ogni variabile.

Prima di fare ciò diamo un occhiata a come il sistema può essere rappresentato graficamente.

Equazione del sistema

Il sistema rappresentato sopra è governato da due equazioni (una per $$x_1$$ ed una per $$x_2$$) che sono tra loro accoppiate. La forma che queste equazioni assumono è la seguente

$$m_1 \ddot{x_1}(t) + c_1 \dot{x_1}(t) + k_1 x_1(t) – c_2 [\dot{x_2}(t) – \dot{x_1}(t)] – k_2 [x_2(t) – x_1(t)] = F_1(t)$$

$$m_2 \ddot{x_2}(t) + c_2 [\dot{x_2}(t) – \dot{x_1}(t)] + k_2 [x_2(t) – x_1(t)] = F_2(t)$$

le 2 equazioni possono essere riscritte in una forma più leggibile

$$m_1 \ddot{x_1}(t) + (c_1 + c_2) \dot{x_1}(t) – c_2 \dot{x_2}(t) + (k_1 + k_2)x_1(t) – k_2 x_2(t) = F_1(t)$$

$$m_2 \ddot{x_2}(t) – c_2 \dot{x_1}(t) + c_2 \dot{x_2}(t) – k_2 x_1(t) + k_2 x_2(t) = F_2(t)$$

Molto più semplice vero? Quello che va subito notato è il fatto che nella prima equazione compare $$x_2$$ e la sua derivata prima e che nella seconda equazione compare $$x_1$$ e la sua derivata prima. Questo fa sì che le due equazioni sono accoppiate tra di loro e che non sia possibile risolverle in modo separato. Vanno studiate e risolte insieme.

Un ulteriore passo verso la risoluzione del sistema può essere fatta utilizzando un approccio matriciale per descrivere il sistema in esame. Partiamo con alcune definizioni

$$[m] = \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix} $$

$$[c] = \begin{bmatrix} c_1 + c_2 & -c_2 \\ -c_2 & c_2 \end{bmatrix} $$

$$[k] = \begin{bmatrix} k_1 + k_2 & -k_2 \\ -k_2 & k_2 \end{bmatrix} $$

Oltre queste tre matrici dobbiamo definire due vettori colonna relativi alle forze e agli spostamenti

$${x(t)} = \begin{Bmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \end{Bmatrix} $$

$${F(t)} = \begin{Bmatrix} F_1 (t) \\ F_2 (t) \end{Bmatrix} $$

Combinando insieme le matrici e i vettori colonna possiamo esprimere le due equazioni che governano il sistema in una forma matriciale consona del tipo

$$[m]{\ddot{x}(t)} + [c]{\dot{x}(t)} + [k]{x(t)} = {F(t)}$$

Ecco, ora abbiamo un espressione per il sistema semplice ed elegante facile da ricordare.

Risposta libera del sistema

Come abbiamo fatto precedentemente studieremo il sistema da due diversi punti di vista. Prima studieremo la risposta libera del sistema quando nessuna forzante agisce su di esso; poi applicheremo una forzante esterna al sistema.

Rimbocchiamoci le maniche e iniziamo lo studio del sistema.

Per il caso di sistema libera occorre fare un ulteriore ipotesi, quella di smorzamento nullo, ovvero

$$c_1 = c_2 = 0$$

In questo particolare caso non esistono forzanti esterne che possono immettere energia nel sistema ne tanto meno esistono metodi per dissipare l’energia del sistema, per tale motivo il sistema viene detto conservativo.

Essendoci smorzamento nullo e forzanti nulle la coppia di equazioni che governano il sistema può essere riscritta come

$$m_1 \ddot{x}_1 (t) + k_11 x_1 (t) + k_12 x_2 (t)=0$$

$$m_2 \ddot{x}_2 (t) + k_12 x_1 (t) + k_22 x_2 (t)=0$$

Dove gli elementi $$k_11$$, $$k_12$$, e $$k_22$$ sono gli elementi della matrice di rigidezza $$K$$.

La prima considerazione doverosa da fare è che il sistema sopra riportato è omogeneo. Questo implica che data una coppia di funzioni $$x_1 (t)$$ e $$x_2 (t)$$ che soddisfano il sistema ogni funzione del tipo $$ax_1 (t)$$ e $$ax_2(t)$$ è soluzione del sistema. Ovvero, detto in altre parole, la soluzione del sistema omogeneo è nota a meno di una costante di ampiezza.

