Domenico Monaco è un ricercatore a tempo determinato in Fisica Matematica presso l’Università di Roma “La Sapienza”, dove ha studiato Matematica e dove è ritornato dopo il dottorato alla SISSA di Trieste, un postdoc a Tubinga in Germania, e un assegno di ricerca all’Università di Roma Tre. Si occupa di metodi matematici in meccanica quantistica, in particolare dello studio delle proprietà di trasporto di cariche elettriche in una classe di materiali detti isolanti topologici. Adora scovare briciole di matematica nella natura e nell’universo che ci circonda.
La pandemia da SARS-CoV-2 ha prodotto cambiamenti prima forse inimmaginabili nella nostra vita quotidiana e nella nostra attività sociale. I primi cauti segni di miglioramento hanno portato molti paesi occidentali ad entrare in una “Fase 2” della gestione dell’emergenza, e a un inizio della transizione verso il ritorno alla “normalità”. In questa fase di transizione, tuttavia, sarà necessario continuare a non abbassare la guardia nei confronti del contagio: questo comporta la necessità di adottare delle misure di sicurezza particolari anche negli ambiti lavorativi e di vita comunitaria alla quale, dopo una lunga quarantena, tutti aspiriamo a ritornare.
È su questo criterio che si basano una serie di documenti di recente pubblicazione da parte dell’INAIL e dell’Istituto Superiore di Sanità (ISS), volti a dettare una serie di linee guida per la corretta gestione, ad esempio, dei locali di ristorazione, degli stabilimenti balneari, e dei centri di cura della persona. In particolare, in questo contributo ci interessa soffermarci sul primo di questi documenti, datato 12/05/2020, che appunto regola il ritorno alle attività per i ristoranti. Fra le varie indicazioni, spicca quella che prevede di riservare 4 metri quadrati (m2) di spazio per ciascun cliente: l’intenzione di chi ha prodotto questa indicazione è chiaramente quella di garantire che ci sia sufficiente spazio fra gli avventori del ristorante, al fine di minimizzare la possibilità di trasmissione del virus tramite le oramai famigerate droplets prodotte durante la respirazione, la conversazione, i colpi di tosse e così via.
Molti ristoratori non hanno tuttavia accolto in maniera favorevole questa indicazione, lamentando che lasciare un’area di 4 m2 per cliente limita fortemente la capacità ricettiva, specie nei locali più piccoli. Viene quindi spontaneo (almeno a un matematico…) chiedersi quale sia la disposizione ottimale dei clienti da parte del ristoratore, che garantisca il rispetto delle norme indicate da INAIL e ISS ma allo stesso tempo massimizzi il numero di clienti che il ristorante può accogliere.
Figura 1: un quadrato di area 4 metri quadrati NON ha un lato di 4 metri…
La prima osservazione da fare è che le linee guida del documento INAIL-ISS si riferiscono a un’area da riservare a ciascun cliente (4 m2), piuttosto che indicare la minima distanza fra gli avventori (ad esempio 2 metri, una distanza comunemente considerata accettabile per diminuire il rischio di contagio in situazioni normali in luoghi chiusi). Questo permette di giocare sulla forma dell’area che si intende riservare al singolo cliente. Immaginiamo infatti che ogni cliente debba essere idealmente circondato da un quadrato di area 4 m2: questo vuol dire che il lato di tale quadrato dovrà essere pari a 2 m (e non di 4 m, come sembrano ritenere alcuni giornalisti della stampa italiana in base a quanto raffigurato nella foto qui accanto…), e che la distanza minima fra due persone poste idealmente in due quadrati adiacenti è anch’essa di 2 m. Questo è probabilmente il principio che ha spinto gli autori del documento già menzionato a proporre l’area di 4 m2 come riferimento.
Se invece però pensiamo che l’area riservata a ciascuna persona abbia forma circolare, otterremmo che per isolare un cerchio di 4 m2 attorno a ciascun cliente questo avrebbe un raggio pari a:
$$r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}=\sqrt{\frac{4m^2}{\pi}} \approx 1.13m$$
ricordando che “l’area del cerchio è raggio per raggio per pi greco”. Tale raggio impone a sua volta una distanza minima fra clienti di circa 2.26 m, maggiore (e quindi ancora più sicura!) di quella trovata prima per aree di forma quadrata. Tuttavia, l’intuizione geometrica (motivata dalla figura seguente) ci dovrebbe far avvertire che, dal punto di vista del ristoratore, l’area circolare non è da preferire all’area quadrata, in quanto cerchi vicini non si “incastrano” bene fra di loro, e lasciano tanto spazio “sprecato”, sacrificando la possibilità di accogliere nuovi clienti.
