Esiste una definizione di linea retta?

Qualche settimana fa un amico mi ha scritto:

Io e mia figlia stiamo discutendo della definizione di retta. Lei sostiene che non ci sia una definizione di linea retta, io dicevo che è la linea che passa da due punti e che si estende all’infinito. Chiedo un aiuto!

Una fantastica domanda apparentemente semplice: esiste una definizione di linea retta? La risposta è una di quelle che non ci si aspetta quando si parla di matematica: dipende dal contesto.

Il problema del punto di partenza

La matematica procede definendo nuovi concetti a partire da concetti già definiti in precedenza e dimostrando nuovi teoremi o proprietà usando come punto di partenza teoremi già dimostrati.

Ad esempio, per definire cos’è un poliedro dovremo usare la parola poligono, per definire cos’è un poligono dovremo usare la parola segmento, per definire cos’è un segmento dovremo usare le parole retta e punto (ricordate? La parte di retta compresa tra due punti detti estremi!).

Si pone quindi un problema fondamentale: da dove si parte con le definizioni dei concetti matematici?

Nel linguaggio comune non c’è un preciso punto di partenza. Se andiamo a ritroso nelle definizioni delle parole in un dizionario, prima o poi torneremo a una parola già cercata in precedenza.

Per fare un esempio, riporto di seguito alcune definizioni tratte dal dizionario Treccani.

Casa: costruzione eretta dall’uomo per propria abitazione.

Abitazione: luogo che l’uomo costruisce, oppure sceglie o adatta fra quelli che a lui si offrono nell’ambiente naturale, come ricovero, stabile o temporaneo, per sé e per il suo gruppo familiare […]

Luogo: in senso ampio, una parte dello spazio, idealmente o materialmente circoscritta.

Spazio: il luogo indefinito e illimitato in cui si pensano contenute tutte le cose materiali […]

Eccoci entranti in un loop dove la definizione di luogo usa la parola spazio e la definizione di spazio usa la parola luogo.

La geometria Euclidea

Il grande merito del matematico Euclide è stato quello di capire che in matematica non si poteva accettare questa situazione con definizioni circolari, altrimenti non ci sarebbe stata chiarezza nel significato delle parole utilizzate. L’alternativa era allora quella di partire da dei concetti che non vanno definiti, ma che si considerano primitivi.

Di questi concetti primitivi vengono affermate alcune proprietà, dette assiomi o postulati, non dimostrabili. I concetti primitivi e gli assiomi sono il punto di partenza per dedurre e dimostrare una serie di conseguenze.

Oltre ad aver avuto questa intuizione, Euclide l’ha realizzata individuando 5 assiomi su cui poteva basare tutta la geometria. In questi assiomi compaiono una serie di parole di cui non viene data la definizione, ad esempio: “punto”, “linea retta”, “distanza”.

Come prima conclusione possiamo allora dire che dal punto di vista della geometria euclidea non esiste una definizione di linea retta e tale concetto è uno degli enti primitivi da cui si parte.

Come spiegarlo ai bambini?

Nonostante la mancanza di una vera definizione, in molti testi scolastici, soprattutto delle scuole elementari, si possono trovare dei tentativi di definizione. Nel libro di mia figlia c’è scritto che la retta è una linea che non ha inizio né fine, e viene contrapposta al concetto di semiretta (ha un inizio ma non una fine) e segmento (ha un inizio e una fine).

La definizione è ovviamente molto discutibile: anche una parabola non ha un inizio né una fine, ma non è una retta. Capisco che la tentazione di dare una definizione è forte e che l’obiettivo è di dare ai bambini delle certezze. Eppure, questo approccio può creare un po’ di smarrimento in futuro quando al bambino verrà insegnata una definizione non rigorosa diversa, oppure quando gli verrà detto che non esiste una definizione.

D’altra parte, anche spiegare ai bambini delle elementari che non esiste una definizione potrebbe essere complicato. Si tratta di un difficile dilemma per le insegnanti della scuola primaria.

