Riceviamo e volentieri pubblichiamo questo contributo di Riccardo Moschetti e Davide Calza.

Riccardo e Davide sono due amici ed ex compagni di dottorato. Entrambi laureati in matematica, il primo ha percorso la strada della ricerca ed è attualmente assegnista al dipartimento di Matematica dell’Università di Pavia, mentre il secondo ha perseguito la strada dell’insegnamento, ed attualmente lavora come docente di Matematica in un Istituto di Saronno (VA). Accomunati da una passione per la matematica ricreativa e per i giochi da tavolo, hanno creato il canale YouTube “MAThsegnale” tramite il quale cercano di portare un approccio ludico e passionale alla disciplina. Il progetto si è poi spostato anche su altri social come Facebook o Instagram, giungendo, ultimamente, su Twitch, dove i due tengono delle lezioni in supporto agli studenti delle scuole superiori”.


Una chiacchierata al bar

Era passato molto tempo dall’ultima volta che ci eravamo incontrati. Eravamo compagni di dottorato, lui era già fidanzato con un’altra compagna dello stesso ciclo mentre io, single da sempre, mi limitavo a godere della loro reciproca amicizia. Mi ha stupito quell’invito, dopo così tanto tempo, ma non avrei mai potuto rifiutare, mi ha detto di ”avere grandi novità”.

Ore 21.00, aspetto al bancone il suo arrivo ed inizio ad ordinare una birra, mentre il locale inizia a riempirsi di gente. Arriva con un lieve ritardo e, dopo i saluti iniziali mi dice ”Scusa eh, sai, con i bimbi a casa non riesco mai ad uscire in orario!”.

I bimbi?! Ma io sapevo a malapena del suo matrimonio, l’avevo visto in qualche foto su Facebook, ma non avevo idea che avesse avuto dei figli!

”Mi devo essere perso qualcosa, hai detto bimbi, con la I finale? Ma quanti ne hai?”
Non l’avessi mai chiesto! O meglio, non l’avessi mai chiesto a lui, appassionato com’è di giochi matematici ed enigmi… ”Visto che non ti sei fatto sentire da un po’, dovrai scoprirlo da te. Ti fornisco un indizio: se prendi a caso due dei miei figli, hai il 50 per cento di probabilità di trovarti di fronte due bimbi con gli occhi azzurri.”

Eccomi, come dieci anni fa, seduto al suo fianco a scervellarmi per risolvere un suo dannatissimo enigma, costretto a fissare il suo viso con quel sorriso sornione. Così iniziai a pensare…

 Le prime considerazioni e il primo approccio

”Beh, già mi hai dato delle informazioni molto importanti. Avendomi detto che prendendo a caso due figli, ho il 50 per cento di probabilità di trovare due persone con gli occhi azzurri, mi hai garantito di avere almeno due figli e di essi almeno due avranno gli occhi azzurri!”

A questo punto alcune implicazioni vengono in automatico, ad esempio non potranno essere solo due i figli, perché in tal caso, avendo entrambi gli occhi azzurri, sarei sicuro di trovarmi sempre di fronte due persone con gli occhi azzurri e non avrei il 50 per cento.

Il primo pensiero è stato quello di usare quel 50 per cento come se fosse la proporzione tra figli con gli occhi azzurri e numero totale dei figli, perciò ho provato con il primo numero di figli che avrei potuto dividere a metà, ossia 4. Proviamo quindi con 4 figli, di cui metà con gli occhi azzurri e metà no! Se supponiamo di scegliere a caso 2 dei 4 figli, possiamo trovarci di fronte a queste 6 configurazioni. 

Poiché una sola di queste coppie è formata da due persone con gli occhi azzurri, la probabilità di scegliere due persone con gli occhi azzurri sarebbe

$$\frac{\text{coppie con occhi azzurri}}{\text{coppie totali}}=\frac{1}{6}\approx17\%$$

Forse l’errore sta nel numero di figli, perciò provo con il numero successivo, cio ́e 6 figli, ripartiti a metà. In questo caso il numero di coppie risulta 15 e di queste, 3 hanno la caratteristica cercata, quindi in questo caso

$$\frac{\text{coppie con occhi azzurri}}{\text{coppie totali}}=\frac{3}{15}=20\%$$

Meglio di prima ma ben lontano dal risultato…
”Scusi cameriere, mi può portare un’altra birra. Ah! E già che c’è, non è che può portarmi un foglietto ed una penna?” Quello che era prima un semplice sorriso si era tramutato in una fragorosa risata.

