Visto il titolo decisamente impegnativo voglio subito mettere in chiaro una cosa. Non ho alcuna pretesa di dare una risposta definitiva, o una definizione rigorosa di cosa sia la matematica. È un argomento sul quale molti matematici e filosofi più autorevoli di me hanno già espresso la loro opinione e che probabilmente non ha una risposta definitiva (vedi l’interessante articolo di wikipedia Definitions of mathematics).
L’obiettivo (più modesto) è quello di condividere un punto di vista che ho trovato in una risposta di Quora (per chi non lo conoscesse Quora è un sito dove gli utenti possono inserire domande o rispondere a domande di altri utenti).
Arseniy Sheydvasser, ricercatore di matematica dell’università di New York, scrive su Quora:
La matematica è lo studio delle strutture concettuali separate dal loro contesto.
Cerchiamo di capire cosa significa.
I concetti matematici si usano in contesti molto diversi tra loro. Ad esempio i numeri possono rappresentare valori di diverse grandezze: lunghezza, tempo, massa, ma anche denaro o taglia dei pantaloni. Quando studiamo i numeri in modo indipendente dal contesto allora stiamo facendo matematica.
Altri oggetti matematici molto generali sono ad esempio:
- gli insiemi: aiutano a lavorare con il concetto di “gruppo di elementi” indipendentemente da quale sia la natura degli elementi;
- le operazioni: vuoi sommare 4 sedie con altre 2 sedie? Fa 6 sedie, ma il risultato è lo stesso per qualsiasi tipo di oggetto;
- le figure geometriche: aiutano a calcolare le lunghezze, le aree e i volumi a seconda della forma dell’oggetto ma in modo indipendente dal contesto (ad esempio dal materiale di cui è fatto, o dalla sua posizione);
- la rappresentazione dei dati e le analisi statistiche: i grafici e le analisi usate in statistica sono molto simili in tutti i campi di applicazione (medicina, sociologia, economia, fisica, biologia,…)
Secondo questo punto di vista quindi i concetti matematici sono le idee astratte che rimangono dopo che si sono tolte tutte le informazioni che caratterizzano il particolare contesto.
È un prospettiva interessante, che rende la matematica simile a una “cassetta degli attrezzi” formata da idee generali che possono essere usate all’occorrenza in diverse situazioni.
Questa sua universalità permette alla matematica di creare dei “ponti” concettuali tra situazioni apparentemente molto diverse.
Vediamo alcuni esempi interessanti di questi collegamenti inaspettati.
La chitarra e le sospensioni delle auto
Cos’hanno in comune una corda di chitarra e le sospensioni di un’auto? Queste due situazioni fisiche sono descritte dalla stessa equazione differenziale e tecnicamente si chiamano oscillatori smorzati. I sistemi di questo tipo presentano delle oscillazioni periodiche che un po’ alla volta vengono attenuate da delle forze di attrito.
La corda quando viene pizzicata vibra per un po’ con ampiezze sempre minori fino a fermarsi, l’ammortizzatore (dopo che abbiamo preso una buca) fa oscillare la macchina per poi stabilizzarla nuovamente.
Ambiti molto diversi ma stesse equazioni e stesso comportamento.
Molecole e indici di borsa
Immaginiamo una scatola chiusa con all’interno un gas. Le molecole del gas si muovono dentro alla scatola seguendo delle traiettorie molto complicate, esse cambiano continuamente direzione a causa degli scontri con le altre molecole in un intricato biliardo microscopico.
I matematici hanno trovato un modo per descrivere questo tipi di movimenti, si chiama processo di Wiener e viene usato per descrivere il movimento degli atomi ma anche l’andamento degli indici di borsa, tanto che è alla base di alcuni modelli matematici usati per dare un prezzo a delle operazioni finanziarie particolarmente complesse (derivati finanziari).
Il pallone da calcio e i fullereni
Eulero scoprì una relazione che collega tra loro il numero di facce, il numero di vertici e il numero di spigoli di un poliedro. Da questa formula si può dedurre che se cerchiamo di costruire un pallone usando pezzi di cuoio esagonali e pentagonali, bisognerà sempre essere esattamente 12 pentagoni per riuscire a chiudere il pallone, indipendentemente da quanti esagoni si usano.
Questo genere di vincoli è valido anche per delle grosse molecole sferiche chiamate fullereni che, proprio come i palloni, devono sottostare alle regole della matematica. Grazie a queste formule i chimici sanno quali tipi di fullereni si possono formare e quali invece sono impossibili.
Un pallone da calcio e un fullerene. Entrambi devono rispettare la relazione di Eulero.
Alcune riflessioni
Sembra quasi un paradosso che nonostante questo suo essere trasversale e utile in diversi campi, la matematica venga spesso vista dagli studenti come una materia scollegata dalla realtà.
Immagino che questa convinzione sia dovuta al modo in cui viene presentata la materia, spesso concentrandosi sul formalismo e sullo svolgimento di esercizi astratti (scomponi il polinomio, risolvi l’equazione, dimostra che il triangolo è isoscele…).