La storia però non finisce qui…

Gli assiomi dell’aritmetica

L’approccio assiomatico di Euclide fu un modello poi riutilizzato in altre parti della matematica e anche in altre discipline, l’idea è: fissiamo i punti di partenza e poi deduciamo tutto il resto.

Una cosa simile è stata fatta nell’ambito dell’aritmetica. Qui la difficoltà principale è definire cos’è un numero naturale. È paradossale, ma succede sempre così, i concetti più semplici sono anche i più difficili da definire in modo rigoroso!

Nell’800 vennero proposti diversi tipi di assiomi, tra cui quelli conosciuti come assiomi di Peano sui quali si potesse basare lo studio dei numeri naturali e di conseguenza tutta l’aritmetica (visto che dai numeri naturali non è difficile poi definire gli altri tipi di numeri: interi, razionali, reali).

Gli assiomi della matematica moderna

Nel corso del ‘900 i matematici portarono a termine un’impresa notevole: trovarono un sistema di assiomi sui quali basare TUTTA la matematica.

Si capì che i concetti primitivi più utili erano quelli di insieme, di elemento di un insieme e di appartenenza di un elemento a un insieme. Questi concetti, abbinati ad un numero di assiomi che può variare a seconda di diversi approcci, formano il punto di partenza della matematica moderna. L’approccio più diffuso è quello che viene indicato con l’acronimo ZFC che sta per Zermelo-Fraenkel (due matematici che contribuirono a stabilire questi assiomi). La lettera C sta ad indicare che viene utilizzato anche un assioma detto l’assioma della scelta (C per choice, cioè scelta in inglese). Quindi con ZFC si indica l’insieme degli assiomi più popolare tra i matematici in questo momento storico.

La cosa notevole è che a partire da questi assiomi si può da un lato definire in modo rigoroso cos’è un numero naturale, e dall’altro definire anche i concetti geometrici di punto, retta, piano, unificando in un unico sistema le due principali branche della matematica: l’aritmetica e la geometria.

E allora come si definisce la retta?

Questo non è così facile da spiegare senza entrare in dettagli tecnici.

Diciamo che nella matematica moderna vengono definiti diversi tipi di insiemi chiamati spazi e in molti di questi si può definire un concetto di linea retta. Si può definire cos’è una retta negli spazi vettoriali, negli spazi affini, nelle varietà differenziabili o negli spazi proiettivi. Tutti questi sono “tipi di insiemi con particolari caratteristiche”.

L’oggetto matematico che più si avvicina al concetto di retta della geometria euclidea si trova nei cosiddetti spazi affini euclidei e la retta è definita come un sottospazio affine di dimensione 1. Tuttavia, questi concetti si studiano solamente a livello universitario, per cui per la maggior parte delle persone hanno poco significato.

Definiamo la retta nel piano cartesiano

Possiamo tuttavia vedere un esempio più semplice: come dare una definizione di retta nel piano cartesiano.

Quando si studia il piano cartesiano a scuola si dice che ad ogni punto del piano vengono associate due coordinate $(x,y)$. L’idea è che possiamo invertire la logica e dire che un punto è la coppia di valori $(x,y)$.

Visto che il concetto geometrico di punto è difficile da definire, lo si sostituisce con una sua rappresentazione equivalente e cioè con le sue coordinate.

Con lo stesso approccio possiamo allora dire che una retta nel piano cartesiano è l’insieme dei punti del piano (cioè di coppie di valori) che soddisfano un’equazione del tipo $ax+by+c=0$ dove $a, b, c$ sono tre numeri reali (con $a$ e $b$ non entrambi nulli).

Ad esempio, una retta è formata dalle coppie di valori $(x,y)$ che soddisfano l’equazione $2x + 4y – 5=0$.

Dimostriamo i postulati di Euclide!

Con queste definizioni di punto e retta tutti quelli che erano i postulati di Euclide diventano dei teoremi dimostrabili.