 L’approccio matematico

”Ho solo dei tovagliolini, vanno bene lo stesso?” ”Vedrò di farmeli andare bene”, dissi e, cercando di non strappare il tovagliolo con la punta della penna incominciai a scrivere.
Iniziamo con il dare dei nomi ai numeri in gioco, ad esempio, chiamiamo A il numero di figli con gli occhi azzurri tra gli $N$ figli totali. Stando a quanto emerso in precedenza, si ha

$$N>A\geq2$$

Per calcolare la probabilità dell’evento cercato, dobbiamo capire quante coppie di figli con gli occhi azzurri e quante coppie di figli in generale possiamo creare. Formare una coppia di figli equivale a fare la seguente scelta: per prima cosa scegliamo il primo elemento della coppia, cosa che possiamo fare in $N$ modi e, per ognuna di queste scelte, possiamo scegliere il secondo membro in $N − 1$ modi (avendo già bloccato il primo elemento).

Prima di dare per finito il calcolo, dobbiamo, però, considerare che la coppia in cui scambiamo semplicemente l’ordine di scelta genera la stessa coppia di elementi.

Ne segue che il numero di coppie possibili è quello precedente, diviso per 2

$$\frac{N\cdot(N-1)}{2}$$

In maniera analoga, le coppie di persone con gli occhi azzurri saranno

$$\frac{A\cdot(A-1)}{2}$$

Dopo questi pensieri, e dopo aver semplificato nella mia mente, scarabocchio sul foglio un

$$P=\frac{A\cdot(A-1)}{N\cdot(N-1)}$$

Per prima cosa voglio capire se l’approccio con i figli divisi a metà sia totalmente sbagliato, perciò suppongo che N = 2A, il che ci porta alla formula

$$P=\frac{A\cdot(A-1)}{2A\cdot(2A-1)}=\frac{A-1}{4A-2}$$

Imporre la condizione richiesta mi porta a risolvere A−1=1

$$\frac{A-1}{4A-2}=\frac{1}{2}$$
$$A-1=2A-1$$
$$A=0$$

che non è accettabile per il problema! Questo significa ”FINE” per le mie speranze con l’approccio della equa distribuzione dei figli.

 Il tentativo vincente e la nuova sfida

Alzo lo sguardo dal tovagliolino con fare rattristato e lui è lì, con un sogghigno trionfante.
”Hai scoperto che 50 e 50 non va bene, eh! Tranquillo, è un errore in cui incappano tutti. Intanto che ci pensi, vado un attimo alla toilette”.

Per fortuna si è allontanato, non volevo che mi vedesse mentre provo nel metodo meno elegante possibile, cioè a caso. ”Proviamo a vedere le configurazioni più piccole ancora non provate” Se supponiamo di avere 3 figli, di cui 2 con gli occhi azzurri, la formula ci restituisce

$$P=\frac{2\cdot(2-1)}{3\cdot(3-1)}=\frac{1}{3}\approx33\%$$

”Ancora troppo basso!” Se i figli fossero 4, e 3 avessero gli occhi azzurri?

$$P=\frac{3\cdot(3-1)}{4\cdot(4-1)}=\frac{1}{2}=50\%$$

”Finalmente! Non vedo l’ora che torni!” Mentre lo aspettavo, rimuginavo tra me e me chiedendomi se davvero io avessi vagliato tutte le ipotesi… Una soluzione l’avevo trovata, ma era davvero l’unica?

Sì, doveva essere così, non avrebbe mai fatto un enigma lasciandomi l’ambiguità. ”Eccomi di ritorno! Ordino altre due birre o hai risolto?” mi chiede con un velo di ironia. ”Hai 4 figli! E 3 hanno gli occhi azzurri!” Esclamo a gran voce. ”Ammetto che non è stato semplice, e non sono sicuro dell’unicità della soluzione, ma il fatto che tu me l’abbia posto come quesito mi dà la certezza sufficiente”. Noto che il suo sguardo si abbassa evitando di incrociare il mio ”B-b-ravo, hai indovinato, ne ho proprio 4! Ma… dimmi un po’, tu invece come stai?” Cercava di cambiare discorso, qualcosa non andava, forse qualcosa che avevo detto l’aveva fatto pensare… decido di punzecchiarlo un po’:  ”Ma dimmi un po’, come hai dimostrato l’unicità? Io non ho minimamente idea!”. Un momento di silenzio mentre finisce l’ultima sorsata. ”Lo ammetto: non ci ho pensato… ho fatto il conto sui miei figli ma non mi sono posto il problema sul fatto che la risposta fosse univoca”.

