Questa intervista prende spunto da un post pubblicato su Instagram dal prof Alberto Saracco (qui link) e dalle sue lezioni di Istituzioni di Matematica .

Qui di seguito inseriamo una delle immagini di quel post 

Il post pubblicato successivamente  sul gruppo facebook di MaddMaths ha suscitato un acceso confronto.

Poiché  la questione si ripropone ciclicamente sui vari forum e gruppi  dedicati alla matematica, abbiamo pensato di dedicarle un articolo.

Per farlo nel modo migliore abbiamo deciso di intervistare due esperti: Alberto Saracco e Luigi Tomasi . Il primo è professore associato di Geometria presso l’università di Parma nonché molto attivo nel campo della divulgazione collaborando al sito Maddmaths e con il suo canale youtube, il secondo è prof. a contratto presso l’Università di Padova, già prof. a contratto presso l’Università di Ferrara e  prof. di Matematica e Fisica nei Licei Scientifici di Rovigo.

Iniziamo con Alberto Saracco da cui è nato lo spunto di tutto:

Da dove è nata l’esigenza di porre il problema della radice quadrata di un numero positivo in base alla sua esperienza di professore universitario?

A: Da 9 anni tengo un corso di base (Istituzioni di Matematica) al corso di laurea in Farmacia. Il contenuto del corso è approssimativamente quello di una quinta Liceo Scientifico, con una parte extra dedicata a rudimenti di statistica descrittiva e su semplici equazioni differenziali.
Nel corso parto dalle basi, insiemi, numeri, logica elementare, e do tutte le definizioni di base. Tra queste, quella di funzione (come terna: dominio, codominio, legge), sulla quale mi sembra che gli studenti abbiano spesso una grande confusione. Quando parlo di radice quadrata come funzione inversa dell’elevamento al quadrato, mi viene naturale porre delle domande: dove ha senso parlare di questa funzione inversa? Quali sono il dominio e il codominio? E mi rendo conto che c’è una gran confusione sotto il cielo..

Come spieghi la risposta ai tuoi studenti?

A: Cerco di battere molto sulla definizione di funzione (perché alla fine è quella che mi interessa): una funzione è data da un dominio, un codominio e una legge che ad ogni elemento del dominio ne associa uno e uno solo del codominio. Se la radice quadrata è una funzione, allora la radice di 4 può assumere un solo valore, e non due. Definiamo “radice quadrata di un numero non negativo” come l’unico numero non negativo che elevato al quadrato dà il numero sotto radice. Questo perché la funzione di elevamento al quadrato,  con dominio R e codominio R, non è né iniettiva nè suriettiva, ma possiamo renderla iniettiva e suriettiva semplicemente restringendo dominio e codominio ai reali non negativi. Dopo aver dato la definizione di funzione, e di funzione iniettiva e suriettiva, amo chiedere ai miei studenti se $f(x)=x^2$ sia iniettiva e/o suriettiva. Non mi capita mai che qualcuno risponda: “ci ha dato solo la legge, ma non dominio e codominio, quindi non posso rispondere”. E ne approfitto per far vedere come la risposta alla domanda dipenda appunto da dominio e codominio .

Da dove si origina secondo te il problema?

A: Il problema è un problema complesso, e probabilmente non c’è una risposta semplice. Secondo me gran parte della confusione origina dal fatto che -fin dalle scuole medie- si è abituati a sentir parlare di due oggetti diversi “radice algebrica” e “radice aritmetica”, diversi ma chiamati con lo stesso nome. Le cose peggiorano in prima superiore, quando si inizia a parlare di “radici dei polinomi”. E quindi $x^2-4=0$ ha come radici +2 e -2, mentre LA radice quadrata di 4 è solo +2.
Ci sono ottime ragioni storiche per questa confusione… ancora Cartesio non utilizzava i numeri negativi, e nella sua esposizione della geometria analitica parlava di radici vere (cioè positive) e radici false (cioè negative, e quindi da scartare!) di un polinomio…

Se poi aggiungiamo che il concetto stesso di funzione, così come lo conosciamo oggi, è dell’Ottocento… 
I concetti matematici hanno avuto un’evoluzione storica, che spesso cerchiamo di nascondere sotto il tappeto. Ma facendolo (o, peggio, ignorando l’origine storica di certe nomenclature) si rischia di confondere le idee ai poveri studenti, che devono ripercorrere millenni di storia della matematica in un decennio o poco più.
Ritengo che dovremmo porre molta attenzione alle definizioni che diamo e a non usare (o usare il meno possibile) lo stesso nome (o nomi simili) per concetti diversi. Questo problema capita anche per il concetto di funzione continua, che è spesso reso confuso dalla nozione di punti di discontinuità. Ma di questo ne ho parlato in un altro post Instagram.
Secondo me è fondamentale cercare di essere onesti e chiari con gli studenti: quando c’è una difficoltà o ambiguità terminologica, spiegarne il motivo e cercare di chiarire al meglio le cose.

Aggiungo una ulteriore osservazione.

