Nei giorni 3, 4 e 5 maggio 2022 si sono tenute le prove scritte del concorso STEM alle quali hanno preso parte circa 30.000 candidati. Analogamente a quanto accaduto all’indomani della prova scritta per l’A047 (Scienze matematiche applicate), anche questa volta ci sono state svariate polemiche da parte dei candidati, legate non tanto alla difficoltà dei quesiti, quanto alla possibilità di non poter usare carta e penna, come peraltro indicato alcuni giorni prima da parte della commissione nazionale di esperti nominata dal Ministero dell’Istruzione.
Va detto innanzitutto che le percentuali di promossi, stando almeno ai primi dati che sono circolati in rete, sono piuttosto basse. In attesa di avere numeri più ufficiali, sembrerebbe che ad aver superato lo scritto dell’A026 (Matematica) siano stati solo il 3% dei candidati. Un po’ meglio le altre discipline STEM, con un 15% circa per l’A020 (Fisica) e percentuali intorno al 20% per l’A041 (Scienze e tecnologie informatiche) e per l’A028 (Matematica e scienze). Forse un po’ sopra il 20% per l’A027 (Matematica e Fisica), dove i candidati hanno dichiarato (sui vari social) di aver trovato decisamente abbordabili i quesiti di fisica. Va però specificato che tali percentuali sono frutto di medie e di conti effettuati dal sottoscritto estrapolando i dati emersi a macchia di leopardo in rete e sulle pagine dei singoli USR e pertanto vanno intese solo come tendenze anziché come numeri effettivi.
Sui limiti di questo concorso, così strutturato e con i vincoli imposti, trovate alcune considerazioni in un mio precedente articolo (pubblicato qui). L’impressione generale è che “andava meglio quando andava peggio”, rimpiangendo quelle forme di reclutamento utilizzate in precedenti concorsi, talvolta con domande aperte anche impegnative ma che permettevano al candidato di poter meglio dimostrare le competenze di cui si era in possesso. Il dibattito su quale tipologia di prova possa meglio selezionare il futuro corpo docenti della scuola italiana resta aperto: è più opportuno usare dei quiz a risposta multipla, per loro natura oggettivi e, se svolti al computer, dal responso immediato, o domande aperte, con i pro e i contro relativi alla loro correzione e valutazione? Meglio prove inerenti la disciplina, che un futuro docente non può non conoscere, o domande riguardanti aspetti più prettamente didattici e metodologici? Probabilmente “in medio stat virtus”… Ad ogni modo, qualunque sarà la scelta che verrà fatta, ciò che deve caratterizzare le prove di un concorso, a mio avviso, sono la coerenza con quanto dichiarato nelle normative relative al concorso stesso e l’omogeneità delle procedure. Stando ancora una volta a ciò che viene riportato sui social, pare che anche per le discipline STEM, nonostante le indicazioni da parte della commissione nazionale di esperti, ci siano state delle sedi d’esame in cui sia stato concesso l’uso della carta e penna. O tutti (come a mio avviso sarebbe stato opportuno fare) o nessuno.
Tralasciamo in questa sede tutta una serie di considerazioni volte a comprendere la ragione di un simile fallimento delle prove concorsuali appena svolte, riconducibili non solo al mancato uso della carta e penna ma anche ad altri aspetti come, a titolo di esempio e senza voler essere esaustivi, l’ansia da prestazione o il poco tempo a disposizione per rispondere a ciascun quesito. Proviamo a vedere invece come potevano essere svolti alcuni degli esercizi di matematica proposti (sia per l’A026 che l’A027), scelti esclusivamente sulla base dei gusti del sottoscritto, cercando di risolverli adottando strategie, ove possibile, che riducano al massimo i conti e quindi l’uso della carta e penna (non escludo chiaramente che esistano procedure ancora più brevi di quelle da me proposte). Talvolta adotterò la strategia dell’ andare “per esclusione”, cosa ammissibile sotto le ipotesi che la risposta corretta sia una ed una sola.
