Non sempre è ovvio ciò che sembra ovvio: il quadrilatero di Saccheri.

La questione delle parallele: un cenno.

Siamo nel 1733. Ci troviamo in piena querelle riguardante la questione delle parallele. Per chi non lo avesse già abbondantemente digerito, ricordiamo un attimo. Con il termine questione delle parallele intendiamo un grande dibattito durato essenzialmente otto secoli in cui due grandi fazioni di matematici lottano per poter provare o confutare l’evidenza del V postulato di Euclide. 

Quando Euclide pubblicò la sua opera magna, Gli Elementi, si propose di stabilire dei fatti veri a prescindere, perché evidenti. Questi erano (e lo sono tuttora) cinque:

1. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una e una sola retta;
2. Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente;
3. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio;
4. Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro;
5. Se una retta che taglia altre due rette determina dallo stesso lato angoli interni minori di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla  parte dove i due angoli sono minori di due retti.

Il postulato numero 5 è risultato sin da subito meno chiaro e palese dei precedenti. Molti matematici si convinsero che questo fosse un risultato dimostrabile a partire dai precedenti. Più semplicemente, secondo questa fazione doveva poter esistere una qualche via (più o meno tortuosa) che permettesse di ottenere il postulato numero 5 come combinazione dei primi quattro, come conseguenza. 

Per centinaia di anni nessuno riuscì effettivamente a verificare una tale ipotesi. Rimanevano, in compenso, moltissimi dubbi che sfociarono in un vero e proprio dibattito nei tempi e per l’Europa tutta. 

La svolta di Saccheri.

Gerolamo Giovanni Saccheri nacque a Sanremo nel 1667. Si dedicò già diciottenne allo studio della teologia e della matematica, in particolare proprio della geometria. Ottenne una cattedra universitaria e un posto di prestigio tra i matematici dell’epoca. Oltre ad essersi occupato di logica, con la pubblicazione dell’opera Logica demonstrativa nel 1697, fu inevitabilmente colpito dalla questione delle parallele che era in pieno fermento. 

La prospettiva di Saccheri era ben chiara: Euclide non poteva essere  superato. La geometria di Euclide poteva essere la sola logicamente possibile, l’unica effettivamente rilevante. Da questo principio segue necessariamente che Saccheri fosse un fervido sostenitore del fatto che il V postulato fosse conseguenza dei primi quattro. Se così non fosse stato, infatti, la scelta di aggiungere o meno tale principio tra le regole della geometria avrebbe dato vita a nuove prospettive, nuovi ambienti e nuove possibili geometrie. Questo, come abbiamo già fatto notare, sarebbe stato un enorme sopruso alla magnificenza di Euclide, unica pietra miliare della matematica. 

Guidato da tale convinzione, Saccheri impegnò tutte le sue forze nella stesura dell’opera più importante della sua carriera: Euclides ab omni nævo vindicatus, (Euclide vendicato da ogni macchia) pubblicato nella versione finale nel 1733. Già dal titolo la posizione di Saccheri si presenta ovvia. Sfortunatamente per lui la sua pubblicazione sortì un effetto contrario, inaspettato e indesiderato.

Il quadrilatero di Saccheri.

Saccheri partì da una semplice figura geometrica: un quadrilatero. L’idea era quella di provare che l’unico modo possibile per completare la figura comportasse direttamente il postulato delle parallele, verificandolo come conseguenza dei precedenti. Per dover di cronaca dobbiamo però ricordare che una figura del genere fu già proposta in precedenza da un matematico arabo, seppur con intenti e risultati differenti.

Consideriamo, allora, un segmento AB che definiremo per semplicità base. Dagli estremi A e B facciamo partire due segmenti congruenti (AD e CB) che formano angoli retti con AB dallo stesso lato. La figura rende sicuramente meglio l’idea: 

Essenzialmente la costruzione è semplice. L’intenzione di Saccheri era ancora più ovvia, in realtà. Egli voleva verificare che congiungendo i punti C e D si ottiene un nuovo segmento CD che forma con CB e AD angoli retti. 

