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Breve resoconto di una conferenza su Matematica e Musica. In presenza. Negli Stati Uniti. Con una vibrante comunità di ricercatori. Perché in un mondo folle è più importante che mai aggrapparsi alle cose belle. Nel logo della conferenza vediamo una pesca, simbolo di Atlanta, con un toro degli intervalli musicali e una chiave di basso.

Alba su Atlanta, dalla mia camera d’hotel. Pic  ⒸM. Mannone

Il ritmo del jazz, il brillio della tromba, il vento che smuove le foglie delle piante di cotone. “Summertime” cantato da un’affascinante voce nera. Potrebbe essere l’inizio di un film. Oppure il contesto di una serissima conferenza di matematica. O meglio, di matematica e musica. Nella Georgia State University, dove ci sono le pantere nere, anzi, blu.

La mascotte della Georgia State University, una pantera blu. Pic  ⒸM. Mannone

Ciò di cui parlo è l’edizione del 2022 della biennale Mathematics and Computation in Music (MCM 2022), che si è svolta proprio ad Atlanta, in Georgia, negli Stati Uniti. Si sarebbe dovuta svolgere nel 2021, ma il Covid ha deciso diversamente. (Il Covid c’è anche nel 2022, ma ormai ci si è abituati).

MCM 2022 è stata una conferenza ibrida, con la maggior parte dei partecipanti in presenza, e alcuni in remoto. Tutti contenti di essere di nuovo in contatto, di rivedersi di persona vivi. Perché, tra pandemie, guerre, siccità, crisi energetiche e chi più ne ha più ne metta, rivedersi vivi e incontrarsi di persona è meno banale che mai.

Fontana nei pressi dell’edificio dove si è svolta la conferenza. Pic  ⒸM. Mannone

“Quando il mondo attorno a te diventa folle, la matematica fornisce un incomparabile anodino”, scriveva G. H. Hardy. Rifugiandosi nella Castalia di matematica e musica si è parlato di geometria, teoria delle categorie, algebra, informatica, combinatoria. Tutto questo, su e giù per le scale musicali, attraverso i trattati storici, immersi in rappresentazioni multidimensionali di simmetrie musicali.

Particolare di una fontana al Centennial Olympic Park. Pic  ⒸM. Mannone

La conferenza si è svolta dal 20 al 24 giugno 2022, ed è stata organizzata da alcuni guru del mondo mate-musicale: Mariana MontielOctavio A. Agustín-Aquino, Francisco Gómez, Jeremy Kastine, Emilio Lluis-Puebla, Brent Milam. Gli atti del convegno sono stati pubblicati da Springer.

Un susseguirsi di presentazioni e concerti ha fatto il punto della situazione sui principali temi di ricerca attuali. Un pomeriggio di divulgazione al Museum of Design Atlanta ha visto per la prima volta un pubblico eterogeneo per età e preparazione confrontarsi con argomenti ed exhibit mate-musicali interattivi. Una delle dimostrazioni era il mio (Hyper)CubeHarmonic, di cui parlerò dopo, e il primo museo virtuale di matematica e musica, pensato e sviluppato da Gilles Baroin. La comunità di riferimento è quella della Society for Mathematics and Computation in Music, presieduta da Moreno Andreatta e avente come rivista ufficiale il Journal of Mathematics and Music.

Le presentazioni sono state articolate in quattro sessioni: (1) teoria del ritmo e delle scale musicali analizzato punto di vista combinatoriale; (2) approcci categoriali e algebrici alla musica; (3) matematica per l’analisi musicale; (4) algoritmi per la modellazione di fenomeni musicali. Vediamo nel dettaglio le idee chiave presentate nelle varie sessioni. Presento a seguire una rapida rassegna degli argomenti di ogni sessione. (Della teoria delle categorie abbiamo parlato in precedenza su Math is in the Air).

Iniziamo dalla prima sessione, con ritmo, scale e modelli combinatoriali.

Richard Cohn (New Haven, USA) presenta un modello di relazioni metriche basato sulla teoria degli insiemi (set theory), focalizzandosi sulle “dissonanze metriche”. Nel suo video dalla Francia, Franck Jedrzejewski, da anni interessato alle scale microtonali (con intervalli inferiori al semitono), propone una nuova definizione di scale “microdiatoniche”. Definisce il grado di “maggioritudine” (majorness) di una scala musicale, attraverso i set a trasposizione limitata. Ricordiamo che la defininizione di maggiore/minore pertiene alle scale tradizionali diatoniche. In musica, nei “modi a trasposizione limitata”, usati da Messiaen, dopo un certo numero di trasposizioni verso l’acuto o verso il grave si ritorna alle note di partenza.