Dimostrazione del primo postulato di Euclide

Ad esempio, il primo postulato di Euclide afferma che dati due punti distinti è sempre possibile trovare una retta passante dai due punti.

Per dimostrarlo nel contesto del piano cartesiano è sufficiente far vedere che dati due punti $A$ e $B$ qualsiasi, cioè due coppie di coordinate $(x_A, y_A)$ e $(x_B, y_B)$, si può sempre trovare l’equazione di una retta che ha le due coppie di coordinate tra le soluzioni, questo significa che “passa” per i due punti (trovare l’equazione della retta passante per due punti è un tipico esercizio di matematica delle superiori).

Si può dimostrare che la retta che ha i seguenti parametri:

$$\left\{ \begin{array}{l} a= y_A-y_B\\ b = x_B-x_A \\ c= x_Ay_B-x_By_A\end{array} \right.$$

passa dai due punti $A$ e $B$ ed è l’unica ad avere questa caratteristica.

Dimostrazione del quinto postulato di Euclide

Anche il famoso quinto postulato di Euclide si può dimostrare (non approfondisco qui perché sia famoso, vedi i riferimenti alla fine dell’articolo). Esso afferma che per un punto esterno ad una retta passa una sola retta parallela alla retta data.

Cerchiamo ad esempio le rette passanti per il punto di coordinate $(0,5)$ che siano parallele all’asse $x$. L’asse $x$ è la retta di equazione $y=0$. Tutte le rette passanti per il punto $(0,5)$ tra cui cercare la retta parallela sono della forma $y=kx + 5$ per un qualche valore di k.

Possiamo cercare i punti in comune tra questa generica retta e l’asse $x$, in pratica dobbiamo cercare le soluzioni del sistema:

$$\left\{ \begin{array}{lcl} y=kx+5 & \quad & \text{retta con inclinazione }k\text{ passante per il punto }(0,5)\\ y=0 & \quad & \text{equazione dell’asse }x\end{array} \right.$$

Il sistema si risolve facilmente tramite l’equazione $kx+5 = 0$. Se $k\neq0$ la soluzione è $x = -5/k$. Se $k=0$ si ottiene l’equazione $0x=-5$ che è impossibile (cioè non ha soluzioni).

Questo significa che per tutti i valori di $k$ diversi da zero le due rette si intersecano, mentre solamente per $k=0$ le due rette non hanno punti in comune e sono quindi parallele. Esiste quindi una sola retta passante per $(0,5)$ e parallela all’asse $x$, quella associata al parametro k=0.

Non si tratta di una dimostrazione generale perché abbiamo preso un punto e una retta particolari, ma la stessa logica si può adattare ad un caso generico con qualche calcolo in più.

Si tratta di un esempio utile per capire come in certi contesti (nel nostro caso nel piano cartesiano), si possono definire in modo rigoroso alcuni concetti che un tempo erano considerati non definibili e dimostrare quelli che erano considerati degli assiomi non dimostrabili.

Conclusione

Per la matematica antica e in particolare per la geometria Euclidea il concetto di linea retta è primitivo e non definito, utilizzato come punto di partenza per definire gli altri elementi geometrici (e questo è ciò che viene insegnato a scuola), nella matematica moderna è possibile definire in modo rigoroso cos’è una retta ma richiede un po’ di lavoro e si studia solamente all’interno di corsi universitari specifici.

Se ti è piaciuto questo articolo ti segnalo il mio blog personale degiuli.com

Per approfondire

• Wikipedia: Geometria euclidea
• Wikipedia: Assiomi di Peano
• Wikipedia: Teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel
• Per approfondire le questioni riguardanti il quinto postulato di Euclide, vedi Wikipedia: Geometria non euclidea

Immagine di copertina di Andrea Piacquadio: https://www.pexels.com/it-it/foto/foto-ritratto-di-donna-in-top-rosso-che-indossa-occhiali-con-cornice-nera-in-piedi-davanti-al-pensiero-di-sfondo-bianco-3762807/

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.