La seconda considerazione è che tra tutte le soluzioni possibili del sistema siamo interessati ad una in particolare chiamata di moto sincrono. Cosa vuol dire moto sincrono? Nel moto sincrono avviene che $$x_1 (t)$$ e $$x_2 (t)$$ hanno la stessa dipendenza dal tempo, ovvero il loro rapporto è costante nel tempo, ovvero il sistema mantiene una forma fissa nel tempo ma con possibile ampiezza variabile. In questo caso le possibili soluzioni del sistema possono essere scritte come

$$x_1 (t)=u_1 f(t)$$ $$x_2 (t)=u_2 f(t)$$

In entrambe le soluzioni compare la stessa funzione $$f(t)$$ ad indicare la medesima dipendenza dal tempo mentre le due costanti $$u_1$$ ed $$u_2$$ non sono altro che un ampiezza. Se sostituiamo le soluzioni sopra riportate nel sistema delle due equazioni omogenee otteniamo che

$$m_1 u_1 \ddot{f}(t)+(k_11 u_1 + k_12 u_2)f(t)=0$$

$$m_2 u_2 \ddot{f}(t) + (k_12 u_1 + k_22 u_2)f(t)=0$$

affinché il sistema abbia soluzioni, ed in particolare abbia soluzione sincrona, deve avvenire che

$$\frac{\ddot{f}(t)}{f(t)}=\frac{k_11 u_1 + k_12 u_1}{m_1 u_1} = \frac{k_12 u_1 + k_22 u_2}{m_2 u_2} = \lambda$$

dove va notato che $$\lambda$$ è un numero reale essendo essa combinazione di soli numeri reali.

La soluzione sincrona acquista la forma compatta di

$$\ddot{f}(t) + \lambda f(t)=0$$

una forma decisamente più compatta ed elegante delle precedenti. Se sostituiamo tale forma nel sistema di equazioni omogenee e con smorzamento nullo visto prima otteniamo la seguente coppia di equazioni

$$(k_{11} – \lambda m_1)u_1 + k_{12} u_2 =0$$

$$k_{12} u_1 + (k_{22} – \lambda m_2)u_2 = 0$$

Supponiamo ora che la soluzione $$f(t)$$ abbia una forma del tipo

$$f(t)=Ae^{st}$$

ovviamente deve essere

$$s^2 + \lambda = 0$$

che a sua volta implica che $$s$$ possiede due soluzioni

$$s_1=\sqrt{-\lambda}$$ $$s_2=-\sqrt{-\lambda}$$

si dimostra senza troppe difficoltà che $$\lambda$$ oltre ad essere reale come detto prima deve anche essere positivo.

Assunto che $$\lambda$$ sia reale e positivo possiamo ancora fare un ulteriore trasformazione ponendo

$${\lambda} = {\omega}^2$$

da cui derivano le seguenti espressioni per $$s_1$$ e $$s_2$$

$$s_1 = i\omega$$ $$s_2 = -i\omega$$

conoscendo le espressioni per $$s_1$$ e $$s_2$$ possiamo scrivere $$f(t)$$ come

$$f(t) = A_1 {e}^{i\omega t}+A_2 {e}^{-i\omega t}$$

Che a sua volta diventa

$$f(t) = (A_1 + A_2) \cos{\omega t} + i(A_1 – A_2) \sin{\omega t}$$

e ponendo

$$A_1 + A_2 = C \cos{\phi}$$

$$i(A_1 – A_2)=C \sin{\omega t}$$

sostituendo le espressioni riportate sopra si ottiene che $$f(t)$$ può essere scritta come

$$f(t) = C \cos{\omega t – \phi}$$

dove $$C$$ è una costante arbitraria, $$\omega$$ è una frequenza e $$\phi$$ una fase.

L’ultimo passaggio, quello anche più importante di tutti, sarà di rispondere ad una domanda davvero specifica. Ma prima di formulare la domanda, dobbiamo richiamare un concetto importante espresso poco fa. Abbiamo detto che in tutto il nostro gioco di sostituzioni matematiche vale la seguente relazione

$${\lambda} = {\omega}^2$$

la domanda da porsi, dunque, è la seguente: $$\omega$$ può assumere qualsiasi valore vogliamo o assume solo un limitato set di valori possibili?

