Negli anni ’70 del XX secolo e successivi, abbiamo assistito a una serie di ricerche di carattere algebrico che hanno interessato anche altri settori della Matematica. Più precisamente, si è constatato che gli ideali monomiali possono fare da ponte tra l’Algebra commutativa (che studia le strutture algebriche commutative, quali i gruppi abeliani, gli anelli commutativi unitari e i loro ideali) e la Combinatoria (che studia strutture algebriche come i loop, i monoidi o i reticoli, e usa metodi di ordinamento e conteggio). Infatti, molti oggetti combinatorici possono essere opportunamente associati a ideali monomiali. Ciò ci permette di risolvere una considerevole varietà di problemi algebrici, usando metodi di altre aree matematiche, e viceversa. In questo articolo siamo interessati agli invarianti algebrici e, nello specifico, alla profondità di Stanley. Essa, come tutti gli invarianti, può essere direttamente collegata a strutture combinatorie, come complessi simpliciali, poset e grafi.

Nel 1975, Richard Stanley ha dimostrato affermativamente la congettura del limite superiore per sfere simpliciali utilizzando la teoria degli anelli Cohen-Macaulay. Ciò ha creato una nuova tendenza dell’algebra commutativa, poiché si è capito che quest’ultima può fornire metodi per lo studio algebrico della combinatoria di politopi convessi e complessi simpliciali. Stanley è stato il primo a utilizzare concetti e tecniche di algebra commutativa in modo sistematico per studiare i complessi simpliciali.

Definizioni utili

Sia A un anello con le operazioni + e *. Un sottoinsieme I di A è un ideale destro se:

  1. (I, +) è un sottogruppo di (A, +)
  2. per ogni i in I ed ogni a in A l’elemento i * a è sempre in I;

e ideale sinistro se

  1. (I, +) è un sottogruppo di (A, +);
  2. per ogni i in I ed ogni a in A l’elemento a * i è sempre in I.

Un ideale che sia contemporaneamente destro e sinistro si dice ideale bilatero. Nel caso particolare in cui A sia un anello commutativo le nozioni date coincidono e parliamo semplicemente di ideale. Un ideale I che è generato da monomi è detto ideale monomiale.

La profondità di un modulo M sull’anello dei polinomi, denotata con depth(M) è la lunghezza comune di una M-sequenza massimale contenuta nell’ideale massimale m (consistente di elementi omogenei se M è graduato).

Un grafo G è una coppia ordinata di insiemi finiti disgiunti (V, E), dove E è un sottoinsieme dell’insieme delle coppie non ordinate di V. Gli elementi di V si chiamano vertici (o nodi) del grafo G, mentre gli elementi di E si chiamano spigoli (o archi).

Una corrispondenza in un grafo è un insieme di spigoli per il quale non esistono due spigoli distinti che condividono un vertice comune.

Sia G un grafo e sia M una corrispondenza non vuota di G. Diciamo che M è una corrispondenza ordinata, se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

  1. A è un insieme di vertici indipendenti di G;
  2. {ai, bj} ∈ E(G) implica i ≤ j.

Il numero della corrispondenza ordinata di G, denotato con ν0(G), è definito come il massimo dell’insieme delle cardinalità delle corrispondenze ordinate di G. Esso non è sempre facile da calcolare, e solitamente non si è in grado di esprimerlo in termini di invarianti classici di grafi in generale. Inoltre, tale numero non dipende dal grado locale dei vertici, ovvero dal numero degli spigoli incidenti il vertice. A tal proposito, vediamo un esempio. Siano G e G′ i grafi bipartiti qui rappresentati.

Poniamo A = {1, 2, 3, 4}, B = {5, 6, 7, 8}, A′ = {1, 2, 3, 4}, B′ = {5, 6, 7, 8}. Siano V(G) = A ∪ B e V(G′) = A′ ∪ B′, allora scopriamo che questi quattro insiemi hanno due vertici di grado locale 2 e due vertici di grado locale 3. Tuttavia, ν0(G) = 2 e ν0(G′) = 3. Infatti, per G, una corrispondenza ordinata di cardinalità massima è {{1, 5}, {2, 6}}, mentre per G′ {{1, 5}, {2, 6}, {3, 7}}.

In generale queste corrispondenze ordinate non sono uniche. Ad esempio, un’altra corrispondenza di cardinalità per G è {{2, 6}, {3, 8}}.
Adesso affrontiamo un passaggio cruciale, in quanto è qui che avviene il collegamento tra l’Algebra e la Combinatoria: sia, come di consueto, S l’anello dei polinomi e associamo ogni spigolo e = {i, j} di G al monomio ue = xixj di S.

L’ideale spigolo I(G) del grafo G è l’ideale di S generato dai monomi squarefree xixj, dove {xi, xj} è uno spigolo di G. Il duale di Alexander dell’ideale spigolo di G in S, denotato con J(G) è detto ideale copertura di G in S. La ragione per questa denominazione è data dal fatto che i generatori di J(G) corrispondono alle coperture minimali di vertici di G.

La profondità di Stanley

Richard Peter Stanley

Richard Peter Stanley è ben conosciuto per i suoi fondamentali contributi in combinatoria e nella sua relazione con l’algebra e la geometria, in particolare nella teoria dei complessi simpliciali. Due tipi di complessi simpliciali giocano un ruolo determinante in combinatoria: i complessi partizionabili e i complessi Cohen-Macaulay (si vedano [1] e [2] per maggiori dettagli). Stanley formulò una congettura importante relativa a queste due nozioni, secondo cui “tutti i complessi simpliciali Cohen-Macaulay sono partizionabili”.
Procediamo dando ulteriori definizioni. Sia K un campo, S l’anello dei polinomi in n variabili e I un ideale monomiale di S. Siano, inoltre, u un monomio appartenente a S e Z un sottoinsieme delle n variabili. Definiamo spazio di Stanley il sottospazio vettoriale di S su K, indicato con uK[Z], i cui elementi sono tutti monomi uv, con v monomio di K[Z]. La dimensione dello spazio di Stanley è data dalla cardinalità di Z.