È importante fare molta attenzione. È evidente che nella nostra concezione di geometria gli angoli $$\gamma$$ e $$\delta$$ sono necessariamente retti. Questo perché il tipo di geometria con cui siamo abituati a trattare è proprio quella di Euclide. L’intenzione di Saccheri è verificare matematicamente che l’ampiezza degli angoli in questione è inevitabilmente 90°, vendicando finalmente l’infallibilità della geometria Euclidea. 

Una prima considerazione è sicuramente che i punti C e D sono distinti tra loro. Una seconda che gli angoli $$\gamma$$ e $$\delta$$ sono congruenti. Si presentano tre possibilità differenti:

1. Gli angoli sono entrambi acuti,
2. Gli angoli sono entrambi ottusi, 
3. Gli angoli sono entrambi retti. 

Resta da verificare che 1. e 2. conducono a delle contraddizioni matematiche.

L’ambizione di Saccheri lo portò alla dimostrazione che cercava, incappando però in due errori essenziali di cui facciamo solo un cenno. L’ipotesi degli angoli ottusi, che secondo Saccheri distrugge sé stessa, è dimostrata impossibile grazie all’utilizzo del secondo postulato. Tuttavia, si proverà in seguito che l’ipotesi degli angoli ottusi è incompatibile con il quest’ultimo che, pertanto, non può essere utilizzato. 

Nel caso, invece, dell’ipotesi di angoli acuti arriva ad una contraddizione non vera, una contraddizione esistente solo nel caso della geometria Euclidea, ma non nelle possibili altre. 

Conseguenze non desiderate.

L’erroneità delle argomentazioni di Saccheri condussero un numero sempre maggiore di matematici a supporre che forse è proprio l’intento ad essere sbagliato. Persino matematici illustri del calibro di Gauss iniziarono a supporre che fosse possibile creare modelli di geometrie differenti da quelle di Euclide, in cui il quadrilatero descritto da Saccheri avesse proprietà ben diverse da quelle a cui siamo portati a pensare. Gauss stesso si cimentò nella dimostrazione per assurdo proposta da Saccheri, non trovando alcuna contraddizione e chiedendosi “perché no?”.

Sfortunatamente il dibattito riguardo la questione delle parallele era ancora particolarmente accesso nella comunità matematica dell’epoca ed esporsi eccessivamente per una o l’altra supposizione avrebbe potuto condurre, in seguito, alla perdita della credibilità scientifica. Fu per questo che Gauss non fece mai cenno a questi suoi lavori, non si riferì mai all’opera di Saccheri (custodita nella sua stessa Università di Gottinga) e propose a pochi suoi colleghi una pubblicazione postuma dei suoi intenti.

Fu il giovane Jànos Bolyai (1802 – 1869), ungherese, che prese il coraggio di esporre pubblicamente le proprie tesi a favore di nuove geometrie. Tesi che trovarono l’appoggio postumo di Gauss e che, sulla base del lavoro (seppur errato) di Saccheri permisero alla grande Teoria delle Geometrie non Euclidee di svilupparsi.

Nel pratico, il povero Saccheri non ci ha lasciato una grande eredità nel campo delle geometrie non Euclidee. Tuttavia ci ha permesso di comprendere, forse proprio dagli errori involontariamente commessi, che una nuova forma di matematica poteva essere possibile. Attualmente, geometrie come quella sferica e quella iperbolica sono particolarmente utilizzate nella vita di tutti giorni. Basta ricordare che noi stessi viviamo su di un’immensa sfera, in cui (se si vuol essere minuziosi o si ha a che fare con grandi distanze) è necessario conoscere nel profondo la natura delle cose. In questo caso, la nostra natura, ci riserva uno spettacolo a volte ben diverso dalla piattezza degli spazi di Euclide.

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