Le geometrie oltre Euclide: intervista ad Alberto Saracco

Pubblichiamo questa intervista ad Alberto Saracco, professore di geometria all’università di Parma.

Con Alberto parleremo del suo nuovo libro dal titolo “Le geometrie oltre Euclide”.

Il libro è acquistabile per esempio qui e qui.

In passato Alberto è stato intervistato sul nostro blog su altri temi. Per leggere questi contributi puoi cliccare, invece, qui e qui.

Come è nata l’idea di scrivere questo libro? In particolare perché hai scelto questo tema?

Questo libro ha una storia lunga, di più di 10 anni. Nel 2013, un Liceo Scientifico di Parma aveva contattato me, un collega fisico e una collega filosofa della mia Università, per proporre ai loro studenti un laboratorio sulle geometrie non euclidee viste da punti di vista differenti. E’ stata per me l’occasione di studiare e documentarmi sull’argomento.
Cinque anni più tardi ho provato a condensare l’esperienza in un seminario divulgativo, che ho tenuto al Festival della Scienza di Genova. Il successo e l’interesse che ho respirato per il mio racconto della storia della geometria mi ha fatto nascere il primo pensiero di scrivere un libro su questo tema.
Poi, due anni fa, una doppia svolta: ho parlato con Daniele Gouthier di Scienza Express della mia vaga idea e ho tenuto un corso di Storia della matematica [Per i curiosi: è interamente disponibile sul mio canale YouTube]. Daniele mi spinge a concretizzare il progetto, dandomi vari consigli, mentre la preparazione del corso mi costringe a studiare un po’ e a imparare.
Dopo poco più di due anni, il libro è una realtà.

Per chi è pensato il testo?

Il mio lettore ideale è uno studente delle superiori curioso. Diciamo che per apprezzare il libro serve aver finito il primo anno delle superiori e aver visto un po’ di geometria euclidea. Mi piace inoltre anche rivolgermi di tanto intanto a chi la matematica la insegna, con delle mie considerazioni personali sull’insegnamento di questa materia.
L’obbiettivo è aumentare la curiosità verso la matematica nei giovani lettori e fornire spunti didattici e di riflessione ai docenti. Ovviamente, spero che questo libro possa risultare interessante anche per chi non è né studente né docente, ma è interessato a scoprire una parte tanto importante della nostra cultura, quale è la geometria.

Come è impostata l’opera?

Seguo un percorso storico. Parto dall’antichità, dedico molto spazio alla geometria greca e poi arrivo alla rivoluzione delle geometrie non euclidee, per concludere con una panoramica su alcune delle tante geometrie che esistono oggi. Ma il percorso non è strettamente storico né lineare: mi piace fare voli pindarici qua e là e mostrare una dimostrazione di Einstein del teorema di Pitagora o una di Dandelin (del 1800) quando parlo delle coniche di Apollonio (vissuto due millenni prima). Ogni scusa è buona, poi, per divagare e cercare di far passare la mia personale filosofia della matematica: cos’è la matematica? cos’è la geometria? cosa vuol dire che è impossibile risolvere un dato problema? come lavora un matematico? Qua e là nel testo, rispondo a queste e a molte altre domande.

Felix Klein (fonte wikipedia)

Il libro inizia subito con una premessa (davvero molto utile secondo me) che indica “cosa è e cosa non è questo libro”. In particolare scrivi che l’obiettivo è quello di raccontare un particolare “punto di svolta” con lo sguardo del geometra. Cosa devono aspettarsi i nostri lettori che decideranno di acquistare il tuo testo?

Il “punto di svolta” della matematica è durato un secolo, dal 1830 al 1930, quando tantissimi eventi e scoperte apparentemente indipendenti le une dalle altre hanno contribuito a cambiare il volto della matematica. Tra queste vanno sicuramente annoverate la scoperta delle geometrie non euclidee (spero non sia uno spoiler per i vostri lettori) e il cambio di punto di vista di cosa è la geometria dovuto a Klein e Hilbert.
Il libro tenta di gettare una luce su questi avvenimenti e di raccontare come la geometria è cambiata nel corso dei secoli. Non è un racconto fatto da uno storico, ma da un geometra e divulgatore, appassionato di storia e filosofia della matematica.

