Possiamo ascoltare la teoria dei gruppi?

Dall’astrazione della teoria dei gruppi alle combinazioni sonore di una app su internet: questo post desidera guidarvi alla scoperta di alcuni argomenti classici e insieme agli ultimi sviluppi di un’idea mate-musicale.

Simmetria e musica sono strettamente correlate, e in matematica la teoria dei gruppi aiuta a formalizzare intuizioni sulla simmetria [15, 1]. Quale potrebbe essere, infatti, una definizione generale della simmetria? Forse la seguente: “L’invarianza di un oggetto rispetto ad una trasformazione”. Rimandiamo a un post sull’argomento.

I gruppi sono importanti anche per la Fisica: aiutano a descrivere le simmetrie delle leggi della natura. Particolari gruppi, inoltre, come i gruppi di Lie, caratterizzano le teorie fisiche “possibili”.

Che cos’è un gruppo in matematica? In algebra astratta, un “gruppo” è un insieme (un “set”) e un’operazione definita su di esso, che indichiamo in modo generico con *, la quale deve verificare alcune proprietà, elencate a seguire [13]:

1. Chiusura. Dati a, b tali che sia a che b appartengono al gruppo G, abbiamo:
   a*b, b*a appartenenti a G.
2. Associatività. Dati a, b, c appartenenti al gruppo G, abbiamo:
   a*(b*c) = (a*b)*c.
3. Esistenza dell’identità. Il gruppo G contiene un elemento e, chiamato “identità” (o “elemento neutro”), tale che
   a*e = e*a = a.
4. Esistenza dell’elemento inverso. Per ogni elemento a di G esiste un elemento di G, denotato come G^-1 e chiamato “inverso” di a, tale che
   a*a^-1 = a^-1*a = e.
   
   

Quanto sopra consente di definire sequenze di trasformazioni, alcune delle quali lasciano invariato un oggetto, altre lo cambiano. La teoria dei gruppi appare dunque molto astratta sin dalla prima definizione. Si parla in modo generico, e dunque molto generale, di “oggetti” e di trasformazioni fra di essi. La possibilità di visualizzare, oppure di *ascoltare* sia gli oggetti che il risultato delle trasformazioni, renderebbe il tutto più intuitivo. Un esempio concreto di un gruppo è detto “realizzazione” del gruppo [13].

La nascita del celeberrimo cubo di Rubik si deve proprio all’esigenza di rendere “tangibile” l’astrazione della teoria dei gruppi. Ernő Rubik ideò il gioco che da lui prese il nome pensando ai propri studenti. Il resto è storia, come ci racconta Paolo Virtuani in “Sei facce di genialità” [16].

Il cubo di Rubik è anche studiato in astratto come oggetto matematico. Il “gruppo di Rubik” è costituito dall’insieme di tutte le posizioni delle facce e delle faccette che il cubo può assumere, e l’operazione di eseguire una mossa dopo un’altra: le “mosse” sul cubo, le rotazioni delle facce. È possibile “comporre le mosse”, ossia eseguire una serie di rotazioni consecutive.

Verifichiamo se il cubo di Rubik rappresenta un gruppo:

1. La combinazione di due mosse valide dà un’altra mossa valida;

2. E’ possibile associare le mosse;

3. C’è un equivalente dell’elemento neutro, corrispondente a “lasciare il cubo così com’è” senza ruotarlo;

4. Ogni mossa possiede un suo inverso (la rotazione inversa).

Se al cubo di Rubik si associano dei suoni, è allora possibile *ascoltare le diverse configurazioni del cubo*, e *ascoltare l’effetto delle rotazioni su di esse*.

L’idea che qui vi presento è un nuovo ramo della storia del “cubarmonico”, uno strumento musicale di mia ideazione, basato proprio sul cubo di Rubik. L’idea chiave del CubeHarmonic, nome in inglese, era stata presentata ai lettori di “Math is in the air”.

Se il cubo di Rubik “normale” presenta una simmetria per colore, nel CubeHarmonic ogni faccetta diventa diversa: la simmetria del sistema diminuisce, perché le faccette dello stesso colore non sono più indistinguibili.

Con il cubo di Rubik vi sono 24 simmetrie rotazionali, che caratterizzano il gruppo di rotazione del cubo. Se si stabilisce una corrispondenza semplice fra colore <—> nota musicale, la simmetria originale del cubo è preservata.