Figura 2: l’area grigia fra i cerchi appare “sprecata”
Ci stiamo avvicinando alla formulazione del problema in termini matematici più precisi, che ci permetteranno di arrivare anche a una soluzione. Poniamoci quindi più precisamente il dilemma del ristoratore, e stabiliamo le “regole del gioco”:
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il nostro obiettivo è di venire in aiuto al ristoratore, indicando una disposizione dei clienti all’interno del suo locale, di modo che il numero di clienti accolti nel ristorante sia massimo;
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il nostro vincolo (la “regola” a cui dobbiamo sottostare) è che ciascuno dei clienti sia circondato da un’area (di una certa forma) pari a 4 m2; vogliamo inoltre controllare che la distanza minima fra due clienti sia sufficiente a ridurre per quanto possibile il rischio di passaggio di droplets contenenti il coronavirus, al fine di rendere il locale più sicuro possibile;
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il nostro parametro libero (la “carta” che possiamo giocare a nostro piacimento) è la forma delle aree che circondano ciascun cliente (in linea di principio, non devono neanche essere tutte uguali fra di loro: potremmo circondare alcuni con quadrati, altri con rombi…).
Per cominciare ad approcciare il problema del ristoratore, indichiamo con $$d$$ la distanza minima fra due avventori del locale (questa quantità al momento è incognita). Se fissiamo l’attenzione su un singolo cliente, il fatto che $$d$$ sia la distanza minima implica in particolare che tutti gli altri avventori sono lontani almeno $$d$$ dal nostro cliente fissato. Pertanto, ciascun cliente è circondato da un cerchio vuoto di raggio $$d$$ attorno a sé, come illustrato nella figura seguente.
Figura 3: Tutti i clienti distano almeno $$d$$ l’uno dall’altro
Il nostro obiettivo si traduce quindi nello scegliere accuratamente la posizione dei centri di questi cerchi all’interno del locale, affinché da un lato all’interno del locale stesso entrino il maggior numero possibile di cerchi (ovvero di clienti), e dall’altro l’area lasciata libera attorno a ciascun cliente rimanga fissata a 4 m2. Per avanzare nel nostro ragionamento, risulta utile pensare ai clienti non più come centri di cerchi di raggio $$d$$ che si sovrappongono, bensì che i clienti si trovino al centro di cerchi di raggio $$d/2$$ che si toccano appena, ovvero che sono tangenti, come mostrato nella seguente figura.
Figura 4: i clienti all’interno di cerchi tangenti di raggio $$d/2$$
Possiamo finalmente riformulare la domanda del ristoratore come segue, ignorando per il momento il vincolo dei 4 m2 attorno a ciascun cliente: qual è la disposizione all’interno del locale di cerchi tangenti di raggio $$d/2$$ che ha densità massima, ovvero che garantisce il maggior numero di cerchi possibile per unità di area del locale?
Questo è un problema ben noto in matematica, che prende il nome di impacchettamento di cerchi (circle packing in inglese). La risposta a questo problema dipende in generale dalla forma del locale del ristorante, e può essere molto complicata e tutt’altro che banale. Per il momento, quindi, semplifichiamoci la vita, e da bravi matematici assumiamo un ristorante infinitamente esteso nel piano: con questa (insensata!) assunzione, ricaveremo comunque un ragionevole suggerimento da dare al nostro amico ristoratore.
Il problema dell’impacchettamento di cerchi nel piano fu risolto già nel 1773 (e senza neanche che ci fosse una pandemia di mezzo!) dal matematico italo-francese Giuseppe Luigi Lagrange. La risposta è che la disposizione di cerchi uguali di un certo raggio fissato con densità massima è quella che prevede di posizionare i cerchi a formare un reticolo esagonale, una disposizione che ricorda l’alveare delle api.
Figura 5: il reticolo esagonale realizza l’impacchettamento di cerchi con densità massima
La densità di tale impacchettamento è pari a $$\pi/ \sqrt{12} \approx 0.9069$$: questo vuol dire che, comunque fissiamo una porzione di piano di riferimento (purché sufficientemente grande), circa il 90.69% di essa è ricoperta dai cerchi. Per confronto, la densità di un impacchettamento di cerchi a formare un reticolo quadrato è pari a $$\pi/4 \approx 0.7854$$ (cioè il 78.54%), di gran lunga inferiore: disponendo per tanto i cerchi allineando i centri sia in verticale che orizzontale si “spreca” molto più spazio, come avevamo già intuito prima.