Il libro è pieno di protagonisti della storia della matematica da Euclide a Cartesio passando per Saccheri, Klein e Poincaré. Quale fra questi secondo te ha svolto un ruolo di primo piano ma, forse, è meno noto al grande pubblico? Quale è stato il suo contributo?

Forse darei questo primato a Felix Klein, poco noto al grande pubblico, anche se forse la sua “bottiglia di Klein”, dato il fascino esercitato dalla topologia, gli dà un po’ della fama che merita. Nella crisi della scoperta delle geometrie non euclidee è stato colui che ha dato la definizione moderna di geometria, ancora valida dopo 150 anni.

In che senso Saccheri ha cercato di “ripulire Euclide da ogni macchia”? Perché non ci è riuscito?

Saccheri, come molti altri prima di lui, ha cercato di dimostrare il quinto postulato di Euclide, che secondo lui “macchiava” l’opera di Euclide. Non ci è riuscito, anche se credeva di averlo fatto, semplicemente perché non si può. Ma non vorrei svelare troppo…

Perché, invece, a tuo parere è stato David Hilbert a riuscire laddove Saccheri ha “fallito”?

Hilbert ha esaminato a fondo la geometria euclidea, e riscritto i postulati (che da 5 sono diventati 21), assicurandosi che la geometria euclidea non dipendesse da alcun preconcetto (o idea intuitiva) di cosa fossero alcuni enti geometrici (punto, retta…) o alcune trasformazioni geometriche, ma solo dagli assiomi enunciati. Ha portato alle estreme conseguenze l’opera iniziata da Euclide: la geometria è una costruzione logica che poggia sulla sola deduzione a partire dagli assiomi.

Ho trovato il libro decisamente ben scritto e scorrevole. A mio parere un “di più” del testo è offerto da curiosità /approfondimenti aggiunti all’interno di appositi box fra i vari capitoli. Puoi anticiparne qualcuno ai nostri lettori?

Grazie mille per i complimenti.
I “box” sono frutto di un compromesso tra il raccontare una storia leggibile e affrontabile da tutti e la volontà di fornire qualcosa per andare più a fondo a chi lo desidera. Si possono tranquillamente saltare senza inficiare la storia raccontata o si possono leggere per scoprire qualcosa di più.
Sono particolarmente contento di aver inserito l’approfondimento sulle sfere di Dandelin. A scuola abbiamo studiato la definizione delle coniche tramite le loro proprietà focali: un’ellisse è il luogo dei punti la cui somma delle distanze da due punti fissati detti fuochi è costante. Ma perché si chiamano coniche? Il nome completo sarebbe “sezioni coniche”, perché possono essere ottenute sezionando un cono con un piano. Nel 1822 Germinal Dandelin ottiene una bellissima costruzione che spiega come costruire geometricamente i fuochi e il loro significato. Io ho scoperto di questa dimostrazione solo quando l’ho insegnata ai miei studenti di architettura 15 anni fa, per merito delle dispense scritte da Giovanni Bassanelli, che teneva il corso prima di me.
Ho apprezzato molto questa costruzione e mi è sembrato giusto cercare di divulgarla e darle il giusto peso nel mio libro.

Nel tuo libro citi la definizione che Klein dà di geometria: “Una geometria è lo studio delle proprietà invarianti rispetto a un gruppo di trasformazioni”. Perché per te è ancora una definizione “moderna” nonostante sia stata formulata nel 1872?

Ritengo che tale definizione sia importantissima per tanti motivi. Prima di tutto, fino a quel momento nessuno si era interrogato su cosa fosse “una” geometria: semplicemente “la” geometria era quella di Euclide, di cui ormai si sapeva quasi tutto. Il fiorire delle geometrie a metà dell’Ottocento fa porre a Klein la fondamentale domanda filosofica. E la sua risposta è molto profonda. Così profonda che rimane attuale ancora oggi, dato che indaga a fondo il cosa è una geometria. E’ però difficile esplorarla in poche righe, senza banalizzarla.