Se invece scegliamo note diverse per le faccette (facets, quadratini) su ogni faccia, allora la simmetria del sistema cambia. Le rotazioni globali del cubo non sono più simmetrie.

Se ruotare una faccia, ad esempio la faccia destra, rossa, in senso orario (Right = R), non cambia la configurazione della medesima, nel momento in cui ogni faccetta è *resa diversa dalla presenza di diverse note musicali*, la stessa rotazione provoca una permutazione delle note presenti sulla faccia.

Viene però preservata la proprietà (a^-1)^-1 = a: se si effettua una rotazione inversa, e poi la sua inversa, si ritorna alla posizione originaria. Infatti, indicando con R’ la rotazione inversa della faccia rossa (R’), la sua inversa è nuovamente R (si ha (R’)’ = R), e il cubo torna allo stato iniziale.

Per il CubeHarmonic la natura di gruppo astratto rimane, ma il cubo diventa un gruppo di simmetria sulle 54 etichette (i nomi delle note) su ogni quadratino.  Il gruppo simmetrico S_{54} è ora il gruppo di tutte le permutazioni possibili dei 54 oggetti: le note musicali. Ma il meccanismo delle rotazioni, ossia delle trasformazioni che possiamo eseguire nel gruppo, non cambia. Possiamo vedere il cubarmonico come un set (un insieme) con un’azione: il set delle note musicali, e le azioni del gruppo di Rubik.

Ma possiamo anche considerare G il gruppo di Rubik, e H il gruppo delle trasformazioni musicali sullo spazio X (pitch classes, accordi…), dove la composizione in G è data dalle mosse sul cubo di Rubik, e la composizione in H è data dalle trasformazioni musicali. Il CubeHarmonic come gruppo è allora una coppia (G, φ), dove il morfismo φ è definito come φ : G –> H.

Una piccola digressione: possiamo anche vedere CubeHarmonic come una speciale categoria, detta “gruppoide” perché ogni morfismo ha un elemento inverso. Gli oggetti sono gli stati musicali, i morfismi (le trasformazioni) sono le trasformazioni date dalle rotazioni; la composizione è data da sequenze con mosse consecutive, e l’identità è data dall’assenza di rotazione. Ma possiamo anche descrivere il CubeHarmonic come un funtore F : gruppo del cubo di Rubik —>  musica, dove il “funtore” è la generalizzazione di una funzione, che mappa elementi e trasformazioni fra di essi da una categoria all’altra.

In sintesi, quando si aggiungono note musicali al cubo di Rubik, il cubo diventa meno simmetrico. Questo significa però un aumento della diversità, e delle possibilità in termini di creatività musicale.

Presentiamo adesso un breve excursus sulla storia del CubeHarmonic, seguita dalla presentazione di una app recente che permette di *ascoltare* dal proprio computer alcuni esempi di trasformazioni tipiche della teoria dei gruppi.

STORIA DEL CUBEHARMONIC.

Ho avuto l’idea del CubeHarmonic nel 2013, mentre girovagavo per Parigi, e mi ero imbattuta nel negozio “Le joker de Paris”. Mettere insieme spunti ricevuti durante le lezioni all’IRCAM, su matematica, informatica e musica, e la mia naturale predisposizione a non risolvere il cubo, è stato il passo successivo. Già mia mamma mi aveva regalato un cubo di Rubik anni prima, e non ne avevo completato la risoluzione. Mi sono chiesta dunque se, non potendo risolverlo, fosse possibile *suonarlo*.

Assegnando ad ogni faccetta una nota musicale, con un accordo su ogni riga, si ottiene una sequenza di accordi su ogni faccia. Mescolando il cubo, si mescolano gli accordi.

L’idea è stata per la prima volta descritta in un libro, con il vecchio nome Cubharmonic, “Cool Math for Hot Music” [10], inviato alla Springer nel settembre del 2015 e pubblicato nel 2016. Il libro è stato tradotto in cinese nel 2024. Nel novembre del 2015, in modo indipendente, è anche apparso un TED su come unire l’idea del cubo di Rubik alle note musicali, ma privo dell’intuizione armonica [14], e nel 2017, pure in modo indipendente, è stata proposta un’altra versione musicale del cubo [11].

Ho realizzato il primo prototipo del cubarmonico nel 2016, durante i miei studi negli Stati Uniti. Avevo sovrapposto moduli sonori alle faccette. Non trovando moduli sonori piccoli a buon mercato, avevo dovuto sopperire acquistato un grande cubo.