Gli poggio la mano sulla spalla e gli ricordo i tempi del dottorato: ”Ho un’idea! Ti ricordi quando risolvevamo assieme i problemi? E’ il momento di ricominciare!”.
Faccio al cameriere il gesto di altre due birre e, se possibile, di altri tovagliolini.

 La scoperta di altre soluzioni

Decidiamo di attaccare il problema per forza bruta, partendo proprio dall’equazione

$$\frac{A\cdot(A-1)}{N\cdot(N-1)}=\frac{1}{2}$$

riscrivendola come
$$N\cdot(N-1)=2\cdot A\cdot(A-1)$$

Per cercare altre soluzioni, possiamo riflettere sul fatto che sia la coppia N, N −1 sia la coppia A, A − 1 è formata da due numeri coprimi. In particolare, l’avere un fattore 2 a lato destro dell’equazione forza o N o N − 1 ad essere divisibile per 4. Questa semplice osservazione ci porta a ridurre i tentativi e, dopo poco tempo, scopriamo che la coppia (N, A) = (21, 15) soddisfa l’equazione!

”In effetti non te l’ho detto, ma in realtà ho proprio 21 figli! Vedi! Hai sbagliato anche questa volta!” mi dice ridendo.
A questo punto il nostro istinto matematico era stato solleticato. Ok, non c’era unicità… ma quante soluzioni aveva quest’equazione?

”Lo sai vero che di questo passo non riusciremo mai a capire l’effettivo numero di soluzioni?” Probabilmente è meglio cambiare approccio.

 Da Diofanto a Cartesio

”Sarebbe tutto così semplice se non ci fosse quello stramaledetto vincolo di avere soluzioni intere positive!” Il problema stava proprio lì! Alla fine l’equazione

$$N\cdot(N-1)=2\cdot A\cdot(A-1)$$

è una normalissima equazione di secondo grado in due incognite; un’equazione che un qualsiasi studente di 2° superiore sa maneggiare, ma le soluzioni, in generale, non sono nemmeno razionali, figuriamoci intere!
Un’equazione come questa, in cui le soluzioni sono cercate nell’insieme dei numeri interi, prende il nome di equazione Diofantea, in onore del matematico Diofanto di Alessandria.

Lo studio delle equazioni Diofantee ha grandi ripercussioni in molte aree della matematica e quelle più elementari (lineari) hanno un procedimento risolutivo sufficientemente semplice da poter essere spiegato anche a chi non possieda una conoscenza matematica troppo approfondita.

Ma la nostra non era lineare…
”Senti, facciamo finta per un attimo che le variabili siano reali e appoggiamoci alla Geometria anlitica!”.
La proposta sembra bizzarra ma, a questo punto tanto vale provarci. Per fortuna Cartesio ci ha fornito uno strumento potentissimo per visualizzare delle equazioni come la nostra. Riscriviamola come

$$N^2-2A^2-N+2A=0$$

che, nel piano cartesiano A − N rappresenta un’iperbole.
Il mio amico traccia i due assi cartesiani ma prima di tracciare il grafico mi dice ”Gli asintoti! Gli asintoti sono essenziali quando disegnamo un’iperbole!”. Trovata l’equazione degli asintoti con reminescenze dei nostri studi liceali, abbiamo difficoltà a disegnare con precisione le due rette

$$N-\frac{1}{2}=\pm\sqrt{2}(A-\frac{1}{2})$$

ma, d’altra parte, la precisione non è di casa quando sei costretto a lavorare su un tovagliolino appoggiato su un bancone sporco di birra. 


”Ok! Adesso dobbiamo capire cosa significa risolvere quell’equazione Diofantea dal punto di vista grafico!”.

Ci penso un attimo ”Beh! Dobbiamo imporre che entrambe le variabili A,N siano intere e positive, quindi ci stiamo chiedendo se esistano dei punti a coordinate intere per le quali passi il grafico della nostra iperbole”.
”Scusate, il bar sta per chiudere, devo chiedervi di uscire”.

”Alla fine non abbiamo parlato tantissimo, dovremmo rivederci di nuovo. Ti chiamo io, tanto il tuo numero ce l’ho”.

 La risposta all’enigma

Parcheggio sotto casa e salgo le scale. Inserisco le chiavi nella toppa della serratura ed apro la porta con un cigolio agghiacciante. Richiudo la porta replicando il rumore ”spero che la vicina non si sia svegliata, sennò domani mi aspetta una bella sorpresa”.

Mi sistemo per andare a letto ma non riesco a far altro che fissare il soffitto. Dai tempi dell’università è sempre stato così, quando ho un problema che mi stuzzica in testa, non riesco a levarmelo ed inizio a pensare… Mi giro, prendo il quaderno che ho sempre sul comodino ed inizio a scrivere.