Rappresentazioni circolari delle scale.

Nella ricerca di Luis Nuño (Spagna), otto scale eptatoniche sono selezionate, insieme ai loro corrispondenti complementi pentatonici. Tali scale sono rappresentate da nuovi grafici “parsimoniosi”, chiamati 7- e 5-ciclopi. È stato anche mostrato un esempio di analisi musicale, in modo da interessare sia teorici che compositori.

Colored cube dance

Moreno Andreatta (Italia-Francia) presenta lo studio svolto con Alexandre Popoff e Corentin Guichaouha. Gli autori studiano la “Cube Dance”, un’arguta concatenazione di trasformazioni musicali tonali attraverso diagrammi “cubici” realizzata da Douthett e Steinbach, estendendola a un monoide di relazioni binarie definite su un set di triadi maggiori, minori e aumentate. A una discussione sul gruppo di automorfismi delle trasformazioni considerate segue la presentazione di un’applicazione web da provare e ascoltare. Per dettagliate informazioni mate-musicali, vi segnalo il blog di Alexandre.

Robert Peck (Louisiana, USA) si sofferma su insiemi combinatoriali, prendendo le mosse dalle trasformazioni classiche di trasposizione (P), inversione (I), retrogradazione (R), e retrogradazione inversa (RI). Ci ricorda la musica di Bach, e non solo.

Esempio di tonnetz

A proposito di classici. Anche un trattato dei secoli passati può ancora dirci qualcosa in matematica e musica. Sonia Cannas, in collaborazione con Maria Polo, analizza il Tentamen novae theoriae musicae, dove Eulero (sì, lui) elabora una nuova teoria musicale utilizzando la matematica. Sonia illustra il sistema teorico euleriano elaborato per giustificare il piacere nell’ascolto musicale, considerando differenze e similarità con altre teorie della consonanza. La figura a lato è una delle prime rappresentazioni della “tonnetz“, un reticolo con note e intervalli musicali.

La seconda sessione include modelli algebrici e categoriali.

Contrappunto di seconda specie e formulazione matematica

Octavio Agustín-Aquino (Messico) analizza e sviluppa ulteriormente il modello matematico del contrappunto (prima specie, nota contro nota) proposto da Guerino Mazzola, e basato su simmetrie affini e dicotomie forti. La ricerca di Agustín-Aquino estende le idee mazzoliane all’ambito microtonale, mostrando come destreggiarsi con le dissonanze e come estendere la formalizzazione al contrappunto di seconda specie (due note contro una). L’analisi matematica del contrappunto è anche stata affrontata da Dmitri Tymoczko e, nello stile dei duelli matematici dei secoli scorsi, non mancano diversità di opinioni e critiche reciproche!

Poster del museo virtuale di G. Baroin su oggetti mate-musicali. Sfondo: il museo e i Pirenei

Del museo virtuale su oggetti mate-musicali ho accennato sopra. Con una vista sui Pirenei dalle finestre a cui affacciarsi con il visore VR, il museo escogitato da Gilles Baroin (studioso con esperienza ventennale in animazione CGI) contiene una collezione interattiva dove non mancano ipersfere intrecciate, il nastro di Möbius e il cubarmonico. Si tratta di modelli utili per armonia tradizionale, atonale, spettrale, sistemi non temperati, fasi di Fourier e musica microtonale, proiettati su oggetti che variano dal cerchio all’ipersfera.

David Orvek (Indiana, USA) e David Clampitt (Ohio, USA) si focalizzano sulle classi “SUM”. Si tratta di insiemi di pitch-class i cui elementi sommano a un dato valore. I due David sviluppano le proprietà algebriche dei sistemi di classi SUM, e definiscono sistemi di intervalli quoziente generalizzati, estendendo il concetto dalla teoria dei gruppi.

Collegati in remoto dall’Italia, Greta Lanzarotto e Ludovico Pernazza presentano le loro ricerche sui canoni ritmici, focalizzandosi in particolare sulle tassellature aperiodiche (aperiodic tiling), ossia canoni dove voci interne ed esterne sono aperiodiche. Fino ad oggi, non conosciamo un metodo per costruire tutti i canoni ritmici della tassellatura aperiodica (anche chiamati “canoni di Vuza”). Greta e Ludovico propongono nuove costruzioni algebriche per estendere i canoni di Vuza.