George David Birkhoff (fonte wikipedia)

Nel libro parli anche dell’assiomatizzazione di Birkhoff e scrivi che hai scoperto questa assiomatizzazione grazie ad uno degli studenti del tuo corso di storia della matematica. Ce ne puoi parlare?

Birkhoff propone una assiomatizzazione della geometria euclidea alternativa a quella di Hilbert. E’ particolarmente “economica”, in quanto si basa su pochi assiomi e pochi enti primitivi. Ciò è dovuto a un “trucco”, basando la definizione di retta e quella di misura dell’angolo sui numeri reali. Non conoscevo questa assiomatizzazione e l’ho scoperta grazie al seminario finale presentato da uno dei miei studenti (un informatico) per l’esame di Storia della matematica.
Tale assiomatizzazione mi ha colpito e ho voluto inserirla nel mio racconto. Tra l’altro, mi ha fornito anche il modo di ringraziare i miei studenti, che mi hanno fornito tanti stimoli.
Quello che siamo è dovuto ai tanti incontri che facciamo negli anni: i nostri docenti, i nostri colleghi, i nostri studenti, le nostre letture… tutto ciò lascia, in modo consapevole o inconscio, qualcosa in noi. E se il mio libro è come è, il merito è di tanti. Mi ha dato enorme piacere inserire nel mio racconto qualcosa che ho imparato certamente dai miei studenti.

Avrei ancora due domande che in realtà sono più due curiosità, ma secondo me potrebbero aiutare i lettori a capire qualcosa in più di questa tua opera.

Quale capitolo del libro è stato per te più difficile da scrivere?

La parte più difficile è forse stata quella della geometria differenziale. Sono un geometra differenziale (e complesso) e quindi ho avuto la forte tentazione di trattare questo argomento un po’ troppo nei dettagli. Buona parte è finita poi in un box, tecnico e difficile, ma secondo me importante per capire un tratto fondamentale di come funziona la matematica.

Di quale capitolo, invece, sei rimasto più soddisfatto?

Forse del capitolo “Cos’è la geometria?”, dove parlo della risposta di Klein a questa difficile domanda e delle assiomatizzazioni (di Hilbert, Birkhoff e non solo) della geometria euclidea.
Diciamo che il libro in buona parte ruota attorno a quel capitolo, che nella mia testa ne rappresenta il culmine, ciò che dovrebbe davvero restare al lettore: la nuova idea moderna di geometria (secondo Klein) e più in generale di matematica e di teoria assiomatica (di Hilbert).
Mi piace molto come è venuto quel capitolo e spero possa davvero essere utile per illuminare il lettore su cosa è la matematica oggi.

Veniamo a delle domande di carattere più generale.

Quale è il tuo campo di ricerca?

Di formazione sono un geometra complesso, che lavora all’estensione di oggetti olomorfi. Sono consapevole che ciò possa non dire nulla al lettore non matematico. E in effetti nella mia divulgazione non mi sono MAI occupato della teoria di più variabili complesse. E’ purtroppo troppo lontana da ciò che si impara a scuola e non ho ancora trovato la chiave giusta per divulgarla.

Negli ultimi anni mi sono spostato verso la geometria differenziale e la dinamica olomorfa in più variabili (la branca che, in una variabile, dà origine a tutti quei bei disegni frattali tipo il Mandelbrot, per capirci). Mi sono anche occupato saltuariamente di analisi ipercomplessa, di matematica applicata a problemi elettorali (al gerrymandering, per essere precisi) e a problemi di didattica della matematica (passaggio scuola-università).

In generale, mi piace variare e mantenermi aperto ad esperienze e collaborazioni con matematiche e matematici di formazione diversa dalla mia, per esplorare un po’ il vasto mondo della matematica.

Quale è stato il tuo percorso formativo?