(A026) Siano $V$ e $W$ sottospazi vettoriali propri dello spazio vettoriale reale $R^{3}$. Si considerino le seguenti affermazioni:
[I] $dim(V) + dim(W) = 3$
[II] $dim(V \cap W) <3$
[III] $dim(V \cap W) \leq 3$
[IV] $dim(V+W) – dim (V \cap W) = dim (V) + dim(W)$
Quali tra queste affermazioni sono sicuramente vere?
a) tutte
b) tutte tranne la [I]
c) solo la [IV]
d) solo la [II] e la [III]
Un simile esercizio può essere risolto provando ad immaginare alcune possibili configurazioni geometriche nell’usuale spazio tridimensionale. Ad esempio se consideriamo come $W$ una retta (dimensione 1) e $V$ un piano (dimensione 2), con la retta appartenente al piano, allora sono verificate la [II] e la [III] ma non la [IV] in quanto $dim(V+W)=2$, $dim(V \cap W)=1$ e la relazione è sbagliata, così come non è verificata la [I] se pensiamo, ad esempio, a due piani distinti, ciascuno di dimensione 2. La relazione [IV], in particolare, ricorda la formula di Grassman ma, per essere corretta, sarebbe dovuta essere scritta come $dim(V+W) + dim(V \cap W) = dim(V) + dim(W)$. Quanto detto ci basta per affermare che la risposta corretta è la d).
Riguardo al precedente esercizio, sembrerebbe che il ministero abbia erroneamente segnalato la b) come risposta giusta. Si è trattato di un errore di settaggio della piattaforma, o l’ultima relazione sarebbe dovuta effettivamente essere la formula di Grassman (e conseguentemente la risposta b) diventava corretta)? Non lo sappiamo, ma chiaramente ci aspettiamo che un simile refuso venga corretto e i punteggi dei concorrenti aggiornati di conseguenza.
(A027) Quale, fra i seguenti insiemi, è un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale reale $R^{2}$?
[a] {${(x,y) \in R^{2} : xy = 0}$}
[b] {${(x,y) \in R^{2} : x = y}$}
[c] {${(x,y) \in R^{2} : x + y +1 = 0}$}
[d] {${(x,y) \in R^{2} : x \geq 0}$}
a) [b]
b) [c]
c) [d]
d) [a]
L’esercizio può essere risolto in modi diversi. Ad esempio, si può osservare che l’insieme in [a] non è chiuso rispetto alla somma (ad esempio, i vettori $(1,0)$ e $(0,1)$ appartengono a tale insieme ma non la loro somma $(1,1)$). L’insieme in [c] non contiene il vettore nullo $(0,0)$ mentre l’insieme in [d] non contiene tutti i multipli $\lambda v$ con $v$ un qualunque vettore con $x>0$ e $\lambda$ negativo. L’unico insieme che rappresenta uno spazio vettoriale è quello in [b], e pertanto la risposta corretta è la a). Da notare la scrittura utilizzata all’interno degli esercizi, con le lettere assegnate alle risposte che potevano essere confuse (in questo come in altri esercizi) con le lettere assegnate nelle opzioni che le precedono.
(A027) Quanti sono gli anagrammi della parola COLORE che non iniziano con la R?
a) 270
b) 300
c) 324
d) 360
Gli anagrammi della parola COLORE, dal momento che la lettera O è ripetuta due volte, sono $\frac{6!}{2!}$. A questi vanno tolti gli anagrammi della parola COLOE (in cui la R si suppone fissata in prima posizione), vale a dire $\frac{5!}{2!}$. Si può procedere con il calcolo diretto ($\frac{720}{2}- \frac{120}{2}=360-60=300$) oppure osservare che $\frac{6!}{2!}- \frac{5!}{2!}= \frac{5! \cdot (6-1)}{2}= \frac{120 \cdot 5}{2}=60 \cdot 5 = 300$. La risposta corretta è la b).
(A027) Quante terne ordinate distinte di interi non negativi verificano l’equazione $x_{1}+ x_{2}+ x_{3}=18$?
a) 190
b) 250
c) 160
d) 280
Un ragionamento forse un po’ elementare ma efficace è il seguente. Immaginiamo di dover suddividere 18 elementi, ad esempio 18 caramelle indistinguibili fra loro, fra tre bambini. Dopo aver allineato sul tavolo le 18 caramelle, utilizzo due separatori (ad esempio, due barrette) che vado ad inserire fra di esse: tutte le caramelle che si trovano prima della prima barretta andranno al bambino $x_{1}$, le caramelle comprese tra la prima e la seconda barretta andranno al bambino $x_{2}$ ed infine le caramelle dopo la seconda barretta andranno al bambino $x_{3}$. Dunque cerco tutti i possibili anagrammi di una stringa formata da 18 caramelle e due barrette, vale a dire $\frac{20!}{18!2!} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190$. La risposta corretta è la a). Il conto è facile ma l’impostazione del quesito, almeno stando al tipo di ragionamento da me adottato, è meno banale.