Il cubo ha poi iniziato a parlare giapponese: dal 2017 al 2020 il suo sviluppo è stato discusso al laboratorio ICD del prof Yoshifumi Kitamura, alla Tohoku University di Sendai. È stato sviluppato un prototipo appositamente stampato in 3D, con spazio per bobine LC. Le bobine “disturbavano” un campo magnetico generato da una piattaforma [2, 3]. Ruotando il cubo, si muovevano le bobine, cambiava localmente il campo magnetico complessivo, e il movimento delle bobine poteva dunque essere tracciato. Ad ogni rotazione del cubo reale corrispondeva una rotazione del cubo virtuale ricostruito al computer. Ogni faccia era mappata in suono, e ne suonava soltanto una. Ruotando le facce, cambiavano le note sulla faccia considerata, e ne cambiava dunque il suono. Con questo prototipo sono anche state effettuate alcune registrazioni.

Il modello è stato presentato alla conferenza NIME 2018 in Virginia (USA) e durante la conferenza SIGGRAPH 2019 in California (USA). A questa versione hanno contribuito Ryo Sugawara, Jiawei Huang, Eri Kitamura, Pascal Chiu [6, 7].

Una versione della app con 8 cubi, lo sviluppo dell’ipercubo, è stata realizzata da Pascal Chiu, sempre dell’ICD lab. E una versione funzionante, completamente virtuale, del cubo di Rubik a quattro dimensioni con suono, ossia dell’HyperCubeHarmonic (HCH).  È stata realizzata dal prof. Takashi Yoshino della Toyo University, sempre in Giappone [9].

HCH e la app con otto cubi sono stati presentati durante il convegno MCM 2022 ad Atlanta (USA) [9]. Convegno durante il quale è stato presentato il museo virtuale della matematica, ideato da Gilles Baroin, che include pure il cubarmonico.

Intanto il CubeHarmonic ha iniziato ad entrare nella pratica musicale, nell’ambito dell’improvvisazione a molti interpreti che comunicano a distanza tramite internet. L’ensemble che per primo ha accolto il cubo è il Female Laptop Orchestra (FLO), fondato dalla croata Nela Brown.

Altri sviluppi, principalmente teorici, riguardano l’uso del calcolo quantistico come strumento decisionale per la scelta delle rotazioni da effettuare, e per la trasmissione del segnale fra interpreti a distanza. Si tratta di lavori scritti in collaborazione con membri di FLO (fra cui Nela Brown e la violoncellista e informatica polacca Magdalena Chudy [5] ed esponenti dell’università italiana (prof. Luca Turchet dell’Università di Trento) [8].

Premiato come miglior poster ad una conferenza ad Erlangen, in Germania [8], il CubeHarmonic è stato menzionato dal quotidiano americano New York Times, in un articolo della giornalista scientifica Siobhan Roberts sui cinquant’anni del cubo di Rubik [12]. Sono anche stata onorata di un capitolo nel libro “Sei facce di genialità” di Paolo Virtuani, giornalista del “Corriere della Sera” [16].

Sempre nel 2025 il cubo è stato incluso in una registrazione di FLO trasmessa Da Radiophrenia [5].

UNA NUOVA APP.

Lo sviluppo più recente della saga del cubarmonico è la app che qui propongo.

Interamente virtuale e gratuita (tuttavia ogni contributo è più che benvenuto), la app “CubeHarmonic” permette di suonare singole note oppure arpeggi di tre note per volta. È anche possibile scegliere le note su ogni faccia, e inoltre eseguire in automatico sequenze di note e rotazioni prestabilite. Si possono anche produrre suoni piacevoli durante una risoluzione automatica, mossa dopo mossa. Video e audio si possono esportare.

È soprattutto possibile non soltanto visualizzare, ma anche ascoltare le rotazioni.

I tasti colorati U, F, D, B, R, L, indicano le rotazioni (in senso orario) delle facce Up, Front, Down, Back, Right, Left. Le rotazioni in senso antiorario sono denotate da U’, F’, D’, B’, R’, L’ e, nella app, sono rappresentate dalle freccine che vanno, appunto, in senso antiorario.

Le due rotazioni successive UF (ruota la faccia superiore in senso orario, Up, poi ruota la faccia di fronte, Front, pure in senso orario), seguite dalle F’U’ (ruota la faccia di fronte in senso antiorario, e poi quella superiore pure in senso antiorario) riporteranno alla stessa sequenza musicale iniziale.