Sicuramente la domanda è molto interessante e la risposta è che $$\omega$$ può assumere solo specifici valori, un numero davvero ristretto a dire il vero. $$\omega$$ può assumere tanti valori quanti sono i gradi di libertà del sistema e dunque in questo caso $$\omega$$ può assumere soltanto due valori.

In questo specifico caso possiamo sostituire l’espressione di $$\omega$$ nel sistema riportato in precedenza ottenendo

$$(k_{11} – {\omega}^2 m_1)u_1 + k_{12} u_2 =0$$

$$k_{12} u_1 + (k_{22}-{\omega}^2 m_2)u_2 = 0$$

Questo problema è noto nell’algebra come problema agli autovalori ed ammette soluzione se e soltanto se

$$\det \begin{bmatrix} k_11-\omega^2m_1 & k_12 \\ k_12 & k_22-\omega^2m_2 \end{bmatrix} = 0$$

risolvendo il su detto determinante si ottiene un equazione di secondo grado la cui unica incognita è $$\omega$$ per cui le soluzioni diventano

$$\omega_1^2 = \frac{1}{2} \frac{m_1 k_{22} + m_2 k_{11}}{m_1 m_2} + \frac{1}{2} \sqrt{(\frac{m_1 k_{22} + m_2 k_{11}}{m_1 m_2})^2 – 4 \frac{k_{11} k_{22} – k_{12}^2}{m_1 m_2}}$$

$$\omega_2^2 = \frac{1}{2} \frac{m_1 k_{22} + m_2 k_{11}}{m_1 m_2} – \frac{1}{2} \sqrt{(\frac{m_1 k_{22} + m_2 k_{11}}{m_1 m_2})^2 – 4 \frac{k_{11} k_{22} – k_{12}^2}{m_1 m_2}}$$

Per cui abbiamo in un colpo solo verificato che $$\omega$$ può assumere solo pochi specifici valori e abbiamo trovato un espressione per questi valori  nel caso proposto di sistema a 2 gradi di libertà.

Siamo oramai quasi arrivati alla fine di questa sezione; un ulteriore piccolo sforzo è richiesto.

Quando abbiamo introdotto la funzione $$f(t)$$ abbiamo anche introdotto $$u_1$$ e $$u_2$$. Fino ad ora non abbiamo detto nulla su di loro. Rimediamo subito dicendo due cose.

La prima è che essendo costanti arbitrarie solo il loro rapporto può essere calcolato. La seconda è che esistono due valori di $$u_1$$ ed $$u_2$$ ognuno relativo ad un possibile valore di $$\omega$$. Per cui abbiamo a che fare con $$u_{11}$$ e $$u_{12}$$ e ancora con $$u_{21}$$ ed $$u_{22}$$ anche.

I valori di $$u_{11}$$, $$u_{12}$$ e $$u_{21}$$, $$u_{22}$$ non possono essere determinati in assoluto ma quello che può essere determinato sono i loro rapporti. Per cui otteniamo che

$$\frac{u_{21}}{u_{11}} = \frac{k_{11} – \omega_1^2 m_1}{k_{12}} = \frac{k_{12}}{k_{22} -\omega_1^2 m_2}$$

$$\frac{u_{22}}{u_{12}} = \frac{k_{11} – \omega_2^2 m_1}{k_{12}} = \frac{k_{12}}{k_{22} -\omega_2^2 m_2}$$

Come i valori di $$\omega_1^2$$ ed $$\omega_2^2$$ sono chiamati autovalori del sistema cosi le coppie $$u_{11}$$, $$u_{21}$$ e $$u_{22}$$, $$u_{12}$$ sono chiamati autovettori del sistema. Ogni coppia autovalore più autovettore viene chiamata comunemente modo proprio del sistema.

In generale possiamo dire che gli autovalori ci dicono a quali frequenze il moto sincrono (lo abbiamo descritto sopra) è possibile mentre gli autovettori ci indicano la forma del sistema (a meno di una costante) in quella particolare configurazione.

Quanto detto fino ad ora sarà propedeutico per le prossime sezione che andremo ad analizzare. In particolare andremo a studiare in modo più dettagliato tre concetti fondamentali del sistema a 2 gradi di libertà. Il primo è quello relativo all’ortogonalità dei modi propri del sistema; il secondo riguarda la risposta del sistema ad una perturbazione iniziale; il terzo, in fine, riguarda la risposta del sistema ad una forzante esterna.

