Una rubrica sulle gare di matematica

Inizia con questo articolo una nuova rubrica incentrata sulle Olimpiadi della matematica. La rubrica sarà tenuta dal prof. Lorenzo Mazza, che da tempo collabora con l’Unione Matematica Italiana e con le principali università romane nell’organizzazione e nella gestione delle gare matematiche, sia a livello individuale che a squadre. E’ ideatore e fondatore del GAUSS (Gruppo Allenatori Universitari Studenti della Sapienza), insieme al quale organizza degli stage di preparazione alle competizioni studentesche. Attualmente sta svolgendo un dottorato in didattica della matematica presso la Sapienza Università di Roma, con le Olimpiadi della matematica al centro della sua ricerca.

Perché una rubrica sulle gare di matematica?

Cos’hanno in comune Maryam Mirzakhani, Terence Tao e Grigorij Perelman, oltre ad essere (o essere stati) fra i più grandi matematici contemporanei e vincitori della prestigiosa medaglia Fields?

Tutti loro hanno vinto almeno una volta una medaglia d’oro alle IMO, vale a dire alle Olimpiadi Internazionali della Matematica (International Mathematics Olympiads). Ma la lista dei partecipanti alle diverse competizioni studentesche è lunga; i più curiosi potranno trovare in rete nomi e cognomi dei vincitori, e relativa medaglia ottenuta, sia per quanto riguarda le gare nazionali (come ad esempio quella organizzata dall’UMI a Cesenatico) che per le gare di livello internazionale come le IMO.

Riprendendo quanto detto da Alberto Saracco sul sito di divulgazione matematica MaddMaths! nel mese di febbraio 2019, chi partecipa alle gare matematiche ha senza dubbio una maggiore probabilità di successo in occasione dei test di ingresso all’università e, probabilmente, durante il percorso universitario.

Pur non essendo l’unico elemento discriminante, uno studente appassionato di olimpiadi della matematica ha modo non solo di partecipare a diverse attività formative (stage locali e nazionali, seminari, allenamenti in presenza e a distanza,…), ma anche di ragionare su esercizi che, per la loro tipologia e struttura, favoriscono ampiamente il ragionamento e l’acquisizione di conoscenze e competenze spendibili tanto in fase di ammissione alla facoltà prescelta, quanto durante gli anni di studi universitari.

A conferma di ciò, se andiamo ad analizzare la lista degli studenti ammessi alla Scuola Normale Superiore di Pisa, quanto meno fra coloro che scelgono matematica, una buona percentuale è formata da ragazzi che hanno partecipato con successo alle gare durante gli anni di scuola.

Condivido pienamente la riflessione finale di Alberto, il quale ritiene necessario lavorare duramente per far sì che sempre più studenti possano entrare a contatto con il mondo delle gare matematiche, anche per permettere a tutti di “giocare ad armi pari” in occasione dei test d’ingresso. Con questa prospettiva, questo lavoro vuole essere un semplice tentativo per pubblicizzare fra i lettori alcune tecniche e suggerimenti utili per la risoluzione di quesiti delle competizioni studentesche.

Una  rubrica dedicata alle gare, senza pretese di completezza e senza toccare livelli di difficoltà eccessivi, che si aggiunge alle già numerose pagine dedicate presenti in rete, anche se talvolta accessibili e comprensibili solo a pochi. L’idea di fondo di questo lavoro invece è quella di raggiungere quante più persone possibili, cercando così di avvicinare studenti, docenti, appassionati di matematica o semplici curiosi al grande ed intrigante mondo delle olimpiadi della matematica. Pertanto tutti gli argomenti, le tecniche e le procedure risolutive mostrate verranno presentate utilizzando un linguaggio semplice e alla portata di tutti.