(A026) Con quanti zeri termina $1000!$ ?
a) 200
b) 220
c) 500
d) 249
Un numero possiede uno zero finale se è divisibile per 10. In particolare, un numero possiede esattamente $k$ zeri alla fine se è divisibile per $10^{k}$ (ma non per $10^{k+1}$), vale a dire nella sua scomposizione sono presenti i fattori 2 e 5, di cui almeno uno dei due con esponente pari a $k$ e l’altro con esponente maggiore o uguale a $k$. Dal momento che $1000!$ presenta, banalmente, più fattori 2 che 5, basta contare quanti sono quest’ultimi. Vi sono $1000 : 5 = 200$ fattori 5, ma ogni cinque di questi fattori ve ne è esattamente uno che “vale (almeno) il doppio”, nel senso che è un multiplo di $25 = 5^{2}$, ed essi sono $200 : 5 = 40$. Tra quest’ultimi, ogni cinque ve n’è esattamente uno che “vale (almeno) il triplo”, cioè è multiplo di $125 = 5^{3}$, ed essi sono $40 : 5 = 8$. Infine, il numero $625 = 5^{4}$ contribuisce con un ulteriore fattore 5. Dunque l’esponente di 5 nella scomposizione di $1000!$ è $200+40+8+1=249$. La risposta corretta è la d).
(A027) Un triangolo equilatero di lato $l=3 cm$ è inscritto in una circonferenza la quale, a sua volta, è inscritta in un quadrato. L’area del quadrato è pari a:
a) $24 cm^{2}$
b) $18 cm^{2}$
c) $12 cm^{2}$
d) $9 cm^{2}$
Il quesito effettivamente è di facile risoluzione anche senza poter abbozzare un disegno. Se il triangolo equilatero è inscritto nella circonferenza, allora il diametro della circonferenza, per il teorema della corda, è pari a $\frac{l}{sen60°}= 3 \cdot \frac{2}{ \sqrt{3} } cm = 2 \sqrt{3} cm$. D’altro canto il diametro della circonferenza è lungo tanto quanto il lato del quadrato, da cui l’area cercata è pari a $(2 \sqrt{3})^{2} cm^{2} = 12 cm^{2}$. La risposta corretta è la c).
(A026) Un solido è formato da un cubo di lato $l$ sormontato da un cono circolare retto con la base inscritta nella faccia superiore del cubo. Quanto dovrà essere alto il cono, se si vuole che il suo volume sia pari al doppio del volume del cubo?
[a] $12 \pi l$
[b] $\frac{24}{\pi}l$
[c] $\frac{12}{\pi}l$
[d] $18 \pi l$
a) [c]
b) [b]
c) [d]
d) [a]
Il volume del cubo è pari a $V_{1} = l^{3}$, quindi il volume del cono deve essere pari a $V_{2} = 2l^{3}$. Di conseguenza l’altezza del cono dovrà essere pari a $h = \frac{3V_{2}}{S}$ con $S = \pi \frac{l^{2}}{4}$, cioè $h = 6l^{3} \cdot \frac{4}{\pi l^{2}} = \frac{24}{\pi}l$. La risposta corretta è la b).
(A026) Sono assegnati due esagoni regolari di cui uno avente area doppia rispetto all’altro. Sapendo che il lato dell’esagono avente area maggiore è pari a 4, allora il lato dell’esagono avente area minore è pari a:
a) l’inverso della radice quadrata di 2
b) la radice quadrata di 2
c) 2
d) il prodotto di 2 per la radice quadrata di 2
Le due figure assegnate sono simili fra loro (in generale, tutti i poligoni regolari aventi fra loro lo stesso numero di lati sono simili fra loro), pertanto se $k$ è il rapporto di similitudine, le aree sono in un rapporto pari a $k^{2}$. Ne consegue che il rapporto di similitudine fra i due esagoni, uno doppio dell’altro, è pari a $\sqrt{2}$ e quello di area minore avrà lato lungo $\frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$. La risposta corretta è la d).