Gesto (a sinistra) e banda (a destra) nello spazio dei colori

Durante la seconda sessione ho presentato una ricerca svolta in collaborazione con Juan Sebastián Arias Valero (Colombia), riguardante l’uso delle categorie per confrontare variazioni di timbri orchestrali e con variazioni cromatiche. La soggettività delle singole associazioni viene assorbita in classi di equivalenza di similarità percettive e similarità dei processi di trasformazione. Estendiamo la nozione di “gesto musicale” a cammini nello spazio del colore (come uno spazio euclideo R3 dell’RGB, o una varietà in generale) e nello spazio di timbri, con complessi simpliciali e infinito-gruppoidi. Una descrizione complementare include i bigruppoidi.

Concludono la sessione Thomas Noll (Germania-Spagna) e David Clampitt (Ohio, USA). Nel loro studio, i “modi ben formati a coppie” (Pairwise well-formed, PWWF), rappresentati da parole su un alfabeto di tre lettere, sono investigati in modo trasformazionale. È mostrato che tutti i modi PWWF possono essere generati da certe trasformazioni, le quali non sono tuttavia chiuse rispetto all’operazione di composizione. Thomas e David presentano anche una nuova costruzione per la generazione dei PWWF, con trasformazioni di parole su un alfabeto di 4 lettere, e congetturano che queste trasformazioni costituiscano un monoide.

Atti del convegno a colazione.

Nella terza sessione, consideriamo metodi per l’analisi musicale.

Gonzalo Romero-García (Spagna-Francia) presenta lo studio svolto con Isabelle Bloch (Francia) e Carlos Agon (Colombia-Francia) sulla “morfologia musicale”. Vengono definiti operatori musicali responsabili della trasformazioni in uno spartito musicale, per mezzo di gruppi tempo-frequenza. Due esempi: erosione e dilatazione, rispettivamente per togliere e aggiungere informazione rispetto alle strutture fondamentali.

Paul Lascabettes (Francia) e coautori (Carlos Agon, Moreno Andreatta e Isabelle Bloch) definiscono matrici di similarità nelle strutture musicali e proseguono la ricerca con filtri e operatori musicali. Le matrici di similarità si usano frequentemente anche per l’analisi del segnale. Un particolare uso di matrici per caratterizzare sequenze musicali simboliche era stato proposto in un articolo di meccanica quantistica e musica.

Coefficienti di Fourier per l’analisi musicale

Emmanuel Amiot (Francia) e Jason Yust (Massachusetts, USA) investigano il significato dei coefficienti di Fourier di oggetti musicali come scale e ritmi. Sebbene nei “soliti” spazi musicali le coordinate indichino separatamente l’assenza o la presenza di una nota, i coefficienti di Fourier denotano con precisione alcune caratteristiche musicali (quali diatonicità, cromatismo, modo maggiore o minore…) e possibilmente rispecchiano parte della percezione umana della musica. Ad esempio, il valore dei coefficienti della quinta (vedi figura a lato) indica la prevalenza degli intervalli di quinta in ogni musica composta con le note coinvolte in questo intervallo. Emmanuel e Jason analizzano il significato musicale di diversi prodotti di coefficienti di Fourier, caratterizzando i modi maggiore/minore e le scale diatoniche/pentatoniche.

Jordan Lenchitz (Florida, USA) and Anthony Coniglio (New York, USA) sintetizzano l’informazione contenuta nello spettro di un audio musicale attraverso un opportuno “cromogramma” logaritmico. Richard Leinecker e William R. Ayers (Florida, USA) lavorano nell’ambito della musica microtonale, proponendo un nuovo sintetizzatore.

Nella quarta ed ultima sessione, discutiamo tecniche di modellazione computazionale dei fenomeni musicali.

Dettaglio della modellazione timbrica

La ricerca di Matthew Klassen (Washington, USA) si focalizza sulla modellazione del segnale audio attraverso splines cubiche. Vengono rappresentati cicli e brevi frammenti audio per riprodurre un piccolo modello di suono strumentale. Tale processo consente il mixing, o mescolamento, di diversi suoni strumenti con una quantità limitata di dati. Matthew considera anche timbro e le variazioni timbriche come percorsi da un punto all’altro, realizzati attraverso l’informatica. In questo senso, la mia ricerca con Juan e lo studio di Matthew hanno dei punti in comune.