La matematica utilizzata nelle olimpiadi (dai più chiamata “matematica olimpica”) è particolarmente vasta e richiede, almeno a livello di gara nazionale se non già a livello di gara distrettuale, conoscenze e competenze che vanno oltre quanto si apprende nei cinque anni di scuola superiore. A loro volta, alcuni argomenti scolastici trovano poco spazio all’interno delle prove affrontate. Ad esempio l’analisi matematica o gli esponenziali ed i logaritmi solo raramente compaiono nei quesiti e, qualora così fosse, con ogni probabilità tali quesiti si possono affrontare con strumenti diversi. Accade così che un problema che richiede di calcolare il valore di una certa incognita x che massimizza o minimizza una determinata quantità può essere svolto sfruttando le medie e senza scomodare il concetto di derivata.

Generalmente un esercizio delle gare può essere inquadrato all’interno di uno dei quattro ambiti che caratterizzano la matematica olimpica: algebra, combinatoria/probabilità, geometria e teoria dei numeri. Più raramente compaiono quesiti di logica. Si tratta di ambiti molto ampi; ad esempio quando ci riferiamo alla geometria si intende (solo per citare alcuni sottoambiti) la geometria sintetica e analitica nel piano e nello spazio, la trigonometria e il calcolo vettoriale. Con questa rubrica si cercherà di affrontare tutte e quattro le discipline, dando spazio sia alla teoria che alla risoluzione di esercizi ad essa collegati.

Primi passi nel mondo della teoria dei numeri

Iniziamo con il presentare alcuni semplici e basilari concetti di teoria dei numeri. Ci limitiamo a parlare per ora di criteri di divisibilità e numeri primi.

Sfortunatamente non di tutti gli esercizi (in questo e nei prossimi articoli) sono in grado di dire in quale competizione o allenamento sono comparsi per la prima volta; chiedo pertanto scusa se talvolta dovessi utilizzare del materiale senza citarne la fonte.

Consideriamo due numeri interi $a,b$ con $a \neq 0$. Allora esistono, e sono unici, due numeri interi $q,r$ tali che $b=a\cdot q+r$ con $0 \leq r<\mid a \mid$. Si dice che $a$ è un divisore di $b$ (scriveremo $a \mid b$) se $b=a\cdot q$, dunque se il resto $r$ della divisione è pari a zero.

Per verificare la divisibilità di un numero per un certo valore senza eseguire la divisione, è possibile usare i criteri di divisibilità. Ben noti sono i criteri di divisibilità per 2, per 3, per 5 e per 9. In particolare, se un numero è composto, il suo criterio di divisibilità si ottiene chiedendo che siano verificati contemporaneamente i singoli criteri di ciascun fattore primo che lo compongono. A titolo di esempio, un numero è divisibile per 6 se e solo se è divisibile contemporaneamente per 2 (quindi è pari) e per 3 (quindi la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3). Analogamente un numero è divisibile per 10 se e solo se è divisibile per 2 (quindi è pari) e divisibile per 5 (quindi termina con 0 o 5). Appare evidente che l’unica possibilità che verifica entrambe le condizioni è che il numero termini con 0.

Senza per ora dimostrare nulla, ricordiamo il criterio di divisibilità per una potenza di 2: un numero è divisibile per $2^{k}$ se e solo se lo è il numero composto dalle $k$ cifre più a destra del numero stesso. Ad esempio un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure formano un numero multiplo di 4; un numero è divisibile per 8 se le ultime tre cifre sono 000 oppure formano un numero multiplo di 8, e così via. Analogamente, un numero è divisibile per $5^{k}$ se e solo se lo è il numero composto dalle $k$ cifre più a destra del numero stesso. Ad esempio un numero è divisibile per 25 se le ultime due cifre sono 00, 25, 50, 75.

Meno noti, ma piuttosto frequenti negli esercizi delle gare, troviamo i criteri di divisibilità per 7 e per 11. Ricordiamo che un numero è divisibile per 7 se la differenza di quel numero escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0, 7 o un multiplo di 7. La procedura può essere reiterata (si provi, ad esempio, con 37191). Invece un numero è divisibile per 11 se la somma (in valore assoluto) delle sue cifre prese con segno alterno è uguale a 0 oppure a un multiplo di 11 (ad esempio 21505 è divisibile per 11 in quanto $\mid$2-1+5-0+5$\mid$=11).