Se nel parlare dei concetti matematici si rimane sempre sul livello astratto delle definizioni matematiche, difficilmente lo studente riuscirà a cogliere l’universalità di quelle idee.
Penso sia importante, di tanto in tanto, usare un linguaggio più informale, per far capire quale idea “concreta” si vuole rappresentare con un determinato concetto matematico.
Per fare un esempio, uno di concetti che trovo più ricco di potenziali casi reali, è quello di funzione che astrae il concetto di collegamento tra un input e un output:
- il costo di un rifornimento di benzina è una funzione del volume di carburante che metto nell’auto
- lo spazio di frenata di un’auto è una funzione della velocità
- il codice fiscale si ottiene da una funzione che prende come input il nostro nome, cognome e dati anagrafici
- la quantità di tasse che paghiamo sul reddito è una (complicata!) funzione del reddito
- il premio di produzione di un commerciale è una funzione del numero delle vendite che ha effettuato
- una legge elettorale è una funzione che ha come input i voti degli elettori e come output la composizione del parlamento
Astrazione e generalizzazione, queste caratteristiche della matematica vennero sintetizzate dal matematico Henri Poincaré nella frase:
la matematica è l’arte di dare lo stesso nome a cose diverse.
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L’immagine di copertina è di Gerd Altmann da Pixabay.
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Ciao, interessante il tema. Lo studio di studio di strutture concettuali separate dal loro contesto è sicuramente una buona definizione laddove un contesto esista, ma potrebbe anche non esistere. Pertanto la cosa andrebbe forse precisata. Una teoria matematica è un sistema logico deduttivo costituito da concetti che sono definibili a partire dal solo concetto di insieme (insieme astratto e non insieme di pere o di mele…), che viene assunto come elementare/intuitivo in matematica. Tutto quello che costruiamo in questo modo è matematica, altrimenti è un qualcosa d’altro. Queste teorie possono o non possono rappresentare delle situazioni “reali”. Nel qual caso lo siano, in matematica si prende in considerazione solo la sua rappresentazione matematica (separandola pertanto dal contesto), cioè si studia il modello matematico in sé stesso indipendentemente dall’eventuale correlazione con la realtà. Questo è ad esempio quello che si fa in fisica matematica. Pertanto la matematica è caratterizzata dal fatto che per andare da un’affermazione A ad un’affermazione B, si usa unicamente la logica deduttiva, senza fare mai riferimento all’eventuale realtà che vorrebbe rappresentare (in fisica invece per andare da A a B si segue un ragionamento che fa riferimento all’esperienza misto a calcoli. PS: sono fisico anche io 🙂 ). La potenza di questa metodologia è che in questo modo ci si spinge “molto in avanti” con il puro ragionamento astratto, anche se non è detto che questo metodo sia sempre utile ed efficace, cioè che porti a risultati interessanti. Questo è infatti quello che accade spesso in fisica matematica. E’ certamente una teoria matematica la teoria dei numeri (e tutto ciò che ne deriva) in quanto i numeri si riescono a definire rigorosamente a partire dal concetto di insieme. Viceversa, non lo sono certamente le teorie fisiche, che invece fanno riferimento a concetti definibili solo operativamente (si pensi al tempo, alla carica elettrica ecc.).La matematica è quindi una sorta di ragionamento automatico, o, equivalentemente che di ragionamento automatizzabile, nel senso che è un ragionamento riproducibile in maniera pressoché perfetta, sul quale tutti concordano e quindi che può essere implementato su un qualsiasi calcolatore (i calcolatori, non solo calcolano i numeri, ma “calcolano” anche i teoremi). Pertanto si potrebbe anche concludere che la matematica è quell’insieme di strutture concettuali che sono automatizzabili. Ciao. Giovanni
Ciao Giovanni, trovo interessanti le tue considerazioni. Penso che questo tipo di “definizioni” di cos’è una certa disciplina non possano mai essere completamente rigorose e colgano ciascuna diversi aspetti della disciplina. Anche l’approccio che suggerisci è condivisibile: la matematica è formata da tutte le conseguenze che si possono dedurre a partire da certi assiomi. La matematica sarebbe formata dallo studio di tutte le teorie assiomatizzate. Ha senso, ma anche questo approccio ha delle debolezze. Ad esempio: fanno parte della matematica anche i sistemi di assiomi non consistenti, cioé quelli nei quali prima o poi si può dimostrare una affermazione e anche il suo contrario? Se anche questi sono compresi siamo nei guai perché in questi sistemi si può dimostrare qualsiasi affermazione. In alternativa, se invece vogliamo escludere questi casi, non possiamo sapere cosa fa parte della matematica, perché non si può dimostrare la coerenza di un sistema di assiomi rimandendo al suo interno (dai noti teoremi di incompletezza). Per cui non potremo sapere cosa fa parte e cosa non fa parte della matematica. Si tratta di una debolezza molto formale, capisco, ma era giusto per ragionare su cosa succede quando si porta una di queste definizioni alle sue più estreme conseguenze. Tutte queste definizioni di matematica colgono quindi degli aspetti veri e allo stesso tempo hanno dei limiti, come tutte le definizioni che usiamo nel linguaggio comune.