Prima di procedere dunque al prossimo punto una piccola anticipazione è d’obbligo. Cominciamo con il porre

$${u_1} = \begin{Bmatrix} u_{11} \\ u_{21} \end{Bmatrix} $$

$${u_2} = \begin{Bmatrix} u_{12} \\ u_{22} \end{Bmatrix} $$

In questo caso il moto del sistema, ovvero la sua ampiezza, varia nel tempo con la seguente relazione

$${x(t)}_1 = {u}_1 f_1(t)=C_1{u}_1 \cos{\omega_1 t – \phi_1}$$

$${x (t)}_2 = {u}_2 f_2(t)=C_2{u}_2 \cos{\omega_2 t – \phi_2}$$

il moto complessivo del sistema si ottiene come sovrapposizione dei moti delle sue singole parti; per cui si ottiene

$${x(t)} = {x_1(t)}+{x_2(t)}$$

se scriviamo $$u$$ in forma matriciale otteniamo

$$[u] = [{u}_1,{u}_2]=\begin{Bmatrix} u_{11} & u_{12} \\ u_{21} & u_{22} \end{Bmatrix} $$

e poi scriviamo $$f(t)$$ come vettore

$${f(t)}= \begin{Bmatrix} f_1(t) \\ f_2(t) \end{Bmatrix}$$

per cui l’espressione che descrive il moto del sistema si presenta nella forma davvero compatta di

$${x(t)} = [u]{f(t)}$$

Questo risultato ci porta per ora alla conclusione di questa parte sui modi propri del sistema ma ci torneremo presto quando parleremo di risposta ad un eccitazione iniziale e risposta ad una forzante esterna.

Per ora concentriamoci sul concetto di ortogonalità dei modi propri.

Ortogonalità dei modi propri

Il punto di partenza per la nostra dimostrazione sono le equazioni che abbiamo trovato in precedenza per esprimere i rapporti dei vettori modali $${u}$$ ma riscritti in una forma vettoriale compatta

$${u}_1 = u_{11}\begin{Bmatrix} 1 \\ -\frac{k_{11} -{\omega_1}^{2}m_1 }{k_{12}} \end{Bmatrix}$$

$${u}_2 = u_{12}\begin{Bmatrix} 1 \\ -\frac{k_{11} -{\omega_2}^{2}m_2 }{k_{12}} \end{Bmatrix}$$

 Quello che ci resta da fare è svolgere un pò di quella noiosa matematica che noi tutti odiamo. Il punto di partenza sono le espressioni di $$\omega_1$$ e $$\omega_2$$ che abbiamo ricavato precedentemente. Ai pochi lettori giunti fino a qui ricordiamo che le espressioni di $$\omega$$ sono le seguenti.

$$\omega_1^2 = \frac{1}{2} \frac{m_1 k_{22} + m_2 k_{11}}{m_1 m_2} + \frac{1}{2} \sqrt{(\frac{m_1 k_{22} + m_2 k_{11}}{m_1 m_2})^2 – 4 \frac{k_{11} k_{22} – k_{12}^2}{m_1 m_2}}$$

$$\omega_2^2 = \frac{1}{2} \frac{m_1 k_{22} + m_2 k_{11}}{m_1 m_2} – \frac{1}{2} \sqrt{(\frac{m_1 k_{22} + m_2 k_{11}}{m_1 m_2})^2 – 4 \frac{k_{11} k_{22} – k_{12}^2}{m_1 m_2}}$$

Quello che dobbiamo andare a risolvere ora è la seguente espressione

$${u}_2^T[m]{u}_1$$

Sostituiamo tutte le espressioni ricavate fino ad ora e otteniamo qualche cosa di complesso del tipo

$${u}_2^T[m]{u}_1=u_{11}u_{12}\begin{Bmatrix} 1 \\ -\frac{k_{11} -{\omega_1}^{2}m_1 }{k_{12}} \end{Bmatrix}\begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} 1 \\ -\frac{k_{11} -{\omega_2}^{2}m_2 }{k_{12}} \end{Bmatrix}$$

Per il beneficio di quei pochi lettori giunti a questo punto propongo di saltare ancora qualche noioso passaggio matematico. Chi è d’accordo alzi la mano!

E quindi all’unanimità abbiamo deciso di saltare questi passaggi matematici fino a giungere al risultato finale che ci porta a concludere che

$${u}_2^T[m]{u}_1=0$$

Questo vuol dire che i vettori $${u}_1$$ e $${u}_2$$ sono tra loro ortogonali. Ma non sono semplicemente ortogonali, tra di loro compare infatti la matrice di massa per cui possiamo a giusta ragione concludere che i vettori sono ortogonali rispetto alla massa.