E’ possibile dimostrare, senza alcuna difficoltà, che:

• Se $a, b, c, m, n$ sono interi tali che $c\mid a$ e $c\mid b$, allora $c$ divide una combinazione lineare di $a$ e $b$, cioè $c\mid(a\cdot m+b\cdot n)$ .
• Il prodotto di $n$ interi consecutivi è divisibile per $n!$ (ove con $n!$ si indica $n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot … \cdot 2 \cdot 1$ ).

Ogni numero intero diverso da zero ha sempre qualche divisore. Ad esempio $\pm 1, \pm b$ sono senz’altro divisori di $b$. Ce ne possono essere altri, oppure no. Un numero naturale maggiore di 1 si dice primo se è divisibile solamente per 1 e per se stesso; diversamente viene detto composto. Ci sono infiniti numeri primi. Questo fatto era già noto a Euclide, che ne da una dimostrazione per assurdo.

I numeri primi, oltre che nel modo su indicato, possono essere caratterizzati mediante una proprietà che risulta spesso utile nelle applicazioni: se $p$ è un numero primo e $a,b$ sono numeri interi diversi da 0, allora $p \mid a \cdot b$ implica che $p \mid a$ oppure $p \mid b$.

Di seguito sono riportati alcuni esercizi riguardanti le considerazioni matematiche finora svolte.

Dimostrare che $6 \mid (n^{3} -n)$ per ogni $n$ intero positivo.

Soluzione: $(n^{3} -n)$ può essere scomposto come $(n-1) \cdot n \cdot (n+1)$, vale a dire come prodotto di 3 numeri interi non negativi e consecutivi. Ciò implica che almeno uno di essi è multiplo di 2 ed esattamente uno è multiplo di 3, pertanto ne consegue la tesi.

Una variante di questo esercizio potrebbe consistere nel chiedere per quali valori di $n$ l’espressione $(n^{3} -n)$ è divisibile per 12. Ciò accade quando, oltre ad avere uno dei tre fattori multiplo di 3, o $n$ è multiplo di 4, oppure due di tali fattori sono pari, rendendo l’intera espressione $(n^{3} -n)$ anch’essa multiplo di 4. Tale condizione può essere verificata solo quando ad essere pari sono i termini $n-1$ e $n+1$; ma se ciò accade, allora $n$ deve essere necessariamente dispari.

I numeri $a,b$ sono interi positivi. Qual è il minimo valore positivo di $a+b$ affinché $21ab^{2}$ e $15ab$ siano entrambi quadrati perfetti? (Gara distrettuale del 18/02/1998 ).

Soluzione: affinché $21ab^{2}$ sia un quadrato perfetto, deve accadere che $a=21k^{2} = 3 \cdot 7 \cdot k^{2}$. Di conseguenza $15ab = 3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 7 \cdot k^{2} \cdot b$, il quale è un quadrato perfetto se e solo se $b=5 \cdot 7 \cdot h^{2}$. Ne consegue che $a+b=21k^{2}+35h^{2}$, ed il minimo si ottiene quando $k=h=1$, da cui il valore cercato è $a+b=21+35=56$.

Variante: quale sarebbe la risposta se $a,b$ fossero interi non negativi anziché interi positivi e di $a+b$ si cerca il minimo valore non negativo? Con $a=b=0$ si otterrebbero $21ab^{2}=15ab=0$ (quadrati perfetti di 0) e pertanto $a+b=0$. Dunque è fondamentale leggere bene il testo e ogni singola ipotesi in esso riportata.

Dato un qualsiasi intero positivo $n$, chiamiamo ciclostilato di $n$ il numero che si ottiene concatenando 2012 scritture di $n$ (in base 10). Per esempio il ciclostilato di 314 è 314314314 . . . 314, dove le cifre “314” si ripetono 2012 volte. Determinare tutti gli interi positivi $m$ tali che il ciclostilato di $m$ sia multiplo di 9 (Gara distrettuale dell’ 08/02/2012).