E’ anche possibile considerare la radice quadrata come una multifunzione (ovvero una relazione che associa ad ogni elemento del dominio non necessariamente un solo elemento del codominio), e questo è ciò che si è costretti a fare quando si lavora coi numeri complessi. Ma le multifunzioni sono complicate, e non è certo il caso (didatticamente) di tirarle fuori quando ancora si deve iniziare a trattare l’analisi e il calcolo.
L’incomprensione tra i vari significati di radice sono evidenti quando vediamo stringhe di uguaglianze apparentemente sensate, ma contraddittorie come:
$$1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)}= \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = i \cdot i = -1$$

Cerchiamo di approfondire la questione dal punto di vista didattico, chiedendo l’opinione anche di Luigi Tomasi.

Quanto fa la radice quadrata di un numero positivo? Quale sarebbe la risposta che ritiene più corretta/completa?
L: Indubbiamente la radice quadrata di un numero positivo è unica (dipende comunque dal campo; mettiamoci nel campo reale; occorre precisarlo! Questo, purtroppo, a volte non viene fatto.)
Per esempio la radice quadrata di 4 è ovviamente 2. Solo “2” e NON “$\pm 2$”.
Quando uno studente (ma anche qualche insegnante… purtroppo, non solo in formazione…) mi risponde $\pm 2$ , chiedo sempre di provare a fare il calcolo, seppur banale, con una calcolatrice. Aggiungo che se la risposta fosse questa ($\pm 2$) allora la radice quadrata non sarebbe una funzione. Insomma cerco di far riflettere, a volte invano, sul concetto di funzione; la radice quadrata è una funzione e quindi la risposta che dà (l’output, se l’input è positivo o nullo) deve essere univoca. L’univocità è la caratteristica fondamentale di una funzione.

Perché c’è discussione sul tema? Secondo lei può derivare per esempio dal problema terminologico visto che coesistono in modo forse non sempre chiaro i termini come radice e radici di un polinomio?
Su questo tema c’è “discussione” (non in matematica…) perché si confonde l’operazione di radice quadrata di 4 (o in generale di un numero reale positivo o nullo) con la risoluzione dell’equazione $x^2-4=0$ (o se vogliamo, con la ricerca delle radici reali del polinomio $x^2-4$ ).
Osservo che questo errore è anche rafforzato dell’uso che facciamo del simbolo “$\pm$” in particolare quando scriviamo la formula risolutiva dell’equazione di 2° grado:

Questo simbolo (“$\pm$”) andrebbe usato con molta attenzione e con qualche spiegazione (da parte dell’insegnante) oppure addirittura evitato, perché crea delle concezioni errate negli studenti (e anche negli insegnanti, a volte). L’allievo pensa che la radice quadrata fornisca due valori!
Alcuni vecchi libri di testo per la Scuola secondaria di II grado (per esempio i testi di G. Zwirner) aggravavano la situazione introducendo, dopo il capitolo sui “radicali”, una distinzione tra radici aritmetiche (la radice quadrata aritmetica di 4 è 2) e radici algebriche (le radici quadrate algebriche di 4 sono +2 e -2), che creava solo una grande confusione ed errori a livello di Scuola secondaria di II grado. Addirittura si proponevano due simboli diversi per la “radice aritmetica” e per la/le “radice/i algebrica/che”.
A mio parere non conviene introdurre questa distinzione. Conviene invece parlare il più presto possibile della funzione “radice quadrata” (nei reali) e precisare dominio, codominio e sue proprietà. Inoltre, come premessa, occorre dire che la funzione (nei reali) non è invertibile. Quindi la funzione radice quadrata non è l’inversa di questa funzione, ma di una sua opportuna restrizione (ai reali non negativi).
Altre misconcezioni ed errori sono presenti sul valore assoluto e sul suo legame con la radice quadrata. Un errore frequente degli studenti è scrivere (senza conoscere a priori il segno di x):

$$ \sqrt{x^2}=x.$$

Occorre riflettere e ragionare con gli allievi che invece la risposta corretta è:

$$ \sqrt{x^2}=|x|.$$

Riporto qui di seguito una domanda tratta dalla prova INVALSI (del 2011) di Matematica per la classe II della Scuola secondaria di II grado.

Queste sono le percentuali (molto deprimenti…) di risposte, dove la risposta sbagliata (A) è scelta dal 49,2% degli studenti e quella corretta (C) dal 16,8%.

 Secondo alcuni si ereditano alcune abitudini sbagliate dalla Scuola secondaria di I grado (ovvero dalla “Scuola media”). Secondo lei è così? E in caso perché proprio alla scuola media?
L: Direi che in questo caso le radici dell’errore si trovano solo in parte nella Scuola secondaria di I grado, quando si parla dei numeri relativi. Mi sembra invece che la principale causa di queste misconcezioni sia da ricercare in quel che si apprende nei primi anni della Scuola secondaria di II grado.
Non si insiste abbastanza sul concetto di funzione!
Non si dice che la “radice quadrata” è una funzione (definita sui reali non negativi e con codominio ancora i reali non negativi).
Si riflette poco (o per niente) sugli strumenti di calcolo. Anche la più semplice calcolatrice tascabile (da pochi euro) possiede il “tasto” di radice quadrata. Proviamo a usarla e vedere cosa risponde quando vogliamo fare la radice quadrata di 4 !
Quando si risolvono le equazioni, inoltre, conviene riflettere sull’uso del simbolo “$\pm$”. Questo simbolo, molto ambiguo, non significa che la radice quadrata fornisce due valori opposti!

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