La magia dietro questi concetti è che i vettori sono ortogonali anche rispetto alla matrice di rigidezza per cui si ottiene la seguente relazione

$${u}_2^T[k]{u}_1=0$$

Tra le matrici di massa e rigidezza sussiste una specifica relazione per  cui combinando le due equazioni insieme otteniamo un espressione molto più pulita ed elegante

$${u}_2^T[k]{u}_1=\omega^2_1{u}_2^T[m]{u}_1$$

Un equazione semplice che mette insieme tutto quanto espresso fino ad ora.

Quello che non si coglie in questo caso è la generalità dell’espressione riportata sopra e questo è dovuto al fatto che sussistono solo 2 modi di vibrare per il sistema (il sistema presenta 2 DOFs). Supponiamo di avere un sistema complesso che contiene molti modi di vibrare, che ne contiene moltissimi anche. Consideriamo due generici modi propri di questo sistema che indicheremo come $$i$$ e $$j$$. Siano dati due generici modi propri tra essi sussiste l’ortogonalità rispetto la matrice di massa e rigidezza ma anche vale la seguente relazione

$${u}_i^T[k]{u}_j=\omega^2_i{u}_2^T[m]{u}_j$$

Ma come possiamo usare questa informazione a nostro vantaggio?

Ripartiamo dall’equazione generale del moto del sistema

$$[m]{\ddot{x}(t)}+[k]{x(t)}=0$$

La funzione soluzione del sistema si può esprimere nella generica forma

$${x(t)}={u}_1q_1(t)+{u}_2q_2(t)$$

dove agli autovettori $${u}_1$$ e $${u}_2$$ si affiancano le funzioni $$q_1(t)$$ e $$q_2(t)$$ che sono dipendenti dal tempo e che devono essere in qualche modo determinate.

Tenendo conto della soluzione appena trovata e sostituendola nell’equazione del moto otteniamo

$$[m]({u}_1\ddot{q}_1(t)+{u}_2\ddot{q}_2(t))+[k]({u}_1q_1(t)+{u}_2q_2(t))=0$$

Ultimo passaggio da fare è moltiplicare prima per $${u}_1^T$$ e poi $${u}_2^T$$ considerando l’ortogonalità dei modi otteniamo la seguente coppia di equazioni

$$\ddot{q}_1(t)+\omega_1^2q_1(t)=0$$

$$\ddot{q}_2(t)+\omega_2^2q_2(t)=0$$

Voi vi chiederete quale è la differenza tra le espressioni di $$q_1$$ e $$q_2$$ rispetto a quelle trovate in precedenza per $$x_1$$ e $$x_2$$?

Beh la differenza è piccola ma importantissima. Le espressioni di $$x_1$$ e $$x_2$$ trovate in precedenza costituivano un sistema di due equazioni in due incognite da risolvere insieme essendo tra loro accoppiate. Le espressioni di $$q_1$$ e $$q_2$$ sono due equazioni differenti non accoppiate tra di loro e possono essere risolte separatamente, un trucco di magia non indifferente se si considera che siamo passati da un sistema di n equazioni (una per ogni grado di libertà) da risolvere insieme ad un insieme di n equazioni tra loro disaccoppiate e che possono essere  risolte in modo separato.

Ancora va tenuto in conto che $$q_1$$ e $$q_2$$ non sono altro che oscillatori armonici per cui otteniamo che

$${x(t)}={u}_1q_1(t)+{u}_2q_2(t)=C_1{u}_1\cos(\omega_1t+\phi_1)+C_2{u}_2\cos(\omega_2t+\phi_2)$$

L’espressione ricavata è identica a quella di prima a meno dell’introduzione degli autovettori del sistema. Questo ci porta alla logica conclusione che il moto di un sistema (in questo caso a 2 DOFs ma in generale dotato di un qualsivoglia numero di gradi di libertà) sia esprimibile come sommatoria dei modi propri moltiplicati per gli autovettori del sistema stesso.

 Risposta iniziale

Consideriamo il sistema riportato in precedenza. Come si comporta il sistema a seguito di una perturbazione iniziale?