La funzione N2D3P9 calcolata su un database musicale

Dave Keenan (Australia) e Douglas Blumeyer (California, USA) sviluppano una funzione per migliorare la notazione musicale sagittale. Dato un numero razionale n/d per indicare un pitch, relativo a una tonica, la funzione chiamata “N2D3P9” ne stima il “rango di popolarità” fra tutti i pitch razionali nell’uso musicale. Un valore basso di N2D3P9 denota un uso frequente del rapporto (e dunque suggerisce un semplice simbolo di alterazione musicale), mentre un valore alto ne caratterizza un uso sporadico (suggerendo, se necessario, un simbolo più complesso). La funzione N2D3P9 potrebbe aiutare nella costruzione di scale o sistemi di intonazione.

K. Lemström (Norvegia) presenta due studi in collaborazione con Antti Laaksonen e Otso Björklund sul reperimento automatico di pattern musicali attraverso rappresentazioni tempo-frequenza.

Funzioni tonali e gradi della scala come un grafo.

Francisco Gómez e Isaac del Pozo (Spagna) discutono sulla classificazione della funzione tonale. Sebbene alcune definizioni di funzione tonale siano basate su consonanza e dissonanza, esse non funzionano per musiche dove la dissonanza sia presente negli accordi fondamentali, come nel jazz, o per musica della “pratica comune estesa” (nel senso di Tymoczko, dal Medioevo ad oggi). Il lavoro di Francisco e Isaac introduce un modello di funzione tonale basato sul moto ottimale delle parti, che consente di definire la funzione tonale quando gli accordi hanno diverse cardinalità.

L’ultimo intervento della conferenza è stata la mia presentazione dell’ipercubarmonico, la versione a quattro dimensioni del cubarmonico (HyperCubeHarmonic), realizzata in collaborazione con i docenti giapponesi Takashi Yoshino e Yoshifumi Kitamura e il ricercatore cino-francese Pascal Chiu. Del cubarmonico avevamo parlato in un post sulla NIME.

Effetto di una permutazione sugli otto cubi dell’ipercubarmonico.

Fra gli interessanti poster presentati, menziono in particolare uno studio sulla meccanica quantistica applicata alla musica di Peter beim Graben (Germania) e Thomas Noll, e uno studio sull’omologia applicata all’analisi musicale, ad opera di Victoria Callet (Francia). Sulla “Quantum Music”, disciplina emergente, rimando al post sulla conferenza omonima.

Non vi sono state sessioni concomitanti. Le sessioni plenarie nel senso di lectio magistralis sono state in forma di panel collettivi o individuali, riguardanti il futuro della ricerca mate-musicale, i diversi modi di indicare l’intervallo musicale “Do-Mi” a seconda dell’approccio teorico considerato (Julian Hook), il retroterra necessario per approcciarsi agli studi fra matematica e musica.

Fiori in campus. Pic @M. Mannone

I concerti hanno visto la realizzazione di alcune delle idee presentate, come la composizione musicale su un cammino hamiltoniano di accordi (Moreno Andreatta), la visualizzazione di complesse geometrie musicali (Gilles Baroin), ma anche la struttura grafico-ritmica del tango. Composizioni classiche come la Sonata “Faust” op. 28 di Rachmaninoff e “Les Funérailles” di Liszt sono state presentate e intepretate al pianoforte da… matematici affermati, rispettivamente Emilio Lluis-Puebla ed Emmanuel Amiot. Uno dei panel e uno dei concerti sono stati un omaggio a Jack Douthett, influente mate-musicista scomparso prematuramente.

Alcuni suggerimenti di letture prima di concludere, a parte i classici “preprint” su ArXiv e ResearchGate. Per approfondire ed essere guidati passo passo, ecco una raccolta di saggi sulla didattica di matematica e musica editi da Mariana Montiel e Francisco Gómez, e una raccolta di approcci alla ricerca mate-musicale, editi da Mariana Montiel e Robert Peck (il disegno e la grafica rispettivamente presenti nelle due copertine sono miei lavori). Un approfondimento sull’applicazione delle serie e trasformate di Fourier all’analisi musicale si trova nel libro di Emmanuel Amiot. Una visione d’insieme sugli spazi matematici per la musica è raccontata da Julien Hook nel suo libro in arrivo. Un approfondimento sul ritmo è presentato nel libro di Jason Yust. Specificamente per i lettori italiani, nel libro che ho co-editato (e co-tradotto) si trovano traduzioni in italiano di testi su musica e simmetria.

La collaborazione fra scienziati e artisti per sviluppare nuove idee e connettere arte e scienza è in sé uno strumento di pace. Forse, non solo un anestetico, come l’anodyne di Hardy, ma una cura vera e propria.

Un saluto da me e dalla pantera, e arrivederci al 2024!

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