Riceviamo e, molto volentieri, pubblichiamo questo contributo di Antonio Veredice, insegnante di matematica e fisica presso il Liceo Scientifico Peano di Monterotondo, laureato in matematica all’università “La Sapienza”, che attualmente sta svolgendo un dottorato di ricerca sulla storia e la didattica della Logica (segnaliamo un suo precedente contributo qui).
Sabato sera, ora di cena. Il test covid ha decretato la positività di mia moglie giovedì e, da allora, lei è reclusa in camera da letto e io devo barcamenarmi tra pranzi, cene, colazioni, lavatrici, lavastoviglie, bambini e … dovrei anche lavorare ma il lavoro, tanto agognato in questi casi, passa inevitabilmente in secondo piano.
Mentre cerco di impegnarmi in un’improbabile pizza broccoli e salsiccia, mio figlio mi chiama dal salone per giocare e contemporaneamente mia figlia, che fa la quarta elementare, mi chiama dalla sua camera da letto per dire che non riesce a fare i compiti di matematica. Devo decidere, o faccio finta di non aver sentito nessuno dei due e trangugio un altro shottino di Old Fashioned oppure…
<<Francesco prepara il gioco!>> , <<Irene, mi vuoi spiegare qual è il problema con questi compiti così difficili?>>
corro in camera sua e do un’occhiata veloce al foglio sul quale sta scrivendo:
Sono figure disegnate sul foglio quadrettato, hanno come vertici i punti della griglia quadrettata, lei deve calcolare il perimetro delle figure prendendo come unità di misura il quadretto oppure disegnare figure di perimetro assegnato.
Da buon papà attento alle esigenze pedagogiche dei figli, torno velocemente in cucina (c’è ancora la lavastoviglie da scaricare, devo apparecchiare, se vogliono vedere la televisione a che ora andranno a dormire?), e le grido
<<adesso Irene basta storie, mettiti lì, concentrati, ragiona e trova la soluzione! Guarda che gli esercizi di matematica non sono solo procedure da applicare o tabelline da imparare a memoria, bisogna soprattutto RA-GIO-NA-RE!>>
Intanto, mentre i broccoletti stanno rosolando sul fuoco, mi torna in mente per un attimo l’immagine della pagina quadrettata, rifletto un istante – intanto i broccoletti iniziano a bruciacchiarsi e a emettere un odore leggermente spiacevole – e decido che forse è il caso di dedicare qualche minuto in più al problemino, forse è un’occasione buona per fare un po’ di Matematica! Torno in camera sua.
IRENE: Vedi papà, finché si trattava di contare i quadretti ok, con un po’ di attenzione… ma disegnare una figura di perimetro dato è più difficile, già per disegnarne una di perimetro 30 ci ho messo un bel po’ di tempo, ma quella di perimetro 25 proprio non riesco a trovarla!
ANTONIO: mhhh… con quali figure hai provato?
I: Con rettangoli ma è impossibile, i perimetri vengono solo numeri pari.
A: E perché secondo te?
I: Forse è dovuto al fatto che i rettangoli hanno i lati a due a due uguali..
A: Perché?
I: Perché a due a due vuol dire che posso fare due gruppi di lati che hanno la stessa lunghezza quindi alla fine la somma delle lunghezze verrà sempre pari.
A: Ottimo! Hai provato con qualche altra figura? Hai visto negli esercizi precedenti…sei libera di tracciare figure chiuse a piacere, basta che i vertici coincidano con i vertici dei quadretti.
I: Sì ma non ci riesco, anche con figure strane, il perimetro viene sempre pari…
A: Pensa a cosa fai quando tracci le figure, da cosa parti…
I: Parto da un punto…
A: E poi…
I: Mi muovo in alto o in basso o a destra o a sinistra…
A: E poi…
I: Beh, in qualche modo devo tornare al punto di partenza quindi se faccio 7 quadretti verso sinistra, prima o poi devo farne anche 7 verso destra, la stessa cosa per l’alto e il basso….Quindi….
A: Quindi?