(A027) Sei ragazzi europei, due americani e tre africani sono gli 11 giocatori di una squadra di calcio. Sono sorteggiati a caso due di essi. Qual è la probabilità che sia sorteggiato almeno un africano?
a) $\frac{18}{55}$
b) $\frac{11}{55}$
c) $\frac{5}{11}$
d) $\frac{27}{55}$
La probabilità che non venga sorteggiato alcun africano è pari a $\frac{8}{11} \cdot \frac{7}{10} = \frac{28}{55}$, da cui la probabilità cercata è pari a $1-\frac{28}{55} = \frac{27}{55}$. La risposta corretta è la d).
(A026) Cecilia possiede due dadi indistinguibili con le facce numerate da 1 a 6. Uno dei due dadi è regolare, mentre l’altro è truccato; nel dado truccato, la probabilità che esca valore 1 è pari a $\frac{3}{8}$ mentre le rimanenti facce hanno ciascuna probabilità $\frac{1}{8}$. Qual è la probabilità che, lanciando uno dei due dadi a caso, si ottenga il valore 3?
a) $\frac{15}{96}$
b) $\frac{5}{36}$
c) $\frac{7}{48}$
d) $\frac{1}{8}$
Ciascun dado può essere pescato con una probabilità pari a $\frac{1}{2}$. Nel dado non truccato la probabilità di uscita di ciascuna faccia è pari a $\frac{1}{6}$, da cui la quantità cercata è pari a $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{12} + \frac{1}{16} = \frac{7}{48}$. La risposta corretta è la c).
(A026) Alle ultime elezioni comunali lo schieramento A ha preso il 60% dei voti mentre lo schieramento B ne ha presi il 40%. Si sa che il 50% di coloro che hanno votato lo schieramento A è favorevole all’apertura del centro storico alle auto, mentre solo il 30% di coloro che hanno votato lo schieramento B è favorevole all’apertura del centro storico alle auto. Se un elettore scelto a caso è favorevole all’apertura del centro storico alle auto, qual è la probabilità che abbia votato lo schieramento B?
a) $\frac{6}{19}$
b) $\frac{2}{7}$
c) $\frac{9}{19}$
d) $\frac{3}{5}$
Applicando la formula di Bayes, risulta che $P(B|fav) = \frac{P(fav|B) \cdot P(B)}{P(fav|B) \cdot P(B) + P(fav|A) \cdot P(A)}$, da cui la probabilità cercata è pari a $P(B|fav) = \frac{0,3 \cdot 0,4}{0,3 \cdot 0,4 + 0,5 \cdot 0,6} = \frac{0,12}{0,12 + 0,3} = \frac{0,12}{0,42} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}$. La risposta corretta è la b).
(A026) Dati due numeri reali $x$, $y$ con $x>y$, si sa che la loro media geometrica è 8 e quella aritmetica è 10. Allora $x-y$ risulta essere:
a) 2
b) 10
c) 16
d) 12
Poiché $\sqrt{xy}=8$, allora $xy=64$ mentre se $\frac{x+y}{2} = 10$, allora $x+y = 20$. Cerco dunque due numeri $x$, $y$ aventi somma pari a 20 e prodotto 64. La ricerca può essere fatta a mente, senza scomodare la risoluzione di un’equazione del tipo $x^{2} – 20x + 64=0$. I numeri cercati sono 16 e 4 e la loro differenza è pari a 12. La risposta corretta è la d).