Ora che abbiamo risolto (almeno per ristoranti molto grandi) il nostro problema di “client packing” e compreso come sia conveniente disporre i clienti in un reticolo esagonale, cerchiamo di quantificare la distanza minima $$d$$ fra di essi, che finora è rimasta indeterminata, al fine di riservare un’area di 4 m2 per cliente. Osserviamo innanzitutto che, per questa disposizione ottimale, l’intera superficie del piano infinito è ricoperta da “tasselli” di forma esagonale, che non si sovrappongono fra di loro: tale ricoprimento è appunto detto tassellatura in matematica. Ciascuno di questi tasselli esagonali, come richiesto da INAIL e ISS, dovrà avere area di 4 m2.
Quanto vale allora la distanza minima $$d$$ fra i clienti?
Come detto all’inizio della discussione, $$d$$ corrisponde al doppio del raggio della circonferenza inscritta nell’esagono regolare in questione; il raggio $$d/2$$ è anche noto come apotema. Dalla geometria piana elementare sappiamo che questa grandezza è legata al lato $$l$$ dell’esagono dalla relazione $$d=\sqrt{3} l$$. A sua volta, il lato dell’esagono regolare è legato all’area dalla relazione $$A=\frac{3\sqrt{3}}{2}l^2$$ (e per l’area di 4 m$$^2$$ risulta quindi di circa 1.24 m); combinando le due espressioni, ricaviamo quindi che:
$$d=\sqrt{3} \sqrt{\frac{2A}{3\sqrt{3}}}=\sqrt{\frac{8m^2}{\sqrt{3}}}=2.15 m$$.
Questa distanza è persino maggiore dei 2 m trovati in precedenza nella disposizione dei clienti a formare un reticolo quadrato, quindi addirittura più sicura; la scelta oculata della disposizione dei clienti ha il vantaggio ulteriore di salvaguardare gli interessi del ristoratore.
Figura 6: esempio di disposizione ottimale dei tavoli, con gruppi da 2, 3, 4 e 6 persone, in un’area di 108 metri quadrati
Guardando la figura precedente, ci rendiamo conto di un limite dell’approccio fin qui delineato. Nella tassellatura esagonale, infatti, vi sono al più tre tasselli attorno a ogni vertice (i “punti di giunzione” dove gli esagoni si “incastrano” fra loro). Questo implica che la disposizione risulta efficace per accogliere tavolate piccole, da 2 o 3 persone, mentre per gruppi più grandi occorre sacrificare un intero tassello, che potrebbe altrimenti essere stato riservato a un altro cliente: nella figura, infatti, i tavoli da 4 o 6 persone devono necessariamente essere molto grandi, e ricoprire un esagono al centro della comitiva. Si può cercare di ovviare a questo problema? In altre parole, possiamo ricoprire il locale ristorante (possibilmente infinito) in modo da poter accogliere più persone attorno allo stesso tavolo, centrato su un vertice della tassellatura (usando quindi tavoli più piccoli)?
La risposta è affermativa! La tassellatura regolare del piano con più tasselli attorno a ciascun vertice (ben 6) è quella triangolare: i tasselli esagonali vengono rimpiazzati da aree a forma di triangolo equilatero attorno ad ogni cliente. (Per inciso, esiste solo un’altra tassellatura regolare del piano, ovvero un solo altro modo di ricoprire il piano con poligoni regolari congruenti fra loro: si tratta della tassellatura quadrata, in cui attorno ad ogni vertice si dispongono 4 tasselli quadrati).
Quanto vale in questo caso la distanza minima $$d$$ fra i clienti? Come prima, $$d$$ è la misura del diametro della circonferenza inscritta nel triangolo equilatero, pari a $$d=l/ \sqrt{3}$$ se $$l$$ è il lato del tassello triangolare. Dovendo l’area di ogni tassello essere pari a 4 m$$^2$$, dalla relazione $$A=\frac{\sqrt{3}}{4}l^2$$ che lega l’area del triangolo equilatero al suo lato (che stavolta risulta essere lungo circa 3.04 m) possiamo ricavare che
$$d=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{\frac{4A}{\sqrt{3}}}= \sqrt{\frac{16 m^2}{3\sqrt{3}}} \approx 1.75 m.$$
Questa distanza è inferiore a quelle ricavate in precedenza, ma probabilmente può ancora ritenersi ragionevole per garantire la sicurezza degli avventori del locale.
Figura 7: una disposizione simile a quella della figura precedente, ma che sfrutta una tassellatura triangolare; l’area occupata è la stessa, ma cambiano le misure lineari.