Altre sequenze di rotazioni, invece, quali, ad esempio, UF seguite da FU, non riportano il cubo nella condizione iniziale. Si dice che queste trasformazioni non commutano.

Mi sia ora permessa una pausa dal formalismo per ascoltare l’inizio della Fuga in Re minore BWV 565 di J. S. Bach, eseguita al CubeHarmonic.

Si può accedere alla app tramite il seguente link, che contiene anche il dettaglio delle istruzioni.

https://mariamannone.com/cubeharmonic_app.html

Quali saranno i prossimi sviluppi?

Uno user study è in preparazione, con domande rivolte a musicisti, studenti di matematica e fisica, nerd della risoluzione del cubo, appassionati e non.

Se volete partecipare, la partecipazione con testi e musiche è aperta, scriveteci!

BIBLIOGRAFIA

[1] Favali, F. and Mannone, M: (2019). Simmetrie fra Matematica e Musica. Palermo University Press

[2] Huang, H., Mori, T., Takashima, K., Hashi, S., and Kitamura, Y. (2015). IM6D: Magnetic tracking system with 6-DOF passive markers for dexterous 3D interaction and motion. ACM Transactions on Graphics, 34(6).

[3] Huang, J., Takashima, K., Hashi, S., and Kitamura, Y. (2014). IM3D: Magnetic motion tracking system for dexterous 3D interactions. In Proceedings of SIGGRAPH 2014 Emerging Technologies.

[4] Hutchings, M.. (2011). The mathematics of Rubik’s Cube. https://math.berkeley.edu/~hutching/rubik.pdf

[5] Mannone, M., Hamido, O. C., and Itaboraí, P. (Eds.). (2026). ISQCMC ‘25: Music abstract booklet. 3rd International Symposium on Quantum Computing and Musical Creativity (ISQCMC ‘25). Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.18208406

[6] Mannone, M., Kitamura, E., Huang, J., Sugawara, R., & Kitamura, Y. (2018). CubeHarmonic: A new interface from a magnetic 3D motion tracking system to music performance. In Proceedings of NIME 2018 (pp. 350–351).

[7] Mannone, M., Kitamura, E., Huang, J., Sugawara, R., Chiu, P., and Kitamura, Y. (2019). CubeHarmonic: A new musical instrument based on Rubik’s Cube with embedded motion sensor. In ACM SIGGRAPH ’19 (pp. 53:1–53:2). Los Angeles, CA, United States.

[8] Mannone, M. and Turchet, L. (2024). Dice Cubes: Quantum-Based Networked Performance with CubeHarmonic. 5th IEEE International Symposium on the Internet of Sounds, 2024, Erlangen, Germany. Winner of the best poster Award

[9] Mannone, M., Yoshino, T., Chiu, P., and Kitamura, Y. (2022). Hypercube + Rubik’s Cube + music = HyperCubeHarmonic. In M. Montiel, O. A. Agustín-Aquino, F. Gómez, F. Kastine, E. Lluis-Puebla, & B. Milam (Eds.), Mathematics and computation in music (Lecture Notes in Artificial Intelligence, Vol. 13267). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-031-07015-0_20

[10] G. Mazzola, M. Mannone, Y. Pang. (2016). Cool Math for Hot Music, Springer Series Computational Music Science.
Translated into Chinese: 酷冷的 数学 和 炽热的 的音乐, Springer & Shanghai Educational Publishing House, 2023

[11] Polfreman, R., & Oliver, B. (2017). Rubik’s Cube, music’s cube. In Proceedings of NIME 2017.

[12] Roberts, S.. (2024, July). The Rubik’s Cube turns 50. The New York Times. https://www.nytimes.com/2024/07/01/science/rubiks-cube-puzzles.html

[13] Rosen, J.. (1983). A symmetry primer for scientists. Wiley.

[14] Staff, M.. (2015). How to play a Rubik’s Cube like a piano. TED-Ed.

[15] Tymoczko, D.. (2006). The geometry of musical chords. Science, 313, 72–74.

[16] Virtuani, P. (2025). Sei facce di genialità. Baldini+Castoldi.

[17] Zassenhaus, H.. (1982). Rubik’s Cube: A toy, a Galois tool, group theory for everybody. Physica A, 114, 629–637.

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