Mi sono formato quasi interamente alla Scuola Normale Superiore di Pisa, dove ho conseguito laurea e perfezionamento (l’equivalente di un dottorato) e avuto un assegno di ricerca. Sono stato in visita per un periodo all’Università di Lubiana e ho avuto anche degli assegni di ricerca a Roma Tor Vergata e Milano Bicocca, prima di diventare ricercatore qui a Parma.

Nel tuo libro scrivi che la tua passione per la matematica è nata grazie a tuo padre (e tu stai cercando di passare questa passione ai tuoi figli).

Di quali altre persone ti senti debitore nel tuo percorso di avvicinamento via via crescente alla matematica?

Ovviamente sono tante le persone a cui sono debitore e sarebbe impossibile citarle tutte. Ritengo però che tre docenti nel corso dei miei anni di laurea abbiano avuto un impatto notevolissimo sulla mia visione della matematica: Ferruccio Colombini, Fulvio Lazzeri e Giuseppe Tomassini. Ho raccontato nei dettagli il loro influsso su di me e sulla mia idea di matematica in questo articolo su MaddMaths.

Come ti sei avvicinato alla divulgazione?

Ho sempre amato la divulgazione. Da ragazzo ero (e tutt’oggi resto) un grande lettore di divulgazione scientifica (soprattutto di biologia, fisica e matematica). Mi piace moltissimo trasmettere la passione che ho per la matematica e -se solo avessi avuto più coraggio- mi sarebbe piaciuta molto una carriera da divulgatore.
La mia prima opportunità è stata nel 2005, quando alcuni perfezionandi della Normale hanno organizzato una serie di incontri divulgativi dei dottorandi per i dottorandi. Lì, dato che il mio argomento di ricerca era troppo difficile da divulgare, ho presentato un seminario sui paradossi elettorali, traendo le informazioni dal libro “C’era una volta un paradosso” di Giorgio Odifreddi. Se qualcuno è curioso, tale seminario è presente sul mio canale YouTube.

In seguito, uno spin-off di questa esperienza divulgativa mi porterà a scrivere un articolo di ricerca sul gerrymandering, in collaborazione con mio fratello Giorgio, anche lui matematico di professione.
Nello stesso anno ho partecipato ad un corso di orientamento della Normale a Rovereto (TN) e ho tenuto un seminario dal titolo poco accattivante “Classificazione e invarianti in geometria”.

 Nel corso degli anni ho imparato che il titolo vuole la sua parte e lo stesso seminario si è trasformato prima in “Perché un pallone da calcio ha 12 pentagoni?” e poi in “La topologia di Eulero: ponti, fumetti e palloni da calcio” (i curiosi lo trovano qui). Diciamo che con l’esperienza si impara la regola 0 della comunicazione: per comunicare devi innanzitutto avere un pubblico (e quindi convincere qualcuno a venirti a sentire).

Come divulgatore sei attivo in tanti modi. Oltre che su MaddMaths, hai anche un canale YouTube.

Puoi indicare ai nostri lettori dove possono seguirti (se per caso non lo fanno già)?

Certo! Trovate la mia divulgazione su MaddMaths (https://maddmaths.simai.eu/author/alberto-saracco/), su YouTube (https://www.youtube.com/@AlbertoSaracco) e su Instagram (https://www.instagram.com/unmatematicoprestatoalladisney/).

Hai, infine, qualche suggerimento per i nostri lettori più giovani che stanno valutando di iscriversi ad una facoltà scientifica come per esempio matematica?

Seguite la vostra passione. Iscrivetevi ad un corso di laurea che vi appassiona. Il corso di laurea in matematica (ma ciò vale anche per altri corsi STEM) non è una passeggiata. Serve una forte motivazione ed essere pronti a lavorare duramente e ad affrontare momenti di frustrazione perché le cose non saranno così semplici come alle superiori. Ma con la giusta determinazione, si possono superare le inevitabili difficoltà e accedere alla vera matematica, molto più ampia ed entusiasmante di quella vista a scuola.

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