Pubblichiamo un altro contributo di Fabrizio Morlando (che ringraziamo!). In un precedente articolo ci aveva parlato di Machine Learning e futuro della conoscenza. Questa volta ci parla di Tennis e Matematica. Buona lettura!
Dietro la Rete: un modello probabilistico per il gioco del tennis
Il tennis è un laboratorio naturale di probabilità e statistica. Lo si può rintracciare nella fisica delle traiettorie, governate dall’effetto Magnus e dalla resistenza dell’aria, che determinano come il topspin acceleri la palla verso il basso dopo il rimbalzo o come lo slice la tenga bassa e tagliente.
Lo si trova nel sistema di punteggio, quindici, trenta, quaranta, vantaggio, game, set, partita: una struttura gerarchica a soglie che resetta ogni livello inferiore e che, matematicamente, ricorda un sistema numerico in base variabile con stati assorbenti.
Lo si incontra nella teoria dei giochi, dove la scelta di dove indirizzare il servizio si configura come un problema di equilibrio di Nash in strategie miste: il battitore vuole rendersi imprevedibile, il ricevitore vuole anticipare.
Tra tutti questi aspetti, però, ne esiste uno di particolare eleganza formale: un game di tennis si modella perfettamente come una catena di Markov.
La proprietà fondamentale è semplice. Immaginate che il punteggio sia, per esempio, 30-15: tutto ciò che conta per prevedere l’esito del game è proprio quello stato, 30-15.
Non importa se A ha vinto i suoi due punti con due ace consecutivi o con due scambi di venti colpi; non importa se il punto del 15 di B è arrivato grazie a un doppio fallo dell’avversario.
Questa assenza di memoria, per cui il futuro dipende solo dal presente e non dal passato, si chiama proprietà di Markov.
Supponiamo allora che il giocatore A abbia una probabilità p di vincere ciascun punto, costante e indipendente dalla storia precedente. Con questa ipotesi, gli stati possibili del punteggio formano un insieme finito, (0,0), (15,0), (0,15), (30, 0), (15,15), e così via, fino agli stati terminali che rappresentano la vittoria di A o di B, detti stati assorbenti: una volta raggiunti, non se ne esce più. Ad ogni punto il sistema transita da uno stato all’altro con probabilità $p$ o $1 − p$. Il caso più interessante è il deuce (parità): quando il punteggio raggiunge 40-40, per vincere occorre conquistare due punti consecutivi di vantaggio.
Da questo stato, ad ogni coppia di punti possono accadere tre cose: A vince entrambi i punti (probabilità $p^2$) e conquista il game; B li vince entrambi (probabilità $(1−p)^2$) e conquista il game; oppure ciascuno vince un punto (probabilità 2p(1 − p)) e si torna al deuce. Questo processo si ripete identico a ogni parità, il che permette di scrivere una semplice equazione chiusa per la probabilità G che A vinca il game a partire dal deuce:
$$G= \frac{p^2}{p^2 +(1−p)^2 } $$
Come mostra la figura, G(p) ha la forma di una sigmoide con centro in p = 0.5, dove la pendenza è massima: piccoli scostamenti nella probabilità del singolo punto producono variazioni drastiche nella probabilità di vincere il game.
Figura 1: Andamento della probabilità di vittoria del game a partire dal deuce (G) in funzione della probabilità di vincere il singolo punto (p). La forma sigmoide evidenzia come la struttura del punteggio amplifichi i piccoli vantaggi competitivi.
Ad esempio, con p = 0.55, la probabilità G sale a circa 0.60, quasi raddoppiando il vantaggio marginale. Questo effetto di amplificazione si accentua salendo di livello, dal game al set e dal set al match [1]: un giocatore con p = 0.55 ha quasi il 70% di probabilità di vincere l’intero match, e con p = 0.65 la vittoria è quasi certa. Il deuce agisce dunque come un filtro stocastico che premia la superiorità tecnica riducendo l’incidenza del caso. La formula è derivabile come somma di una serie geometrica ed è riportata in testi classici di probabilità applicata ([2], Capitolo XIV).
Questa dinamica trova una straordinaria conferma nei dati reali.
Nel 2024, Jannik Sinner ha vinto il 55,3% dei punti totali disputati [4]: una percentuale che a un osservatore superficiale potrebbe sembrare quasi deludente, poiché significa perderne quasi uno su due. Eppure, con un record stagionale di 73 vittorie e sole 6 sconfitte, Sinner ha chiuso l’anno con la percentuale di successo per match più alta dell’intero circuito ATP [5].
La risposta è esattamente quella che il modello ci insegna: un p = 0,553 produce una probabilità di vincere il game ben superiore al 60%, che la struttura gerarchica del punteggio amplifica ulteriormente fino a generare quella percentuale di vittorie del 92% che i numeri reali confermano.
Il dominio di Sinner non è frutto della fortuna né dell’infallibilità: è la matematica del tennis che trasforma, game dopo game e set dopo set, un vantaggio tecnico quasi invisibile sul singolo punto in una superiorità schiacciante a livello di match.
Vale infine la pena sottolineare i limiti del modello. L’ipotesi che $p$ sia costante è una semplificazione: nella realtà la probabilità di vincere un punto cambia se si è al servizio o in risposta, se si è al quinto set dopo quattro ore di gioco, se il punteggio è 40-0 o 40-30. Modelli più raffinati introducono probabilità distinte per il servizio e per la risposta, oppure parametri variabili che tengono conto della pressione psicologica nei momenti chiave, i cosiddetti big points [3].
Tuttavia, già nella sua versione elementare, il modello a catena di Markov rende visibile, attraverso calcoli accessibili, come la matematica non si limiti a descrivere il tennis dall’esterno, ma ne illumini la struttura interna, spiegando perché i grandi campioni vincono con una regolarità che va ben oltre la fortuna.
Riferimenti bibliografici
[1] G. Pollard e R. Cross, The Distribution of Points, Games and Sets in Tennis, Medicine and Science in Tennis, 11(1):2–5, 2006.
[2] W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, vol. 1, Wiley, 3a edizione, 1968.
[3] F. J. G. M. Klaassen e J. R. Magnus, Are Points in Tennis Independent and Identically Distributed?, Journal of the American Statistical Association, 96(454):500–509, 2001.
[4] J. Sackmann, Tennis Abstract– Jannik Sinner Match Results and Statistics, https://www. tennisabstract.com/cgi-bin/player.cgi?p=JannikSinner, consultato nel 2024.
[5] ATP Tour Staff, Jannik Sinner’s historic season: Five fast facts, ATP Tour Official Website, novembre 2024. https://www.atptour.com/en/news/ sinner-nitto-atp-finals-2024-caps-historic-season
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