(A026) Si consideri l’espressione $p(n) = 6^{n}-1$, con $n$ numero naturale maggiore o uguale a 1. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
a) $p(n)$ è divisibile per 5 ma non può mai essere divisibile per 25
b) si può dimostrare per induzione che $p(n)$ è divisibile per 5
c) si può dimostrare mediante l’uso delle congruenze che $p(n)$ è divisibile per 5
d) $p(n)$ è un numero primo solo per $n=1$
Poiché l’espressione data, che può essere vista come la differenza di due potenze n-sime, può essere scomposta in due fattori entrambi diversi da 1, allora essa assume un valore primo solo per $n=1$ ($6^{1}-1=5$). D’altro canto si dimostra in maniera immediata, mediante l’uso delle congruenze, che $p(n)$ è divisibile per 5 (infatti $6^{n}-1 \equiv 1^{n}-1 \equiv 0$ modulo 5), così come è altrettanto semplice dimostrare la divisibilità per 5 per induzione (il passo base è immediato; inoltre $6^{n+1}-1 = 6 \cdot 6^{n} – 6 + 5 = 6 \cdot (6^{n}-1) + 5$, con i due termini dell’ultimo membro entrambi multipli di 5). Per esclusione, la risposta corretta è la a). Una risposta diretta la si poteva ottenere osservando fin da subito che, per $n=5$, risulta $6^{5}-1 = (6-1)(6^{4}+6^{3}+6^{2}+6+1)$, con il secondo fattore multiplo di 5 in quanto somma di 5 termini congrui a 1 modulo 5.
(A026) Comunque assegnati due numeri naturali dispari $a$ e $b$, con $a$ maggiore o uguale a $b$, allora:
a) $a^{2} + b^{2}$ non può mai essere un quadrato perfetto
b) il resto della divisione euclidea tra $a$ e $b$ è un numero pari
c) $MCD(a,b) = 1$
d) $ab-1$ è multiplo di 4
La risposta corretta è la a). Infatti posto $a=2k+1$ e $b=2h+1$ per opportuni $k, h $ naturali, allora $a^{2}+b^{2} = 4k^{2}+4k+1+4h^{2}+4h+1 = 4r+2$ (con $r$ naturale), e dunque la somma indicata non può mai essere un quadrato perfetto in quanto multiplo di 2 ma non di 4. Per chi ha dimestichezza con le congruenze, poteva osservare che un numero dispari è congruo a 1 o a 3 modulo 4, di conseguenza $a^{2}$ e $b^{2}$ sono congrui a 1 modulo 4 e la loro somma è congrua a 2 modulo 4, mentre i quadrati sono tutti congrui a 0 o ad 1 modulo 4. Infine, si potevano anche escludere le altre risposte assegnando valori particolari ad $a$ e $b$. Ad esempio la b) è falsa (basta prendere $a=11$ e $b=5$, il resto della loro divisione è pari a 1), la c) è falsa (basta prendere $a=15$ e $b=9$), così come è falsa la d) (basta prendere $a=5$ e $b=3$; risulta $ab-1 = 5 \cdot 3 -1 = 15-1=14$).
(A026) Sia $k \in R$. Nel piano cartesiano di coordinate $(x,y)$, si consideri l’equazione $$kx^{2}-2xy+y^{2}-2kx+2y+1=0$$ Le seguenti affermazioni sono relative a tale equazione:
[I] rappresenta una conica degenere se e solo se $k=1$
[II] rappresenta un’ellisse se e solo se $k>1$
[III] $\exists k \in R$ per cui rappresenta una coppia di rette distinte
[IV] $\not\exists k \in R$ per cui rappresenta una parabola
Sono vere:
a) tutte
b) solo la [II]
c) la [I], la [II] e la [IV]
d) solo la [I] e la [IV]
Il minore di ordine due che permette di effettuare la classificazione della conica è $$\begin{pmatrix} k & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ il quale ha determinate $k-1$. Se $k>1$ si tratta di un’ellisse, se $k=1$ si tratta di una parabola mentre se $k<1$ si tratta di un’iperbole. Dunque l’affermazione [II] è vera, così come è vera l’affermazione [IV] in quanto si vede bene che per $k=1$ la parabola è degenere ottenendo il quadrato di un trinomio. A questo punto le risposte b) e d) sono false, la [I] è vera (peraltro contemplata nelle rimanenti risposte a) e c) come possibile affermazione vera), mentre la [III] è falsa, in quanto in contrasto con la [I] e l’osservazione che per $k=1$ si ha un quadrato di un trinomio. Dunque la risposta corretta è la c).
(A026) Il polinomio reale ottenuto derivando rispetto a $x$ il polinomio $$f(x) = 1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + x^{6} + x^{7} + x^{8}$$ è uguale al risultato di quale delle seguenti divisioni?