Soluzione: sia $c(n)$ il ciclostilato di $n$ e si indichi con $s(m)$ la somma delle cifre di $m$. Dal criterio di divisibilità per 9 discende che $c(n)$ è multiplo di 9 se e solo se $s(c(n))$ è multiplo di 9, con $s(c(n))=2012 \cdot s(n)$. Ora, poiché 2012 non è divisibile per 9 (né per 3), ad essere divisibile per 9 deve essere $s(n)$. Pertanto, a meno di riapplicare nuovamente il criterio di divisibilità per 9, si osserva che $s(n)$ è multiplo di 9 se e solo se lo è $n$.

Varianti (lasciate al lettore): fornire la risposta allo stesso esercizio se si vanno a concatenare 2013 scritture di $n$ (hint: 2013 non è divisibile per 9 ma è divisibile per 3). E se si vanno a concatenare 2016 scritture di $n$ (hint: 2016 è divisibile per 9)? Infine determinare tutti gli interi positivi $m$ tali che il ciclostilato di $m$ sia multiplo di 11 (quest’ultima domanda rappresentava la seconda parte del suddetto esercizio, ndr).

Lo scassinatore Fabio è alle prese con una cassaforte protetta da una combinazione di 5 cifre, ciascuna fra 1 e 9. Fortunatamente per lui, gli sprovveduti padroni di casa hanno lasciato un foglietto con qualche indicazione: “Siano $a, b, c, d$ ed $e$, nell’ordine, le cinque cifre della combinazione. Allora sia $ae$ che $abe$ che $abde$, letti come numeri in base 10, sono divisibili per 11, ma $abcde$ non lo è.” Quanti tentativi dovrà fare al più Fabio per essere sicuro di riuscire ad aprire la cassaforte? (Gara distrettuale del 20/02/2020).

Soluzione: poiché 11 divide $ae$, ricordando il criterio di divisibilità per 11 ne discende che $a=e$. Dal fatto che 11 divide $abe$ ne consegue che 11 divide $a-b+e=2a-b$. Ciò implica che esistono 8 valori possibili per $a$, vale a dire tutti i numeri da 1 a 9, con l’esclusione del 5. Ad esempio se $a=2$ deve accadere che $b=4$; se $a=8$ allora $b=5$, mentre se $a=5$ non esiste alcun valore di $b$ tale che $2a-b$ valga 0, 11 o un multiplo di 11. Inoltre accade che, fissato il valore di $a$, restano univocamente fissati anche i valori di $b$ ed $e$. Sapendo che 11 divide $abde$, si deduce che $d=b$ e pertanto anche $d$ resta univocamente determinato una volta scelto $a$. Infine il fatto che 11 non divide $abcde$ ne consegue che 11 non divide $a-b+c-d+e=2a+c-2b=(2a-b)+(c-b)$. Ciò implica che 11 non divide $c-b$ (infatti se lo dividesse, poiché sappiamo dal punto precedente che $11 \mid(2a-b)$, allora dividerebbe tutto $abcde$ contro l’ipotesi), il che accade se e solo se $c \neq b$. Pertanto, per ciascun valore fissato di $a$ (e quindi di $b$), esistono 8 valori ammissibili per $c$. A titolo d’esempio, se $a=3=e$, allora $b=6=d$ e $c$ può assumere un qualunque valore da 1 a 9 purché diverso da 6. Le combinazioni che Fabio dovrà provare sono al più 64.

Variante: se anziché chiedere una combinazione di 5 cifre, ciascuna fra 1 e 9, avessimo chiesto una combinazione di 5 cifre maggiore o uguale a 10.000 (e con le stesse ipotesi)? Si avrebbero ancora 8 possibilità per $a$ (con $b, d, e$ fissati di conseguenza) ma 9 possibilità per $c$ (tutti i valori possibili da 0 a 9, con $c \neq b$). Pertanto la risposta sarebbe stata di poco maggiore, per l’esattezza pari a 72.

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