”Come al solito cerchiamo di vedere le cose più in generale, spesso aiuta!” Prendiamo una probabilità α ∈ (0, 1) generica e riscriviamo l’equazione dell’iperbole.

$$A^2-A-\alpha(N^2-N)=0$$

Voglio ricostruire anche questa volta l’equazione degli asintoti, quindi completo i quadrati

$$\left(A-\frac{1}{2}\right)^2-\alpha\left(N-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{\alpha-1}{4}$$

ed applico la scomposizione della somma per differenza

$$\left(A-\frac{1}{2}-\sqrt{\alpha}\left(N-\frac{1}{2}\right)\right)\left(A-\frac{1}{2}+\sqrt{\alpha}\left(N-\frac{1}{2}\right)\right)=\frac{\alpha-1}{4}$$

Da qui otteniamo i due asintoti

$$r_{1}:A-\frac{1}{2}-\sqrt{\alpha}\left(N-\frac{1}{2}\right)=0$$
$$r_{2}:A-\frac{1}{2}+\sqrt{\alpha}\left(N-\frac{1}{2}\right)=0$$

Mi salta subito all’occhio come ci sia quel termine $\sqrt{\alpha}$, unico termine potenzialmente irrazionale in una scrittura altrimenti a coefficienti razionali.
“Ok, per noi $\alpha=\frac{1}{2}$ e $\sqrt{\frac{1}{2}}$ non è razionale. Magari,però, studiando questo caso, scopriamo qualcosa”.

Supponiamo che $\alpha$ sia il quadrato di un numero razionale, cioé $\alpha=\frac{m^{2}}{n^{2}}$. Sostituendo nell’equazione precedente e facendo minimo comune multiplo, otteniamo

$$\left(n\left(2A-1\right)-m\left(2N-1\right)\right)\left(n\left(2A-1\right)+m\left(2N-1\right)\right)=m^{2}-1$$

“Ma certo! Se $A$ ed $N$ devono essere interi, anche i numeri che otteniamo nelle due parentesi quadre devono essere interi! Ma, visto che come prodotto danno risultato $m^{2}-1$, devono essere dei divisori di tale numero! Ne segue che, comunque, tali soluzioni saranno necessariamente in numero finito!”

In preda a quell’estasi tipica della situazione, in cui dimostri qualcosa che ti dà soddisfazione, decido di scrivere un messaggio al mio amico. Tempo di prendere il telefono in mano e vedo una notifica “hai un nuovo messaggio”. Era lui, e mi linkava un articolo di Ivan Niven.

”Ecco quello che ci serviva! La dimostrazione è abbastanza tecnica, ma sostanzialmente ci dice che tutto dipende da come sono fatti gli asintoti…”
Il cuore mi batte forte, forse ero sulla buona strada.

”…Se gli asintoti possono essere scritti usando solo coefficienti razionali, allora le soluzioni sono in numero finito…”
ok, almeno non avevo preso cantonate.
”… se invece questo non è possibile, come nel nostro caso, hai due sole chance: o non esistono soluzioni, o se ne esiste una, allora ne esistono infinite!” 

Mi leggo l’articolo con calma. In effetti la dimostrazione è molto ”calcolosa” ma non impossibile da seguire. A quanto pare il problema che ci eravamo posti sfociava in un mondo dove a fare da padrone sono le cosiddette ”equazioni di Pell”, che sembrano essere invischiate in ambiti ben più importanti del nostro innocente enigma.

Tutto sommato mi mancava questo brio, mi mancava questa sensazione di estasi, questa soddisfazione nel risolvere un problema intrigante. Per fortuna certe passioni le continui a covare nel cuore e ti serve solo qualcuno che le risvegli.

 Conclusione

Il problema originale sul numero di figli è tratto dal libro di M. Gardner ”My Best Mathematical and logic Puzzles” e, nella soluzione, vengono indicate le soluzioni (4, 3) e (21, 15). In questo articolo abbiamo voluto raccontare, in modo fantasioso, quello che realmente è successo quando abbiamo deciso di girare il video su questo problema. Siamo partiti dai nostri approcci al problema, passando per le difficoltà incontrate ma anche per la curiosità che ci ha spinto a generalizzare l’enigma, porgendoci nuove domande. Per ultima, la soddisfazione ad ogni passo fatto in avanti generata dalla passione per la matematica ed amplificata dall’amicizia reciproca. Trovate il video relativo al problema sul canale del MATHsegnale al seguente  link.

CC BY-NC-SA 4.0
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