[a] $\frac{8x^{9}+9x^{8}+1}{x^{2}-2x+1}$
[b] $\frac{8x^{9}-9x^{8}-1}{x^{2}-2x+1}$
[c] $\frac{8x^{9}-9x^{8}+1}{x^{2}-2x+1}$
[d] $\frac{8x^{9}+9x^{8}-1}{x^{2}-2x+1}$
a) [c]
b) [d]
c) [a]
d) [b]
Pensare di fare la divisione fra numeratore e denominatore di ciascuna frazione algebrica è una strada lunga e poco agevole anche avendo a disposizione carta e penna. L’esercizio può essere affrontato in modi diversi. La derivata di $f(x)$ è pari ad un polinomio di settimo grado del tipo $f'(x)= \sum\limits_{k=1}^8 kx^{k-1}$, pertanto la risposta cercata deve essere un polinomio intero e la quantità $x^{2}-2x+1 = (x-1)^{2}$ presente al denominatore deve poter dividere il numeratore. Per il teorema di Ruffini $x=1$ deve quindi essere uno zero del numeratore, e ciò accade solo per la [c]. Dunque la risposta corretta è la a). Si poteva anche osservare che $f(x) = \sum\limits_{k=0}^8 x^{k} = \frac{x^{9}-1}{x-1}$ e procedere con la derivata di un quoziente (non immediata senza carta e penna ma comunque fattibile). Altrimenti, si poteva osservare che $f'(0) = 1$, condizione compatibile solo con le frazioni [a] e [c], nonché $f'(1)$ deve essere un valore finito (nella fattispecie, pari a 36), il che è compatibile solo con la [c].
(A027) Sia $a$ un parametro reale. Si consideri l’equazione $e^{x} = ax^{2}$, nella variabile reale $x$. Indicare quali, tra le seguenti affermazioni, sono vere:
[I] l’equazione non ammette più di tre soluzioni
[II] esiste almeno un parametro reale $a$ per cui l’equazione ammette due soluzioni
[III] l’equazione ammette almeno una soluzione, per ogni $a$ maggiore di 0
[IV] l’equazione può ammettere due soluzioni negative
a) tutte tranne la [IV]
b) solo la [I] e la [II]
c) tutte
d) solo la [I] e la [III]
La prima osservazione che viene da fare è che, essendo il primo membro dell’equazione positivo, allora affinché sia positivo anche il secondo membro deve risultare che $a>0$. Inoltre l’affermazione [I] è sicuramente vera in quanto contemplata in tutte e quattro le possibili risposte. Interpretando graficamente l’equazione, si cercano le intersezioni fra il grafico della funzione $y = e^{x}$, il cui andamento è ben noto, con il fascio di parabole $y = ax^{2}$, aventi tutte vertice nell’origine e concavità verso l’alto. Pertanto i due grafici, qualunque sia il valore di $a>0$, si incontreranno in uno ed un solo punto del secondo quadrante, il che implica che l’affermazione [IV] è sbagliata e la [III] è corretta. Anche la [II] è corretta: ad esempio se $a = \frac{e}{2}$ i due grafici si incontrano, oltre che in un punto del secondo quadrante, anche in $(2,e^{2})$. La risposta corretta del quesito è la a).
(A026) Una sola delle seguenti affermazioni relative alla funzione di variabile reale $f(x) = (x+1)^{3}e^{x+1}$ è falsa. Quale?
a) il grafico di $f$ ammette un asintoto orizzontale
b) il grafico di $f$ ammette un punto di flesso a tangente orizzontale
c) l’integrale tra -1 e 0 di $f(x)$ è maggiore o uguale a $\frac{e}{2}$
d) il grafico attraversa il III quadrante
Si verifica banalmente che la d) è vera per ogni $x<0$. Inoltre da un confronto fra il termine polinomiale e l’esponenziale si può affermare che $f(x)$ tende zero per $x$ che tende a meno infinito, dunque la a) è vera. La seconda e terza opzione presuppongono calcoli non difficili ma complicati da svolgere senza carta e penna. Per questo un modo di procedere può essere quello di svolgere delle considerazioni qualitative. La presenza del fattore $(x+1)$ con esponente 3, che va a moltiplicare un esponenziale, implica che tale fattore sarà presente sia nella fattorizzazione di $f'(x)$ che in quella di $f^{”}(x)$, dunque derivata prima e seconda si annullano entrambe per $x=-1$, da cui la b) è vera. Ne consegue che, per esclusione, l’unica affermazione falsa è la c). D’altro canto, a voler fare un conto diretto (ma non proprio banale a mente), si poteva osservare che $f^{”}(x)$ è il prodotto di un’esponenziale per una funzione lineare che si annulla in $x=-1$, quindi nell’intervallo $(-1,0)$ è convessa e giace sotto il segmento di estremi $(-1,0)$ e $(0,e)$ e quindi ha area minore del triangolo di area $\frac{e}{2}$.