In realtà abbiamo già questa risposta ed essa è contenuta nell’equazione di $${x(t)}$$ riportata sopra. Quello che ancora manca è conoscere le costanti coinvolte nelle equazioni. Le costanti in gioco sono quattro $$C_1$$, $$C_2$$, $$\phi_1$$, $$\phi_2$$ per tanto dobbiamo imporre quattro condizioni iniziali.

In particolare le condizioni che andremo ad imporre sono spostamento e velocità all’istante zero per entrambe le masse. Le quattro equazioni possono essere cosi espresse

$$x_1(0)=x_{10}=C_1u_{11}\cos{\phi_1}+C_2u_{12}\cos{\phi_2}$$

$$x_2(0)=x_{20}=C_1u_{21}\cos{\phi_2}+C_2u_{22}\cos{\phi_2}$$

$$\dot{x}_1(0)=v_{10}=C_1\omega_1u_{11}\sin{\phi_1}+C_2\omega_2u_{12}\sin{\phi_2}$$

$$\dot{x}_2(0)=v_{20}=C_1\omega_1u_{21}\sin{\phi_1}+C_2\omega_2u_{22}\sin{\phi_2}$$

Risolvendo il sistema composto da 4 equazioni in 4 incognite otteniamo i seguenti valori

$$C_1 = \frac{1}{det[u]}\sqrt{(u_{22}x_{10}-u_{12}x_{20})^2+\frac{u_{22}v_{10}-u_{12}v_{20}}{\omega_1^2}}$$

$$C_2 = \frac{1}{det[u]}\sqrt{(u_{11}x_{20}-u_{21}x_{10})^2+\frac{u_{11}v_{20}-u_{21}v_{10}}{\omega_2^2}}$$

$$\phi_1=\tan^{-1}\frac{u_{22}v_{10}-u_{12}v_{20}}{\omega_1(u_{22}x_{10}-u_{12}x_{20})}$$

$$\phi_2=\tan^{-1}\frac{u_{11}v_{20}-u_{21}v_{10}}{\omega_1(u_{11}x_{20}-u_{21}x_{10})}$$

Provare a graficare quanto accade al variare delle condizioni iniziali al sistema è un interessate esercizio. Per renderci conto di ciò che avviene proviamo a plottare il comportamento di un ipotetico sistema.

Consideriamo un generico sistema composto da due masse a cui viene imposto uno spostamento iniziale $$x_1(0)=x_{10}$$ e $$x_2(0)=x_{20}$$ ma nessuna velocità iniziale, ovvero $$\dot{x}_1(0)=v_{10}=\dot{x}_2(0)=v_{20}=0$$.

In questo caso otteniamo il seguente grafico

In questo caso vediamo come il moto delle due masse è la somma di due sinusoidi e si presentano certamente sfasate.

La domanda ora più importante è: cosa avviene quando si eccita il sistema con una forzante esterna? Andiamo a scoprirlo subito!

Risposta ad una forzante esterna

 Per capire come si comporta il sistema quando eccitato con una forzante esterna facciamo un passo indietro e torniamo alle equazioni che governano il moto del sistema

$$m_{11}\ddot{x}_1+m_{12}\ddot{x}_2+c_{11}\dot{x}_1+c_{12}\dot{x}_2+k_{11}x_1+k_{12}x_2=F_1(t)$$

$$m_{12}\ddot{x}_1+m_{22}\ddot{x}_2+c_{12}\dot{x}_1+c_{22}\dot{x}_2+k_{12}x_1+k_{22}x_2=F_1(t)$$

Il primo passo è di stabilire chi sono gli attori in gioco in questa equazione. Partiamo con il definire quali sono le forzanti esterne. Ovviamente queste forzanti sono delle funzioni esponenziali e possono essere scritte come

$$F_1(t)=F_1e^{i\omega t}$$

$$F_2(t)=F_2e^{i\omega t}$$

La risposta del sistema deve essere anch’essa armonica e può quindi essere scritta come

$$x_1(t)=X_1e^{i \omega t}$$

$$x_2(t)=X_2e^{i \omega t}$$

dove $$X_1$$ e $$X_2$$ sono generalmente numeri complessi.