I: Quindi è impossibile!!! Cioè verrà sempre un perimetro pari!
A: Giusto! Hai visto! Abbiamo trovato un teorema! (A questo punto, sarà lo stress, saranno gli shottini di Old Fashioned, ma sono io ad essere preso da un entusiasmo smodato) Come lo chiamiamo? Teorema di Irene e papà? Teorema della Carta Quadrettata? eh?
I: …..
A: E poi dobbiamo pubblicarlo, ma su una rivista importante, ci vuole il tuo nome! Si potrà fare? Sei minorenne, ma è meglio muoversi per tempo, sai l’Accademia è una giungla!
I: Papà ma cosa dici? Di che stai parlando? Ma soprattutto cosa scrivo alla maestra?
A: Ah già giusto…la maestra, non dobbiamo dimenticarci della maestra, in fin dei conti il merito di questa importante scoperta è anche suo…potremmo chiamarlo Teorema M. Che ne dici?
I: Ma no! Cosa scrivo alla maestra come soluzione dell’esercizio!
A: Certo! La soluzione… pensi che le basterà questo ragionamento euristico oppure vuole una prova più rigorosa? Stavo pensando al metodo della discesa infinita o a una dimostrazione per induzione … però farei induzione sul numero di quadratini che appartengono alla figura cioè sull’area non sul perimetro, come caso base prendiamo la figura formata da un solo quadratino, per il passo induttivo…
I: Oddio papà… mamma aiuto!
Intanto mia moglie, che grazie al suo sesto senso e alle mie esternazioni scomposte ha captato la faccenda, fa una rapida ricerca sul web che mette fine alle nostre ambizioni (clicca qui per leggere l’articolo su MaddMaths)…in ogni caso, voi come lo dimostrereste?
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Io lo dimostrerei per induzione sul numero di quadratini che formano la figura.
Una figura formata da un quadratino ha perimetro 4.
Per ipotesi induttiva una figura formata da n quadratini abbia perimetro pari.
Ora consideriamo una figura formata da n+1 quadratini.
Tolgo da queste un qualsiasi quadratino e ottengo una figura ausiliaria formata da n quadratini della quale quindi so che ha il perimetro pari.
Il quadratino tolto aggiunge al perimetro di questa 4 lati mentre l’atto di aggiungerlo cancella da 1 a 4 coppie di lati uno del quadratino e uno della figura ausiliaria.
Quindi il perimetro della figura formata da n+1 quadratini è il perimetro della figura ausiliaria (pari) più 4 (pari) meno un numero tra 2, 4, 6 e 8 (pari). Pertanto è pari.
La dimostrazione funziona anche per figure sconnesse: in questo caso potrebbe darsi il caso che il quadratino tolto sia isolato e quindi dopo il meno c’è uno 0 (il numero dei lati in comune tra il quadratino e la figura ausiliaria).
E se si utilizzassero i “mezzi”? Si potrebbe disegnare un rettangolo con il perimetro da 25q con 2 lati da 7 (lati di) quadretto e gli altri 2 lati da 5 (lati di) quadretto e mezzo.
Infatti… però la regola (implicita) sembra essere che i vertici ammissibili sono solo i vertici dei quadratini della griglia…
Ciao Daniele! Grazie per il contributo!! Anche io, come dico in modo scherzoso nel post, pensavo a un’induzione sul numero di quadratini appartenenti alla figura. Qualche amico mi ha scritto proponendo altre idee, se qualcuno volesse condividerle qui sarebbe bello…
Per la dimostrazione del teorema di Irene, ripercorrendo la sua intuizione, la prima cosa che mi viene in mente:
Il percorso del perimetro del poligono è
la somma di traslazioni “orizzontali’ e di traslazioni “verticali “ e deve essere 0
ni+mj=0
con i e j versori.
Quindi n=0 e m=0
Il numero di traslazioni parallele al versore i in un verso è uguale a quello in verso opposto…
(così per j).
Grazie Rita, bella l’idea dei vettori! Chi ha altre idee?