(A027) Si consideri il problema di Cauchy $\begin{cases} y’ = \frac{y}{1+x^{2}} \\ y(0)=1 \end{cases}$ e sia $y=f(x)$ una soluzione in un intorno $U$ di $x=0$. Quale delle seguenti affermazioni sono vere?
[a] Il punto di coordinate $(\frac{\pi}{4},e)$ appartiene al grafico di $y=f(x)$
[b] $f(x)$ non è prolungabile su $R$
[c] $f(e) = \frac{\pi}{4}$
[d] La soluzione $y=f(x)$ è unica nell’intorno $U$
a) Solo [a] e [b]
b) Solo [a] e [d]
c) Solo [c] e [d]
d) Solo [b] e [c]
Per il teorema di esistenza ed unicità delle soluzioni del problema di Cauchy l’affermazione [d] è vera. Per verificare per quale dei due punti assegnati passa $y=f(x)$ si può procedere risolvendo l’equazione differenziale (a varabili separabili), ovvero $\int \frac{1}{y} dy = \int \frac{1}{1+x^{2}} dx$, $ln(y) = arctan(x) + c$ da cui, posta anche la condizione $y(0)=1$, risulta $y = e^{arctan(x)}$. Tale funzione, continua e derivabile su tutto $R$ (per cui l’affermazione [b] è falsa), non passa per nessuno dei due punti indicati in [a] e [c], il che implica che fra le quattro risposte assegnate non ce n’è nessuna corretta. Si è trattato sicuramente di un refuso (probabilmente in [a] si voleva scrivere che il punto di coordinate $(\frac{\pi}{4},e)$ non appartiene al grafico di $y=f(x)$?) al quale confidiamo che il Ministero possa intervenire, così come già accaduto per altre classi di concorso (e.g.: l’A060 – Tecnologia nella scuola secondaria di I grado), assegnando due punti aggiuntivi a tutti i partecipanti.
(A027) Si consideri il numero complesso $z=\frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{i}{2}$. la potenza $z^{105}$ vale:
a) -i
b) 1
c) i
d) -1
Il numero complesso assegnato, in forma trigonometrica, è banalmente pari a $z=cos( \frac{ \pi }{6})+isen( \frac{ \pi }{6})$. Allora, per la formula di De Moivre, risulta $z^{105} = cos( \frac{105 \pi }{6})+isen( \frac{ 105\pi }{6}) = cos( 16\pi +\frac{3}{2}\pi)+isen( 16\pi +\frac{3}{2}\pi) = cos(\frac{3}{2}\pi) + i sen(\frac{3}{2}\pi)$, dunque $z^{105}=-i$. La risposta corretta è la a).
Concludo con un’osservazione di tipo grafico. Guardando i testi delle prove, almeno per come sono circolati in rete, ho avuto l’impressione che la piattaforma utilizzata dal ministero non fosse idonea per poter inserire domande contenenti formule e relazioni matematiche. In generale, finché l’esercizio si presentava in forma discorsiva o si potevano scrivere a parole espressioni del tipo “maggiore o uguale” o semplici apici e pedici, non ci sono stati problemi. Ma quando gli esercizi presentavano relazioni più complicate, allora sembrerebbe come se siano stato scritti in un altro ambiente (ad esempio, mediante equation editor) e inseriti all’interno della piattaforma come immagini. Ciò spiegherebbe anche il motivo per il quale esercizi diversi compaiono con caratteri diversi e talvolta viene adottata una struttura un po’ pesante (si veda, a titolo di esempio, l’impostazione data al secondo esercizio qui riportato relativo ai sottospazi vettoriali). Se fosse vero quanto ipotizzato, è auspicabile un potenziamento di tale piattaforma e delle sue funzionalità in modo da agevolare in futuro (?) i candidati nella fruibilità e nella lettura dei quesiti.
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