Nel 1982, nell’opera Inventiones Mathematicae, Stanley definì quella che oggi è conosciuta come profondità di Stanley di un modulo graduato su un anello commutativo graduato. Forniamo ulteriori definizioni per addentrarci nell’argomento.

Sia I un fissato ideale monomiale di S. Una decomposizione D dell’ideale monomiale I come somma diretta finita di spazi di Stanley, è detta decomposizione di Stanley di I. Sappiamo che ne esiste almeno una.

Per una data decomposizione di Stanley D dell’ideale monomiale I, la minima dimensione di uno spazio di Stanley in D è detta profondità di Stanley e si denota con sdepth(D).

Infine, la profondità di Stanley di un ideale monomiale I è definita come il massimo delle profondità di Stanley al variare delle decomposizioni di Stanley di I.

D’ora in avanti denoteremo con Z l’insieme dei numeri relativi, assegnandogli la struttura di anello commutativo unitario.

Sia M un S-modulo Zn-graduato finitamente generato, allora su di esso è possibile fare delle considerazioni simili a quelle appena viste per un ideale monomiale I di S.

In generale, non è conosciuto alcun algoritmo per il calcolo della profondità di Stanley. Tuttavia, nel caso particolare in cui M sia della forma I / J, dove I e J ⊆ I sono ideali monomiali di S, tale algoritmo è stato formulato da Herzog, Vladoiu e Zheng.
Stanley ipotizzò che la maggiorazione

depth(M) ≤ sdepth(M)

valesse per tutti gli Zn-moduli graduati non nulli finitamente generati su S.
La congettura di Stanley fu dimostrata, ad esempio, per gli ideali monomiali squarefree in un anello di polinomi in n variabili su un campo K, o per un ideale dato dall’intersezione di quattro ideali monomiali primi. È stato trovato un controesempio che quindi nega la validità generale della congettura, ma la questione è ancora aperta per quanto riguarda particolari classi di ideali. Tale congettura implica quella riguardante i complessi simpliciali Cohen-Macaulay.

Profondità di Stanley di ideali associati a grafi

Il seguente risultato fornisce un limite inferiore per la profondità e per la profondità di Stanley di cover ideal di grafi. Sia G un grafo e J(G) il suo cover ideal. Allora

  1. sdepth(J(G)) ≥ n − ν0(G) e sdepth(S/J(G)) ≥ n − ν0(G) − 1,
  2. depth(S/J(G)) ≥ n − ν0(G) − 1.

Osserviamo che in queste disuguaglianze il numero della corrispondenza ordinata gioca un ruolo fondamentale ai fini della determinazione dei valori che vogliamo conoscere riguardo il grafo G e il suo cover ideal.
Proseguiamo analizzando un altro caso particolare in cui vale la Congettura di Stanley, riguardante le potenze dell’ideale copertura dei grafi bipartiti.
Notiamo preliminarmente che le successioni

e

sono convergenti. Quindi, il seguente teorema ci fornisce dei limiti inferiori per i limiti di queste successioni:
sia G un grafo bipartito, allora per ogni intero k ≥ 1, valgono le seguenti disuguaglianze

  1. sdepth(J(G)k) ≥ n − ν0(G);
  2. sdepth(S/J(G)k) ≥ n − ν0(G) − 1.

Osserviamo ancora una volta la presenza fondamentale del numero della corrispondenza ordinata all’interno delle formule di nostro interesse.

Conclusioni
L’essenza di questo articolo consiste nell’analizzare un potente strumento, quale è la profondità di Stanley, alla luce delle varie implicazioni che dal suo studio è possibile trarre nell’ambito dell’Algebra, ma anche nell’interscambio tra questa e la Combinatoria. Come abbiamo visto, il ponte tra le due branche, è rappresentato dagli ideali monomiali. Notiamo che questa influenza reciproca è insita, per esempio, nella stessa congettura di Stanley, che confronta un invariante combinatorio con un invariante omologico di un modulo. Lo studio dei casi particolari in cui la congettura vale (le cosiddette first power e high power, che abbiamo visto in precedenza) può essere utile per la formulazione e l’approfondimento di nuovi invarianti. Inoltre, molte proprietà di strutture algebriche possono essere viste come il riflesso di corrispettive proprietà di strutture combinatorie, quali i grafi, per esempio, e viceversa. Sottolineiamo la grande rilevanza che i grafi hanno in diversi ambiti, come quello informatico (pensiamo allo studio della struttura delle reti in termini di efficacia, efficienza e sicurezza). Pertanto, gli invarianti algebrici, la profondità di Stanley in particolare, sono un importante strumento di studio in ambito algebrico e, in senso lato, possono rappresentare un mezzo innovativo per lo sviluppo di nuove tecnologie.

Bibliografia

[1] J. Herzog, T. Hibi, Monomial ideals, Graduate texts in Mathematics 260, Springer–Verlag, 2011.
[2] S. A. Seyed Fakhari. Depth, Stanley depth, and regularity of ideals associated to graphs, Arch. Math. 107 (2016), 461–471.

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