Se sostituiamo le espressioni delle forzanti e della risposta all’interno delle equazioni che governano il sistema otteniamo che

$$(-\omega^2m_{11}+i \omega c_{11}+k_{11})X_1+(-\omega^2 m_{12}+i \omega c_{12} +k_{12})X_2=F_1$$

$$(-\omega^2m_{12}+i \omega c_{12}+k_{12})X_1+(-\omega^2 m_{22}+i \omega c_{22} +k_{22})X_2=F_1$$

Le quantità tra parentesi sono tutte generalmente uguali a parte gli indici per cui possiamo trovare una comune espressione

$$Z_{ij}(\omega)=-\omega^2m_{ij}+i \omega c_{ij}+k_{ij}$$

Il vantaggio di questa espressione è che possiamo riscrivere le due equazioni del sistema in esame in forma matriciale compatta, ovvero

$$[Z(\omega)]{X}={F}$$

Questa equazione sembra essere molto più compatta e semplice da gestire. A questo punto non dimentichiamoci che il nostro obbiettivo primario è di trovare gli spostamenti del sistema, ovvero il vettore colonna $${X}$$, questo può essere fatto portando la matrice $$[Z(\omega)]$$ a destra del segno di uguaglianza cosi da ottenre

$${X}=[Z(\omega)]^{-1}{F}$$

dove la matrice $$[Z(\omega)]^{-1}$$ è l’inversa della matrice originaria $$[Z(\omega)]$$.

Per completezza diciamo che la matrice $$[Z(\omega)]$$ è chiamata matrice di impedenza.

La matrice di impedenza è una matrice 2×2 ovvero una matrice quadrata con dimensione pari al numero di gradi di libertà del sistema

$$[Z(\omega)]=\begin{bmatrix} Z_{11} &Z_{12} \\Z_{21} &Z_{22} \end{bmatrix}$$

A questo punto abbiamo tutti gli elementi per calcolare la risposta in frequenza del sistema a seguito di una forzante esterna. Trovare la risposta del sistema vuol dire trovare un espressione per $$X_1(\omega)$$ e $$X_2(\omega)$$. Questo può essere fatto in funzione della matrice di impedenza ovvero

$$X_1(\omega)=\frac{Z_{22}(\omega)F_1-Z_{12}(\omega)F_2}{Z_{11}(\omega)Z_{22}(\omega)-Z_{12}^2(\omega)}$$

$$X_2(\omega)=\frac{1Z_{12}(\omega)F_1-Z_{11}(\omega)F_2}{Z_{11}(\omega)Z_{22}(\omega)-Z_{12}^2(\omega)}$$

Questo risolve il nostro dilemma di come calcolare la risposta del sistema ma non ci da alcuna informazione fisica su cosa faccia il sistema. Per renderci conto di quanto brutta possa essere la situazione guardiamo i grafici riportati di seguito.

I grafici mostrano la risposta del sistema a 2 gradi di libertà analizzato fino ad ora nel caso in cui lo smorzamento sia nullo. Questo caso non solo è più semplice ma fornisce anche uno spunto di riflessione interessante.

I grafici presentano un valore in finito quando la frequenza di eccitazione è uguale ad una delle due frequenze proprie del sistema. Questo caso viene comunemente chiamato risonanza. In questa particolare condizione si ottiene che il sistema presenta un ampiezza della risposta estremamente alta nonostante l’ampiezza della forzante sia piccola. Un vero problema per tutti i sistemi fisici e per gli ingegneri che li progettano. Infatti uno dei requisiti fondamentali nella progettazione di alcune strutture è che i modi propri (o autovalori, o frequenze proprie) siano lontani dalle frequenze tipiche di eccitazione.

Conclusione

Fino a qui è stato un lungo viaggio in cui abbiamo introdotto alcuni concetti davvero interessanti.

Siamo partiti da un sistema composto da due elementi e quindi dotato di due gradi di libertà. Abbiamo poi visto come questo sistema possiede dei modi propri ed in particolare il numero di modi propri eguaglia sempre il numero di gradi di libertà del sistema.

Abbiamo visto che a queste frequenze proprie sono collegati dei modi propri di vibrare di cui abbiamo studiato un importante proprietà: l’ortogonalità. Abbiamo poi visto come i modi propri e la proprietà di ortogonalità ci possano aiutare a studiare la risposta del sistema come somma dei singoli modi propri.

Abbiamo usato questo approccio per calcolare la risposta del sistema nel caso di un eccitazione iniziale non nulla e poi quando una forzante esterna viene applicata.

Nel prossimo post vedremo come tutti i concetti espressi in questo capitolo possono essere generalizzati ad un sistema con un qualsiasi numero di gradi di libertà senza quasi nessuna complicazione matematica.

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