Dal punto di vista matematico, il problema del circle packing ammette numerose generalizzazioni, anche di interesse pratico. Una direzione ovvia in cui andare è quella di salire di dimensione: in che modo conviene disporre sfere (tutte del medesimo raggio) nello spazio tridimensionale, se vogliamo massimizzarne la densità (cioè stavolta il numero di sfere per unità di volume, invece che di area)? A formulare matematicamente tale domanda fu Thomas Harriot, un matematico inglese, che nel 1606 venne interrogato dal “pirata” Sir Walter Raleigh su quale fosse il modo migliore di impilare le palle di cannone sulle sue navi. Il matematico e astronomo Johannes Kepler congetturò nel 1611 che la soluzione di questo problema di impacchettamento di sfere (sphere packing) è ancora legata a un reticolo esagonale: più precisamente, ogni fila di sfere va disposta come nell’impacchettamento di cerchi, e la fila subito superiore in un reticolo simile ma “sfalsato”, di modo che le sfere superiori si adagino negli avvallamenti creati da quelle inferiori. Tuttavia, per arrivare a una dimostrazione matematica completa che questa disposizione sia effettivamente quella ottimale si è dovuto aspettare fino al 2014, quando con l’ausilio di computer si è potuta verificare la correttezza di una complicata prova fornita nel 1998 da Thomas Hales!
E perché fermarci a tre dimensioni? L’immaginazione matematica ci permette di formulare la domanda dell’impacchettamento di ipersfere ottimale in dimensione 4, 5, 6, … I matematici sono riusciti a identificare l’impacchettamento regolare più denso fino a ipersfere che vivono in spazi a 8 dimensioni. Il risultato forse più sorprendente in questo ambito di ricerca è dovuto alla matematica ucraina Maryna Viazovska, che nel 2016, assieme ai suoi collaboratori, ha dato la dimostrazione di quale sia il migliore impacchettamento di ipersfere in dimensione 24! Sebbene un tale arrangiamento regolare sia impossibile da visualizzare nella sua completezza, la mente matematica è capace di raggiungere livelli di astrazione tali da rendere possibili anche queste imprese multidimensionali.
È interessante anche notare come problemi matematici astratti quali il circle packing e lo sphere packing siano coinvolti anche in processi naturali presenti nel mondo reale. Difatti, la Natura utilizza il principio della “disposizione ottimale” anche per creare le strutture cristalline di alcuni materiali, come il quarzo (cristallo di silicio), il diamante (cristallo di carbonio), il comune sale da cucina (cristallo di sodio e cloro), e così via. Se osservati a livello microscopico, in tutti questi materiali cristallini la disposizione degli atomi e dei legami chimico-fisici che li connettono appare estremamente regolare, e spesso proprio questa loro struttura influenza le proprietà macroscopiche di tali materiali (si pensi all’estrema durezza del diamante). Stavolta, il vincolo che la Natura deve imporre non è sull’area che circonda ogni atomo come nel nostro client packing, ma piuttosto l’obiettivo è quello di minimizzare le forze di repulsione fra gli elettroni dei vari atomi, che avendo la stessa carica non vogliono trovarsi troppo vicini l’uno all’altro. Chi avrebbe mai detto che avremmo imparato come praticare il social distancing da delle particelle elementari?
N.B.: dal momento della stesura dell’articolo, le indicazioni sono state aggiornate e ora prevedono una distanza di sicurezza di 1 metro. Questo non cambia il contenuto dell’articolo, e le considerazioni presentate possono essere facilmente adattate a queste nuove restrizioni.
Per approfondire:
- il documento INAIL-ISS:
- impacchettamenti di cerchi, di sfere, di ipersfere:
https://it.wikipedia.org/wiki/Impacchettamento_di_sfere
- formule di geometria sull’esagono (area e apotema) e sul triangolo equilatero (raggio della circonferenza inscritta):
https://it.wikipedia.org/wiki/Esagono
http://www.ripmat.it/mate/f/fq/fqd.html
- tassellature del piano:
https://it.wikipedia.org/wiki/Tassellatura
- impacchettamento di ipersfere in dimensione 24:
H. Cohn, A. Kumar, S. Miller, D. Radchenko, e M. Viazovska. The sphere packing problem in dimension 24. Annals of Mathematics 185(3), 1017–1033 (2017). Preprint disponibile online all’indirizzo arXiv:1603.06518. Pubblicazione disponibile online all’indirizzo doi:10.4007/annals.2017.185.3.8
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